Изоморфизм - Isomorphism

Пятые корни единства
Вращения пятиугольника
Группа пятых корней из единицы при умножении изоморфна группе вращений правильного пятиугольника по составу.

В математике , изоморфизм представляет собой структуру , сохраняющих отображение между двумя структурами одного и того же типа , который может быть обратным путем обратного отображения . Две математические структуры являются изоморфными , если существует изоморфизм между ними. Слово изоморфизм происходит от древнегреческого : ἴσος isos «равный», а μορφή morphe «форма» или «форма».

Интерес к изоморфизмам заключается в том, что два изоморфных объекта имеют одинаковые свойства (за исключением дополнительной информации, такой как дополнительная структура или имена объектов). Таким образом, изоморфные структуры нельзя различить только с точки зрения структуры, и их можно идентифицировать. На математическом жаргоне говорят, что два объекта одинаковы с точностью до изоморфизма .

Автоморфизм является изоморфизмом от структуры к себе. Изоморфизм между двумя структурами является каноническим изоморфизмом ( каноническим отображением, которое является изоморфизмом), если существует только один изоморфизм между двумя структурами (как это имеет место для решений универсального свойства ), или если изоморфизм гораздо более естественный (в некотором смысле), чем другие изоморфизмы. Например, для каждого простого числа p все поля с p элементами канонически изоморфны с единственным изоморфизмом. В теоремы изоморфизма обеспечивают канонические изоморфизмы, которые не являются уникальными.

Термин изоморфизм в основном используется для алгебраических структур . В этом случае отображения называются гомоморфизмами , а гомоморфизм является изоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен .

В различных областях математики изоморфизмы получили специализированные названия в зависимости от типа рассматриваемой структуры. Например:

Теория категорий , которую можно рассматривать как формализацию концепции отображения между структурами, предоставляет язык, который можно использовать для унификации подхода к этим различным аспектам основной идеи.

Примеры

Логарифм и экспонента

Пусть будет мультипликативная группа из положительных действительных чисел , и пусть аддитивная группа вещественных чисел.

Функция логарифма удовлетворяет всем, так что это групповой гомоморфизм . В экспоненциальной функции удовлетворяет для всех , так что тоже является гомоморфизмом.

Идентичность и показать , что и являются обратными друг друга. Поскольку является гомоморфизмом, имеющим обратный, который также является гомоморфизмом, является изоморфизмом групп.

Функция есть изоморфизм , который переводит умножение положительных действительных чисел в дополнение действительных чисел. Это средство позволяет умножить действительные числа , используя линейку и таблицу логарифмов , или используя логарифмическую линейку с логарифмической шкалой.

Целые числа по модулю 6

Рассмотрим группу целых чисел от 0 до 5 со сложением по модулю  6. Также рассмотрим группу упорядоченных пар, где координаты x могут быть 0 или 1, а координаты y могут быть 0, 1 или 2, где сложение в x - координата по модулю 2, а сложение по координате y по модулю 3.

Эти структуры изоморфны по сложению по следующей схеме:

или вообще

Например, что переводится в другой системе как

Хотя эти две группы «выглядят» по-разному, поскольку наборы содержат разные элементы, они действительно изоморфны : их структуры абсолютно одинаковы. В более общем случае прямое произведение двух циклических групп и изоморфна тогда и только тогда , когда т и п являются взаимно простыми , согласно теореме китайского остатка .

Изоморфизм с сохранением отношений

Если один объект состоит из множества X с бинарным отношением R, а другой объект состоит из множества Y с бинарным отношением S, то изоморфизм от X к Y является биективной функцией, такой что:

S является рефлексивным , иррефлексивным , симметричным , антисимметричным , асимметричным , транзитивным , полным , трихотомическим , частичным порядком , полным порядком , хорошим порядком , строгим слабым порядком , полным предварительным порядком (слабым порядком), отношением эквивалентности или отношением с любым другим. специальные свойства, если и только если R есть.

Например, R - это порядок ≤, а S - порядок, тогда изоморфизм из X в Y является биективной функцией, такой что

Такой изоморфизм называется изоморфизмом порядка или (реже) изотонным изоморфизмом .

Если, то это автоморфизм, сохраняющий отношения .

Приложения

В алгебре изоморфизмы определены для всех алгебраических структур . Некоторые из них более подробно изучены; Например:

Так же , как автоморфизмы из в алгебраических структурах образуют группу , изоморфизмы между двумя алгебрами разделяющих общей структурой образуют кучу . Если позволить определенному изоморфизму идентифицировать две структуры, эта куча превращается в группу.

В математическом анализе , то преобразование Лапласа является сопоставление изоморфизма жесткие дифференциальные уравнений в более простые алгебраические уравнения.

В теории графов изоморфизм между двумя графами G и H - это биективное отображение f из вершин G в вершины H, которое сохраняет «структуру ребер» в том смысле, что существует ребро из вершины u в вершину v в G если и только если существует ребро от к в H . См. Изоморфизм графов .

В математическом анализе изоморфизм между двумя гильбертовыми пространствами - это сложение, сохраняющее биекцию, скалярное умножение и скалярное произведение.

В ранних теориях логического атомизма Бертран Рассел и Людвиг Витгенштейн полагали, что формальные отношения между фактами и истинными предложениями изоморфны. Пример такого мышления можно найти во введении Рассела в математическую философию .

В кибернетике утверждается , что хороший регулятор или теорема Конанта – Эшби: «Каждый хороший регулятор системы должен быть моделью этой системы». Независимо от того, регулируется он или саморегулируется, требуется изоморфизм между регулирующей и обрабатывающей частями системы.

Теоретический взгляд на категории

В теории категорий для данной категории C изоморфизм - это морфизм , имеющий обратный морфизм, то есть, и, например, биективное линейное отображение - это изоморфизм между векторными пространствами , а биективная непрерывная функция , обратная которой также непрерывна, является изоморфизмом между топологическими пространствами , называемые гомеоморфизмом .

Две категории С и D являются изоморфными , если существуют функторы и которые являются взаимно обратны друг к другу, то есть, (функтор тождественный на D ) и (тождественный функтор на C ).

Изоморфизм против биективного морфизма

В конкретной категории (то есть категории, объектами которой являются множества (возможно, с дополнительной структурой) и морфизмы которой являются функциями, сохраняющими структуру), такой как категория топологических пространств или категории алгебраических объектов (например, категория групп , категории колец и категории модулей ) изоморфизм должен быть биективным на лежащих в основе множествах . В алгебраических категориях (в частности, категориях многообразий в смысле универсальной алгебры ) изоморфизм совпадает с гомоморфизмом, который биективен на базовых множествах. Однако существуют конкретные категории, в которых биективные морфизмы не обязательно являются изоморфизмами (например, категория топологических пространств).

Отношение к равенству

В определенных областях математики, особенно в теории категорий, полезно различать равенство, с одной стороны, и изоморфизм, с другой. Равенство - это когда два объекта абсолютно одинаковы, и все, что верно для одного объекта, верно для другого, в то время как изоморфизм подразумевает, что все, что верно для обозначенной части структуры одного объекта, верно для другого. Например, наборы

являются равными ; они просто разные представления - первое интенсиональноенотации построителя множеств ), а второе экстенсиональное (посредством явного перечисления) - одного и того же подмножества целых чисел. Напротив, наборы и не равны: в первом элементы являются буквами, а во втором - числами. Они изоморфны как множества, поскольку конечные множества определяются с точностью до изоморфизма своей мощностью (числом элементов), и оба они имеют три элемента, но есть много вариантов изоморфизма - один изоморфизм есть
в то время как другой

и ни один изоморфизм по сути не лучше любого другого. С этой точки зрения и в этом смысле эти два множества не равны, потому что их нельзя считать идентичными : можно выбрать изоморфизм между ними, но это более слабое утверждение, чем тождество, и действительное только в контексте выбранного изоморфизма.

Иногда изоморфизмы могут показаться очевидными и убедительными, но все же не являются равенствами. В качестве простого примера, генеалогические отношения между Джо , Джоном и Бобби Кеннеди в реальном смысле такие же, как и у

защитников американского футбола в семье Мэннинга : Арчи , Пейтона и Эли . Пары отец-сын и пары старший-брат-младший-брат полностью соответствуют друг другу. Это сходство между двумя семейными структурами иллюстрирует происхождение слова « изоморфизм» (греческое iso - «тот же» и - морф , «форма» или «форма»). Но поскольку Кеннеди - не те люди, что и Мэннинги, эти две генеалогические структуры просто изоморфны и не равны.

Другой пример является более формальным и более прямо иллюстрирует мотивацию различать равенство от изоморфизма: различие между конечномерным векторным пространством V и его двойственным пространством линейных отображений из

V в его поле скаляров. Эти пространства имеют одинаковую размерность, и, следовательно, изоморфны как абстрактные векторные пространства (поскольку алгебраически векторные пространства классифицируются по размерности, так же как множества классифицируются по мощности), но нет «естественного» выбора изоморфизма. Если кто-то выбирает базис для V , то это дает изоморфизм: Для всех

Это соответствует преобразованию вектора-столбца (элемента V ) в вектор-строку (элемент V *) посредством транспонирования , но другой выбор базиса дает другой изоморфизм: изоморфизм «зависит от выбора базиса». Более тонко, там есть карта из векторного пространства V в его двойной двойной , который не зависит от выбора базиса: Для всех

Это приводит к третьему понятию естественного изоморфизма : хотя и являются разными множествами, существует «естественный» выбор изоморфизма между ними. Это интуитивное понятие «изоморфизм, не зависящий от произвольного выбора» формализовано в понятии

естественного преобразования ; вкратце, что можно последовательно идентифицировать или, в более общем смысле, отображать конечномерное векторное пространство в его двойное двойное для любого векторного пространства согласованным способом. Формализация этой интуиции является мотивацией для развития теории категорий.

Однако есть случай, когда различие между естественным изоморфизмом и равенством обычно не проводится. То есть для объектов, которые можно охарактеризовать универсальным свойством . Фактически, существует уникальный изоморфизм, обязательно естественный, между двумя объектами, обладающими одним и тем же универсальным свойством. Типичным примером является набор действительных чисел , который может быть определен посредством бесконечного десятичного расширения, бесконечного двоичного расширения, последовательностей Коши , сокращений Дедекинда и многих других способов. Формально эти конструкции определяют разные объекты, которые являются решениями с одним и тем же универсальным свойством. Поскольку эти объекты обладают одинаковыми свойствами, можно забыть о методе построения и считать их равными. Это то , что делает все , когда речь идет « о множестве действительных чисел». То же самое происходит с факторпространствами : они обычно строятся как наборы классов эквивалентности . Однако обращение к набору наборов может быть нелогичным, и поэтому факторные пространства обычно рассматриваются как пара из набора неопределенных объектов, часто называемых «точками», и сюръективного отображения на это множество.

Если кто-то хочет различать произвольный изоморфизм (тот, который зависит от выбора) и естественный изоморфизм (тот, который может быть выполнен последовательно), он может писать для

неестественного изоморфизма и для естественного изоморфизма, как в и Это соглашение не соблюдаются повсеместно, и авторы, желающие провести различие между неестественными изоморфизмами и естественными изоморфизмами, обычно явно указывают это различие.

Обычно утверждение, что два объекта равны , зарезервировано для случаев, когда существует понятие большего (окружающего) пространства, в котором эти объекты живут. Чаще всего говорят о равенстве двух подмножеств данного набора (как в примере с целым набором выше), а не двух абстрактно представленных объектов. Например, двумерная единичная сфера в трехмерном пространстве

и сфера Римана, которая может быть представлена ​​как
одноточечная компактификация комплексной плоскости или как комплексная проективная линия (фактор-пространство)
три различных описания для математического объекта, все из которых являются изоморфными, но не Равные , так как они не являются все подмножества одного пространства: первое подмножество второго является плюс дополнительные точки, а третий является
подфактор из

В контексте теории категорий объекты обычно в лучшем случае изоморфны - действительно, мотивация для развития теории категорий показывала, что различные конструкции в теории гомологий дают эквивалентные (изоморфные) группы. Однако при наличии отображений между двумя объектами X и Y возникает вопрос, равны они или нет (они оба являются элементами множества, поэтому равенство является правильным соотношением), особенно в

коммутативных диаграммах .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки