Угол - Angle


Из Википедии, свободной энциклопедии
Угол, образованный двумя лучами, исходящими из вершины.

В плоской геометрии , угол фигура образована двумя лучами , называемые стороны от угла, разделяя общую конечную точку, называется вершиной угла. Углы , образованные двумя лучами лежат в одной плоскости, но эта плоскость не должна быть евклидова плоскость . Углы также образованы пересечением двух плоскостей в евклидовых и других пространствах . Они называются двугранные углы . Углы , образованные пересечением двух кривых в плоскости определяются как угол , определяемый касательных лучей в точке пересечения. Аналогичные утверждения справедливы в пространстве, например, сферический угол , образованный двумя большими кругами на сфере двугранный угол между плоскостями , определяемых большими кругами.

Угол также используется для обозначения меры угла или какой - либо вращения . Эта мера представляет собой отношение длины дуги окружности к ее радиусу . В случае геометрического угла, дуга с центром в вершине и ограничена по сторонам. В случае поворота, дуга с центром в центре вращения и ограничена какой - либо другой точке и его изображения при вращении.

Слово угол происходит от латинского слова Angulus , что означает «угол»; родственные слова являются греческим ἀγκύλος (ankylοs) , что означает «крив, изогнутый» , и английское слово « лодыжка ». Оба связаны с прото-индоевропейского корня * ank- , что означает «согнуть» или «лук».

Евклида определяет угол плоскости, что и наклон друг к другу, в плоскости, из двух линий , которые соответствуют друг другу, а не лежат прямо по отношению друг к другу. В соответствии с Проклом угол должен быть либо качество или количество, или отношения. Первая концепция была использована Eudemus , который рассматривается как угол отклонения от прямой линии ; второй по Карпу Антиохийского , который считал его в качестве интервала или пространства между пересекающимися линиями; Евклид принял третью концепцию, хотя его определение правильных, острых и тупых углов, конечно , количественное.

Определение углов

В математических выражениях, он является общим для использования греческих букв ( α , β , γ , θ , φ ,...) , Чтобы служить в качестве переменных , стоящих на размер некоторого угла. ( Для того, чтобы избежать путаницы с другими его смысл, символ π , как правило , не используется для этой цели.) Строчными буквами латинскими буквами ( абгр ,...) Также используются, как и прописные буквы латинского алфавита в контексте многоугольники . Смотрите рисунки в этой статье примеров.

В геометрических фигурах, углы также могут быть идентифицированы с помощью меток , прикрепленных к трем точкам , которые определяют их. Так , например, угол при вершине А , заключенная между лучами АВ и АС (т.е. линии от точки А до точки В и точки А до точки С) обозначается ∠BAC (в Unicode U + 2220 УГЛА ) или . Иногда, когда нет никакого риска путаницы, угол может называться просто вершиной ( «угол A»).

Потенциально, угол обозначается, скажем, ∠BAC может относиться к любому из четырех углов: угол по часовой стрелке от В к С, угол против часовой стрелки от В к С, угол по часовой стрелке от С до B, или против часовой стрелки на угол от С до B , где направление , в котором измеряется угол определяет знак (см Положительные и отрицательные углы ). Однако, во многих геометрических ситуациях это очевидно из контекста , что имеется в виду положительный угол меньше или равен 180 градусов, и не возникает никакой неоднозначности. В противном случае, соглашение может быть принято , так что ∠BAC всегда относится к против часовой стрелки (положительного) угла от В к С, и ∠CAB к против часовой стрелки (положительный) угла от С до В.

Виды углов

Индивидуальные углы

  • Угол, равный 0 ° или не получилось, называется нулевым углом.
  • Углы меньше , чем под прямым углом (менее 90 °) называются острые углы ( «острым» , что означает «острый»).
  • Угол , равный 1 / 4 оборота (90 ° или π / 2 радиан) называется прямым углом . Две линии, образующие прямой угол, называются нормальными , ортогональной или перпендикулярно .
  • Углы больше , чем под прямым углом , и меньше , чем под прямым углом (между 90 ° и 180 °), называются тупые углы ( «тупым» , что означает «тупым»).
  • Угол , равный 1 / 2 оборота (180 ° или & pi ; радиан), называется прямым углом .
  • Углы больше , чем под прямым углом , но менее чем на 1 оборот (между 180 ° и 360 °) называются рефлекторными углами .
  • Угол , равный 1 оборот (360 ° или 2 & pi ; радиан) называется полным углом , полным углом , круглым углом или perigon .
  • Углы, которые не являются прямыми углами или кратны под прямым углом, называются косыми углами .

Имена, интервалы, и измеренные единицы приведены в таблице ниже:

Острый ( ), тупой ( б ), и прямые ( гр ) углы. Острые и тупые углы также известны как косые углы.
угол между 180 и 360 градусами
название   нуль острый прямой угол тупой Прямо рефлекс perigon
Единицы интервал
Повороты   0 (0,  1 / 4 ) 1 / 4 ( 1 / 41 / 2 ) 1 / 2 ( 1 / 2 , 1) 1
Радиан 0 (0, 1 / 2 π ) 1 / 2 π ( 1 / 2 π , π ) π ( Π , 2 π ) 2 π
степени   0 ° (0, 90) ° 90 ° (90, 180) ° 180 ° (180, 360) & deg; 360 °
угольников   0 г (0, 100) г 100 г (100, 200) г 200 г (200, 400) г 400 г

пары угловых эквивалентности

  • Углы , которые имеют ту же меру (т.е. той же величины), называются равными или конгруэнтны . Угол определяется его мерой и не зависит от длины сторон угла (например , все прямые углы равны в меру).
  • Два угла , которые разделяют терминальные стороны, но отличаются по размеру от целого кратного поворота, называется coterminal углов .
  • Опорный угол представляет собой острый вариант любого угла , определяемого путем многократного вычитания или добавлений прямого угла ( 1 / 2 поворота на 180 °, или & pi ; радиан), с результатами , по мере необходимости, пока величина результата не является острым углом, значение от 0 до 1 / 4 оборота, 90 °, или л / 2 радиан. Так , например, угол 30 градусов имеет опорный угол 30 градусов, а угол 150 градусов также имеет опорный угол 30 градусов (180-150). Угол 750 градусов имеет опорный угол 30 градусов (750-720).

Вертикальные и смежные пары угла

Углы А и В представляют собой пару вертикальных углов; углы С и D представляют собой пару вертикальных углов.

Когда две прямые пересекаются в точке, образуются четыре угла. Попарные эти углы названы в соответствии с их расположением по отношению друг к другу.

  • Пара противоположных углов друг с другом, образованный двумя пересекающимися прямыми линиями , которые образуют «Х» -подобных формы, называются вертикальные углы или противоположные углы или вертикально противоположные углы . Они сокращенно верт. ОПП. ∠s .
Равенство углов вертикально противоположных называется теоремой вертикального угла . Евдем Родосский отнести доказательство к Фалеса . Предложение показало , что , так как оба из пары вертикальных углов являются дополнительными к обеим из смежных углов, вертикальные углы равны по мере. В соответствии с исторической справкой, когда Фалес посетил Египет, он заметил , что всякий раз , когда египтяне обменяли две пересекающихся линий, они будут измерять вертикальные углы , чтобы убедиться , что они были равны. Фалес пришел к выводу , что можно было бы доказать , что все вертикальные углы равны , если один приняты некоторые общие понятия , такие как: все прямые углы равны, равна добавляется в равных равны, и равна вычитают из равных равны.
На рисунке, предположим меру угла А = х . Когда два смежных угла образуют прямую линию, они являются дополнительными. Таким образом, мера угла C = 180 - х . Аналогичным образом , мера угла D = 180 - х . Оба угла С и углом D имеют меры , равные 180 - х и конгруэнтны. Так как угол B является дополнением к обеим углу C и D , либо из этих угловых мер может быть использовано , чтобы определить меру угла B . Используя меру либо угол C или угол D мы находим меру угла B = 180 - (180 - х ) = 180 - 180 + х = х . Таким образом, и угол и угол B имеют меры , равные х и равны в меру.
Углы и
B являются смежными.
  • Смежные углы , часто сокращенно прил. ∠s , являются углы , которые разделяют общую вершину и ребро , но не имеют общих внутренних точек. Другими словами, они являются углы, которые бок о бок, или рядом с ним , разделяя «рука». Прилегающие углы, сумма которых равна под прямым углом, прямой угол или полный угол являются особенными и, соответственно , называются дополнительные , вспомогательные и explementary углы (см «Объединить угол пары» ниже).

Трансверсально является линией , которая пересекает пару параллельного (часто) линий и связан с альтернативными внутренними углами , соответствующими углами , внутренними углами и внешними углами .

Сочетание угловых пар

Есть три специальные угловые пары, которые включают суммирование углов:

Дополнительные углы и
б ( б является дополнением из и является дополнением б ).
  • Дополнительные углы являются угловые пары , чьи меры , чтобы подвести один под прямым углом ( 1 / 4 поворота, 90 °, или & pi ; / 2 радиан). Если два дополнительных углов примыкают их не общие стороны образуют прямой угол. В евклидовой геометрии, две острые углы в прямоугольном треугольнике дополняют друг друга, так как сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусов, а под прямым углом сам по себе составляет девяносто градусов.
Прилагательное дополняют друг друга от латинского complementum , связано с глаголом complere , «завалить». Острый угол «заполнен» его дополнение , чтобы сформировать правильный угол.
Разница между углом и под прямым углом, называется дополнением угла.
Если углы и B дополняют друг друга, следующие соотношения имеют место
(The касательного угла равен котангенс его дополнения и его секущая равен косеканс его дополнения.)
Префикс « со- » в названиях некоторых тригонометрических соотношений относится к слову «комплементарной».
Углы и
б являются дополнительными углами.
  • Два угла, обобщающие к прямому углу ( 1 / 2 поворота, 180 ° или π радиан) называется дополнительными углами .
Если два дополнительные углы смежные (т.е. имеет общую вершину и делиться только с одной стороны), их не общие стороны образуют прямую линию . Такие углы называются линейной парой углов . Однако, дополнительные углы не должны быть на одной и той же линии, и могут быть разделены в пространстве. Например, смежные углы параллелограмма являются дополнительными, и противоположными углами циклического четырехугольника (одной вершина которого все падают на одной окружности) являются дополнительными.
Если точка Р является внешним по отношению к окружности с центром О, и если касательные от P прикоснуться к окружности в точках Т и Q, то ∠TPQ и ∠TOQ являются дополнительными.
Синусы дополнительных углов равны. Их косинусы и касательные (если не определены), равны по величине, но имеют противоположные знаки.
В евклидовой геометрии, любая сумма два углов в треугольнике является дополнением к третьему, так как сумма внутренних углов треугольника является прямым углом.

Сумма два explementary углов является полным углом.
  • Два угла, обобщающие до полного угла поворота (1, 360 °, или 2 & pi ; радиан) называются explementary углы или сопряженные углы .
    Разница между углом и полным углом называется дополнением угла до 360 градусов угла или конъюгата угла.

Polygon связанных углов

Внутренние и внешние углы.
  • Угол , который является частью простого многоугольника называется внутренним углом , если он лежит на внутренней стороне этого простого многоугольника. Простая вогнутая многоугольник имеет , по меньшей мере , один внутренний угол , который является углом рефлекса.
    В евклидовой геометрии , меры внутренних углов треугольника добавить до п радианов, на 180 °, или 1 / 2 оборота; Меры внутренних углов простого выпуклого четырехугольника добавить до 2 л радианов, 360 °, или 1 оборота. В целом, меры внутренних углов простого выпуклого многоугольника с п сторон добавить до ( п  - 2) П радиан, или 180 ( п  - 2) градусов, (2 п  - 4) под прямым углом или ( п / 2  - 1) повернуть.
  • Добавка из внутреннего угла называется внешним углом , то есть, внутренний угол и внешний угол образуют линейную пару углов . Есть два внешних углов при каждой вершине многоугольника, каждая из которых определяется путем расширения одной из двух сторон многоугольника, сходящихся в вершине; эти два угла вертикальные углы и , следовательно, равны. Внешний угол измеряет величину поворота приходится делать в вершине , чтобы проследить многоугольник. Если соответствующий внутренний угол является рефлексом угла, внешний угол следует считать отрицательным . Даже в не простой многоугольник может быть возможно определить внешний угол, но один должен будет выбрать в ориентации в плоскости (или поверхности ) , чтобы решить , знак внешнего угла измерения.
    В евклидовой геометрии, сумма внешних углов простого выпуклого многоугольника будет на один полный оборот (360 °). Внешний угол здесь можно назвать дополнительным внешним углом . Наружные углы обычно используются в Логотип Turtle геометрии при построении правильных многоугольников.
  • В треугольнике , то биссектрисы двух внешних углов и биссектриса другого внутреннего угла являются одновременно (встречается в одной точке).
  • В треугольнике, три точки пересечения, каждая из внешней биссектрисы угла с противоположной расширенной стороной , являются коллинеарна .
  • В треугольнике, три точка пересечения, две из них между внутренней биссектрисой угла и противоположной стороной, а третьей между другой внешней биссектрисой угла и противоположной стороной расширенной, лежат на одной прямых.
  • Некоторые авторы используют название внешнего угол простого многоугольника просто означают внешний угол дополнения угла до 360 градусов ( не дополнение!) От внутреннего угла. Это приводит к конфликту с выше использования.

Plane связанных углов

  • Угол между двумя плоскостями (например, два смежных граней многогранника ) называется двугранный угол . Она может быть определена как острый угол между двумя линиями нормальных к плоскостям.
  • Угол между плоскостью и пересекающим прямым равен минус девяноста градусов угла между пересекающейся линией и линией, которая проходит через точку пересечения и нормаль к плоскости.

Измерение углов

Размер геометрического угла обычно характеризуется величиной наименьшего вращения , которая отображает один из лучей в другую. Углы , которые имеют тот же размер , как говорят, равна или конгруэнтны или равны по мере .

В некоторых контекстах, такие как определение точки на окружности или описывающая ориентацию объекта в двух измерениях относительно опорной ориентации, углы, отличающихся от точного кратного полного поворота эффективно эквивалентны. В других контекстах, таких как определение точки на спиральной кривой или описывающая совокупное вращение объекта в двух измерениях относительно опорной ориентации, углы , которые отличаются от ненулевого кратного полного оборота не эквивалентны.

Мера угла & thetas (в радианах) есть фактор х и т .

Для того чтобы измерить угол & thetas , А дуга окружности с центром в вершине угла обращаются, например , с помощью пары циркулей . Отношение длины S дуги радиусом R окружности является мерой угла в радианах .

Мера угла в другом угловом блоке затем получается путем умножения его меры в радианах на коэффициент масштабирования к / 2 л , где к является мерой полного оборота в выбранной единице (например , 360 для степеней или 400 для gradians ):

Значение & thetas , таким образом , определяется не зависит от размера круга: если длина радиуса изменяется , то изменения длины дуги в той же пропорции, так что отношение с / г не меняется. (Доказательство. Формула выше , можно переписать в виде K = θr / с . На один оборот, для которых θ = п единиц, соответствует дуге , равной по длине окружности окружности , которая является 2 π г , так что с = 2 П р . Подставляя п для thetas ; и 2 п р для х в формуле, приводит к = NR / 2 π г = п / 2 π . )

Угол дополнение постулат

Угол дополнение постулат утверждает , что если B находится внутри угла AOC , то

Мера угла AOC является суммой меры угла А и меры угла ВОСА . В этом постулате не имеет значения , в котором блок угла измеряются до тех пор , как каждый угол измеряются в тех же единицах.

Единицы

Единицы , используемые для представления углов перечислены ниже в порядке убывания величины. Из этих единиц, то степень и радиан является на сегодняшний день наиболее часто используемая. Углы , выраженные в радианах безразмерные для целей анализа размерностей .

Большинство единиц измерения угла определены таким образом, что один поворот (т.е. один полный круг) равно п единиц, в течение некоторого целого числа п . Два исключения являются радиан и часть диаметра.

Turn ( п  = 1)
Очередь , также цикл , полный круг , оборот и вращение , это полное круговое движение или меры (чтобы вернуться в ту же точку) с кругом или эллипсом. Поворот сокращенно т , CYC , REV или гнили в зависимости от применения, но в аббревиатуре оборотов в минуту (оборотов в минуту), как раз г используется. Очередь из п единиц получается путем установки K = 1 / 2 л в приведенной выше формуле. Эквивалентность 1 поворота составляет 360 °, 2 π радиан, 400 град, и 4 под прямым углом. Символ τ также может быть использован в качестве математической константы для представления 2 & pi ; радиан. Используемый в этом случае ( K = τ / ) позволяет радиан быть выражены в виде доли от оборота. Например, половина поворот Т / 2 = π .
Квадрант ( п  = 4)
Квадрант является 1 / 4 оборота, т.е. под прямым углом . Это устройство используется в Евклида . 1 квад. = 90 ° = π / 2  радиан = 1 / 4 оборота = 100 град. В немецком языке символ используется для обозначения квадранта.
Секстант ( п  = 6)
Секстантная ( угол равностороннего треугольника ) является 1 / 6 оборота. Это устройство используется в вавилонянами , и особенно легко построить с линейкой и циркулем. Степени, минута дуги и второй дуга являются шестидесятеричными субъединицами вавилонского блока. 1 вавилонская единица = 60 ° = π / 3 рад ≈ 1,047197551 рад.
θ = s / г рад = 1 рад.
Радиан ( п  = 2 π  = 6,283...)
Радианах угол , образуемый дугой окружности, имеющей ту же длину, что и радиус круга. Случай радиана по формуле , приведенной выше, в радиан из п = 2 π единиц получаются путем установки K = 2 π / 2 π = 1. Один оборота составляет 2 & pi ; радиан, а один радиан 180 / π градусов, или около 57.2958 градусов. Радиан сокращенно рад , хотя этот символ часто опускается в математических текстах, где предполагаются радиан , если не указано иное. Когда радиан используются углы считаются безразмерными. Радиан используется практически во всех математических работах за простую практическую геометрию, из - за, например, к приятна и «естественным» свойствам , что тригонометрические функции отображения , когда их аргументы в радианах. Радиан является (производной) единицей измерения угла в SI системе.
Положение Часы ( п  = 12)
Положение часы это относительное направление объекта описывается с использованием аналогии с 12-часовым . Один воображает циферблата лежа либо вертикально или плоско перед собой, и идентифицирует двенадцать часов маркировки с направлениями , в которых они указывают.
Угол часа ( п  = 24)
Астрономической часовой угол составляет 1 / 24 оборота. Так как эта система поддается измерение объектов этого цикл один раз в день (например, относительное положение звезд), то шестидесятеричные субъединицы называется минутой времени и секунд времени . Они отличаются от, и в 15 раз больше , чем, минуты и секунды дуги. 1 час = 15 ° = π / 12  радиан = 1 / 6  Quad. = 1 / 24 поворота = 16 2 / 3   град.
(Компас) точка или ветра ( п  = 32)
Точки , используемые в навигации , является 1 / 32 оборота. 1 балл = 1 / 8 правого угла = 11,25 ° = 12,5 град. Каждая точка подразделяется на четыре четверти точек , так что 1 оборот составляет 128 четвертьфинала точек.
Hexacontade ( п  = 60)
Hexacontade является единицей 6 ° , что Эратосфен используется, так что целая очередь была разделена на 60 единиц.
Pechus ( п  = 144-180)
Pechus была вавилонская единица , равная примерно 2 ° или 2 1 / 2  °.
Двоичная степень ( п  = 256)
Двоичная степень , также известная как двоичный радиан (или Brad ), составляет 1 / 256 оборота. Двоичная степень используются в вычислениях , так что угол может быть эффективно представлен в одном байте (хотя и с ограниченной точностью). Другие меры угла , используемой в вычислениях может быть основан на делении одного целого на 2 оборота п равных частей для других значений п .
Степень ( п  = 360)
Степень , обозначается небольшим верхним индексом окружности (°), составляет 1/360 оборота, так что один оборот составляет 360 °. Случай градусов по формуле , приведенной ранее, степень по п = 360 ° единиц получается путем установки K = 360 ° / 2 П . Одним из преимуществ этого старых шестидесятеричных субъединиц, что многие распространенные в простой геометрии углов измеряются целым числом степеней. Фракции степени могут быть записаны в нормальном десятичной системе счисления (например , 3,5 ° в течение трех с половиной градусов), но «минута» и «вторые» шестидесятеричные субъединицы системы «Степень минут второй» также используется, особенно для географических координат и в астрономии и баллистике .
Диаметр части ( п  = 376,99...)
Часть диаметра (иногда используется в исламских математике) является 1 / 60 радиан. Один «диаметр часть» составляет около 0,95493 °. Есть около 376,991 частей диаметра в свою очередь.
Град ( п  = 400)
Град , называемые также сорт , gradian или угольник , является 1 / 400 оборота, так что правый угол равен 100 градов. Это десятичная субъединица квадранта. Км исторически определяются как Centi -grad дуги вдоль большого круга Земли, поэтому километр десятичного аналогом шестидесятеричных морских миль. Град используется в основном в триангуляции .
миллирадиана
Мрад (мил или мрад) определяются как тысячный радиан, а это означает , что вращение одной очереди состоит из 2000π мила (или приблизительно 6283.185 ... мил), и почти все сферы применения прицелов для огнестрельного оружия калибруются с этим определением , Кроме того , существует три других производных определений , используемые для артиллерии и навигации , которые приблизительно равны миллирадианом. В этих трех других определениях один оборот составляет ровно 6000, 6300 или 6400 мил, что составляет , охватывающих диапазон от 0,05625 до 0,06 градусов (3,375 до 3,6 минут). Для сравнения, истинная мрад примерно 0.05729578 ... градусов (3.43775 ... минут). Один « НАТО мил» определяется как 1 / 6400 круга. Так же , как с истинным миллирадиана, каждый из других определений использует handby свойство Mil по subtensions, то есть о том , что стоимость одного миллирадиана примерно равен угол , под шириной 1 метр , как видно из 1 км ( 2 π / 6400 = 0.0009817 ... ≈ 1 / 1000 ).
Минута дуги ( п  = 21600)
Минута дуги (или МСХ , угловой минуты , или только минуту ) составляет 1 / 60 градуса = 1 / 21600 очередь. Оно обозначается одним штрихом ( '). Так , например, 3 ° 30 'равно 3 × 60 + 30 = 210 минут или 3 +  30 / 60 = 3,5 градуса. Смешанный формат с десятичной дробью также иногда используется, например , на 3 ° 5.72 '= 3 +  5,72 / 60 градусов. Морских миль исторически определяется как минуты дуги вдоль большого круга Земли.
Во - вторых дуги ( п  = 1.296.000)
Вторая дуга (или угловой секунды , или просто второй ) составляет 1 / 60 от минуты дуги и 1 / 3600 градуса. Оно обозначается двойным штрихом ( "). Так , например, 3 ° 7 '30 "равно 3 + 7 / 60 + 30 / 3600 градусов, или 3,125 градусов.
Milliarcsecond ( п  = 1,296,000,000)
Рождество
Microarcsecond ( п  = 1,296,000,000,000)
μas

Положительные и отрицательные углы

Хотя определение измерения угла не поддерживает понятие отрицательного угла, часто бывает полезно , чтобы наложить конвенцию , которая позволяет положительные и отрицательные угловые значения для представления ориентации и / или вращений в противоположных направлениях относительно некоторой ссылки.

В двумерной декартовой системе координат , угол , как правило , определяется двумя его сторон, с вершиной в начале координат. Исходная сторона находится на положительной оси х , а с другой стороны или на стороне терминала определяется мерой от исходной стороны в радианах, градусах, или поворотов. С положительными углами , представляющие ротацию в сторону положительных у оси и отрицательные углы , представляющие ротацию в сторону отрицательных у оси х. Когда декартовы координаты представлены стандартной позиции , определяемой х -Axis вправо , а у оси х вверх, положительные повороты против часовой стрелки , так и отрицательные повороты по часовой стрелке .

Во многих случаях, угол - & thetas фактически эквивалентен углу «один полный оборот минус & thetas ». Например, ориентация представлена как -45 ° эффективно эквивалентна ориентации , представленная в 360 ° - 45 ° или 315 °. Хотя окончательная позиция такая же, физическое вращение (движение) -45 ° не то же самое, что и вращение 315 ° (например, вращение человека , держащего метлы отдыхает на пыльный пол оставит визуально различные следы СКОЛЬЗЯЩИЕ области на полу).

В трехмерной геометрии, « по часовой стрелке» и «против часовой стрелки» не имеют абсолютного значения, так что направление положительных и отрицательных углов должны быть определены относительно некоторой ссылки, которая обычно представляет собой вектор , проходящий через вершину угла и перпендикулярно к плоскости , в который лучи угла лежит.

В навигации , подшипники или азимут измеряется по отношению к северу. По соглашению, если смотреть сверху, несущие углы являются положительными по часовой стрелке, так что подшипник 45 ° соответствует ориентации на северо-востоке. Негативные подшипники не используются в навигации, поэтому ориентация на северо-западе соответствует азимуту 315 °.

Альтернативные способы измерения размера под углом

Есть несколько альтернатив измерения размера под углом от угла поворота. Сорт склона , или градиент равен тангенсу угла, или иногда (редко) на синус . Градиент часто выражается в процентах. Для очень малых значений (менее 5%), сорт склона примерно мера угла в радианах.

В рациональной геометрии спрэд между двумя линиями определяется как квадрат синуса угла между линиями. Как синус угла и синус угла его дополнительного такой же, любой угол поворота , который отображает одну из линий в других приводят к тому же значению для распространения между линиями.

Астрономические приближения

Астрономы измеряют угловое разделение объектов в градусах от их точки наблюдения.

  • 0,5 ° примерно ширина солнца или луны.
  • 1 ° примерно ширина мизинца на расстоянии вытянутой руки.
  • 10 ° примерно ширина закрытого кулака на расстоянии вытянутой руки.
  • 20 ° примерно ширина handspan на расстоянии вытянутой руки.

Эти измерения явно зависят от конкретного субъекта, и выше , следует рассматривать как грубое эмпирическое правило только приближений.

Углы между кривыми

Угол между двумя кривыми в Р определяется как угол между касательными A и B при P .

Угол между линией и кривой (смешанный) или угол между двумя кривыми пересекающихся (криволинейная угол) определяется как угол между касательными в точке пересечения. Различные названия (теперь редко, если когда - либо, используется) были даны конкретные случаи: - amphicyrtic (Gr. Ἀμφί , с обеих сторон, κυρτός, выпуклых) или cissoidal (Gr κισσός, плющ.), Двояковыпуклые; xystroidal или sistroidal (Гр ξυστρίς, инструмент для соскабливания.), вогнуто-выпуклый; amphicoelic (Гр. κοίλη, полый) или Angulus lunularis , двояковыпуклые.

Рассекайте и трисекции углы

В древнегреческие математики умели делить пополам угол (разделить его на два угла равной меры) , используя только циркуль и угольник , но могли только определенные делить на три равные части углов. В 1837 Ванцель показал , что для большинства углов эта конструкция не может быть выполнена.

Продукт Dot и обобщение

В евклидове пространства , угол θ между двумя евклидовыми векторов U и V связан с их скалярным произведением и их длинами по формуле

Эта формула поставляет простой способ , чтобы найти угол между двумя плоскостями (или искривленными поверхностями) от их нормальных векторов , а также между косыми линиями от их векторных уравнений.

Внутренний продукт

Для определения углов в абстрактном реальном внутреннем пространстве продукта , мы заменим евклидово скалярного произведения ( · ) скалярное произведением , т.е.

В сложном внутреннем пространстве продукта , то выражение для косинуса выше , может дать не-реальные значения, поэтому она заменяется

или, чаще всего, с использованием абсолютного значения, с

Последнее определение игнорирует направление векторов и , таким образом , описывает угол между одномерными подпространствами и натянутым на векторы и , соответственно.

Углы между подпространствами

Определение угла между одномерными подпространствами и задаются

в гильбертовом пространстве может быть распространен на подпространства любых конечных размеров. Учитывая два подпространства , с , это приводит к определению углов называются каноническими или основные углами между подпространствами.

Углы в римановой геометрии

В римановой геометрии , то метрический тензор используется для определения угла между двумя касательными . Там , где U и V являются касательные векторы и г IJ являются компоненты метрического тензора G ,

гиперболический угол

Гиперболический угол является аргументом из гиперболической функции так же , как круговая угол является аргументом круговой функции . Сравнение можно визуализировать как размер отверстий в гиперболическом секторе и круговой сектор , так как участки этих секторов соответствуют угловым величинам в каждом конкретном случае. В отличие от круглого угла, гиперболический угол не ограничен. Когда круговые и гиперболические функции рассматриваются как бесконечный ряд в их угол аргумента, круговые те просто чередуя ряды формы гиперболических функций. Это переплетение двух типов угла и функции объяснялось Леонарда Эйлера в введении к анализу Бесконечное .

Углы в географии и астрономии

В географии , положение любой точки на Земле , может быть идентифицировано с использованием географической системы координат . Эта система определяет широту и долготу любого места с точки зрения углов укладывающихся в центре Земли, используя экватор и (обычно) в Гринвичский меридиан как ссылки.

В астрономии , заданная точка на небесной сфере (то есть, видимое положение астрономического объекта) может быть идентифицирована с использованием любого из нескольких астрономических систем координат , где ссылки варьируются в зависимости от конкретной системы. Астрономы измеряют угловое разделение двух звезд , представляя две линий через центр Земли , каждый из которых пересекает одну из звезд. Угол между этими линиями может быть измерен, а угловое расстояние между двумя звездами.

В оба географии и астрономии, направление визирования может быть определенно в терминах вертикального угла , такие как высоты / возвышение относительно горизонта , а также азимут по отношению к северу .

Астрономы также измерить видимый размер объектов в качестве углового диаметра . Например, полная луна имеет угловой диаметр приблизительно 0,5 °, если смотреть с Земли. Можно было бы сказать, «диаметр Луны стягивает угол полградуса.» Малоугловая формула может быть использована для преобразования такого углового измерения в соотношение расстояния / размере.

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

приписывание

внешняя ссылка