Монический многочлен - Monic polynomial

В алгебре , А унитарный многочлен является одной переменной полиномом (то есть одномерный полином ) , в котором старший коэффициент (ненулевой коэффициент высшей степени) равен 1. Следовательно, унитарный многочлен имеет вид:

${\ displaystyle x ^ {n} + c_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + c_ {2} x ^ {2} + c_ {1} x + c_ {0}}$

Одномерные многочлены

Если многочлен имеет только один неопределенный ( одномерный многочлен ), то члены обычно записываются либо от самой высокой степени к самой низкой степени («убывающие степени»), либо от самой низкой степени к высшей степени («возрастающие степени»). Тогда одномерный многочлен от x степени n принимает общую форму, показанную выше, где

c _n ≠ 0, c _{n −1} , ..., c ₂ , c ₁ и c ₀

- константы, коэффициенты многочлена.

Здесь член c _n x ⁿ называется главным членом , а его коэффициент c _n - старшим коэффициентом ; если старший коэффициент равен 1 , однозначный многочлен называется моническим .

Характеристики

Мультипликативно замкнутый

Множество всех монических многочленов (над данным (унитарным) кольцом A и для данной переменной x ) замкнуто относительно умножения, так как произведение главных членов двух монических многочленов является старшим членом их произведения. Таким образом, унитарные многочлены образуют мультипликативную полугруппу из кольца многочленов А [ х ]. На самом деле, поскольку постоянный многочлен 1 является моническим, эта полугруппа является даже моноидом .

Частично заказано

Ограничение делимости отношению к множеству всех нормированных многочленов (над данным кольцом) представляет собой частичный порядок , и , таким образом , делает этот набор к посету . Причина в том, что если p ( x ) делит q ( x ), а q ( x ) делит p ( x ) для двух монических многочленов p и q , то p и q должны быть равны. Соответствующее свойство неверно для многочленов в общем случае, если кольцо содержит обратимые элементы, отличные от 1.

Решения полиномиального уравнения

В остальном, свойство нормированных многочленов и их соответствующих нормированных полиномиальных уравнений зависят главным образом от кольца коэффициентов A . Если A - поле , то каждый ненулевой многочлен p имеет ровно один связанный монический многочлен q : p, деленный на его старший коэффициент. Таким образом, любое нетривиальное полиномиальное уравнение p ( x ) = 0 может быть заменено эквивалентным моническим уравнением q ( x ) = 0. Например, общее вещественное уравнение второй степени

${\ displaystyle \ ax ^ {2} + bx + c = 0}$(где )${\ displaystyle a \ neq 0}$

может быть заменен на

${\ displaystyle \ x ^ {2} + px + q = 0}$,

подставив   p  =  b / a   и   q  =  c / a . Таким образом, уравнение

${\ displaystyle 2x ^ {2} + 3x + 1 = 0}$

эквивалентно моническому уравнению

${\ displaystyle x ^ {2} + {\ frac {3} {2}} x + {\ frac {1} {2}} = 0.}$

В этом случае общая формула квадратичного решения представляет собой несколько более упрощенную форму:

${\ displaystyle x = {\ frac {1} {2}} \ left (-p \ pm {\ sqrt {p ^ {2} -4q}} \ right).}$

Целостность

С другой стороны, если кольцо коэффициентов не является полем, есть более существенные отличия. Например, моническое полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами не может иметь рациональных решений, которые не являются целыми числами. Таким образом, уравнение

${\ Displaystyle \ 2x ^ {2} + 3x + 1 = 0}$

возможно, может иметь некоторый рациональный корень, который не является целым числом (и, кстати, один из его корней равен -1/2); в то время как уравнения

${\ displaystyle \ x ^ {2} + 5x + 6 = 0}$

а также

${\ displaystyle \ x ^ {2} + 7x + 8 = 0}$

могут иметь только целочисленные решения или иррациональные решения.

Корни монических многочленов с целыми коэффициентами называются целыми алгебраическими числами .

Решения монических полиномиальных уравнений над областью целостности важны в теории интегральных расширений и целозамкнутых областей и, следовательно, для теории алгебраических чисел . В общем, предполагается , что является областью целостности, а также подкольцо области целостности B . Рассмотрим подмножество C в B , состоящее из тех B элементов, которые удовлетворяют моническим полиномиальным уравнениям над A :

${\ Displaystyle C: = \ {b \ in B: \ exists \, p (x) \ in A [x] \ ,, {\ hbox {, который является моническим и таким, что}} p (b) = 0 \} \ ,.}$

Множество C содержит A , поскольку любой a  ∈  A удовлетворяет уравнению x  -  a  = 0. Более того, можно доказать, что C замкнуто относительно сложения и умножения. Таким образом, С является подкольцом B . Кольцо C называется [[целым замыканием] кольца A в B ; или просто целое замыкание А , если В это фракция поле из А ; а элементы C , как говорят, интеграл над A . Если здесь (кольцо целых чисел ) и (поле комплексных чисел ), то C - кольцо целых алгебраических чисел . ${\ Displaystyle А = \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle B = \ mathbb {C}}$

Неприводимость

Если p - простое число , количество монических неприводимых многочленов степени n над конечным полем с p элементами равно функции подсчета ожерелья . ${\ Displaystyle \ mathrm {GF} (p)}$ ${\ displaystyle N_ {p} (n)}$

Если снять ограничение быть моническим, это число станет . ${\ displaystyle (p-1) N_ {p} (n)}$

Общее количество корней этих монических неприводимых многочленов равно . Это количество элементов поля (с элементами), которые не принадлежат какому-либо меньшему полю. ${\ displaystyle nN_ {p} (n)}$${\ Displaystyle \ mathrm {GF} (p ^ {n})}$${\ displaystyle p ^ {n}}$

При p = 2 такие многочлены обычно используются для генерации псевдослучайных двоичных последовательностей .

Многомерные полиномы

Обычно термин monic не используется для многочленов от нескольких переменных. Однако многочлен от нескольких переменных можно рассматривать как многочлен только от «последней» переменной, но с коэффициентами, являющимися многочленами от остальных. Это можно сделать несколькими способами, в зависимости от того, какая из переменных выбрана «последней». Например, действительный многочлен

${\ displaystyle \ p (x, y) = 2xy ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} + 3x + 5y-8}$

является моническим, рассматриваемым как элемент в R [ y ] [ x ], т. е. как одномерный многочлен от переменной x с коэффициентами, которые сами являются одномерными многочленами от y :

${\ displaystyle p (x, y) = 1 \ cdot x ^ {2} + (2y ^ {2} +3) \ cdot x + (- y ^ {2} + 5y-8)}$;

но p ( x , y ) не является моническим элементом в R [ x ] [ y ], поскольку тогда коэффициент наивысшей степени (то есть коэффициент y ² ) равен 2 x  - 1.

Существует альтернативное соглашение, которое может быть полезно, например, в базисных контекстах Грёбнера : многочлен называется моническим, если его старший коэффициент (как многомерный многочлен) равен 1. Другими словами, предположим, что p = p ( x ₁ , .. ., x _n ) является ненулевым многочленом от n переменных, и что существует заданный мономиальный порядок на множестве всех («монических») мономов от этих переменных, т. е. полный порядок свободного коммутативного моноида, порожденного x ₁ , ..., x _n , с единицей в качестве младшего элемента и с учетом умножения. В этом случае этот порядок определяет самый высокий член, не обращающийся в нуль в p , и p можно назвать моническим, если этот член имеет коэффициент один.

«Монические многомерные многочлены» согласно любому определению имеют общие свойства с «обычными» (одномерными) моническими многочленами. Примечательно, что произведение монических многочленов снова является моническим.

Смотрите также

• Комплексный квадратичный многочлен

Цитаты

Рекомендации