Функция преемника - Successor function

В математике , то функция преемник или операция преемника посылает натуральное число к следующему. Функция-последователь обозначается S , поэтому S ( n ) = n  + 1. Например, S (1) = 2 и S (2) = 3. Функция-последователь является одним из основных компонентов, используемых для построения примитивной рекурсии. функция .

Последующие операции также известны как зерация в контексте нулевой гипероперации : H 0 ( a , b ) = 1 +  b . В этом контексте продолжением зерации является добавление , которое определяется как повторяющаяся последовательность.

Обзор

Функция-преемник является частью формального языка, используемого для формулирования аксиом Пеано , которые формализуют структуру натуральных чисел. В этой формализации функция-преемник - это примитивная операция с натуральными числами, в терминах которой определяются стандартные натуральные числа и сложение. Например, 1 определяется как S (0), а сложение натуральных чисел определяется рекурсивно:

м + 0 = m ,
м + S ( п ) = S ( т + п ).

Это можно использовать для вычисления сложения любых двух натуральных чисел. Например, 5 + 2 = 5 + S (1) = S (5 + 1) = S (5 + S (0)) = S ( S (5 + 0)) = S ( S (5)) = S (6) = 7.

Было предложено несколько конструкций натуральных чисел в рамках теории множеств. Например, Джон фон Нейман конструирует число 0 как пустое множество {} и преемник n , S ( n ), как множество n  ∪ { n }. Аксиома бесконечности , то гарантирует существование множества, содержащий 0 и закрыт относительно S . Наименьшее такое множество обозначается N , а его члены называются натуральными числами.

Функция преемник уровня 0-основа бесконечной иерархии Гжегорчика из гипероператор , используется для построения того , умножения , возведения в степень , тетрация и т.д. Он был изучен в 1986 году в исследовании с участием обобщения шаблона для гипероператор.

Он также является одним из примитивных функций , используемых при характеристике вычислимости по рекурсивным функциям .

Смотрите также

использованная литература

  • Пол Р. Халмос (1968). Наивная теория множеств . Ностранд.