Евклидова геометрия - Euclidean geometry

Деталь из Афинской школы Рафаэля с изображением греческого математика - возможно, представляющего Евклида или Архимеда  - использующего компас для рисования геометрической конструкции.

Евклидова геометрия - это математическая система, приписываемая александрийскому греческому математику Евклиду , которую он описал в своем учебнике по геометрии : Элементы . Метод Евклида состоит в допущении небольшого набора интуитивно привлекательных аксиом и выводе из них многих других утверждений ( теорем ). Хотя многие из результатов Евклида были изложены более ранними математиками, Евклид был первым, кто показал, как эти предложения могут вписаться в исчерпывающую дедуктивную и логическую систему . Элементы начинается с плоской геометрии , до сих пор учат в средней школе (средней школы) в качестве первой аксиоматической системы и первые примеры математических доказательств . Он переходит к твердой геометрии в трех измерениях . Большая часть Элементов утверждает результаты того, что сейчас называется алгеброй и теорией чисел , объясненных на геометрическом языке.

Более двух тысяч лет в прилагательном «евклидова» не было необходимости, потому что не было придумано никакой другой геометрии. Аксиомы Евклида казались настолько интуитивно очевидными (за возможным исключением параллельного постулата ), что любая доказанная на их основе теорема считалась истинной в абсолютном, часто метафизическом смысле. Однако сегодня известно множество других самосогласованных неевклидовых геометрий , первые из которых были обнаружены в начале 19 века. Последствием Альберта Эйнштейна теории «s в общей теории относительности является то , что физическое пространство само по себе не является евклидовой, и евклидово пространство является хорошим приближением для него только на короткие расстояния ( по отношению к силе гравитационного поля ).

Евклидова геометрия является примером синтетической геометрии , поскольку она логически переходит от аксиом, описывающих основные свойства геометрических объектов, таких как точки и линии, к утверждениям об этих объектах, и все это без использования координат для определения этих объектов. Это контрастирует с аналитической геометрией , которая использует координаты для перевода геометрических утверждений в алгебраические формулы.

элементы

Элементы , в основном , систематизация ранее знания геометрии. Его улучшение по сравнению с более ранними методами лечения было быстро признано, в результате чего было мало интереса к сохранению более ранних методов, и теперь они почти все потеряны.

В Элементах 13 книг :

В книгах I – IV и VI обсуждается геометрия плоскости. Доказано множество результатов о плоских фигурах, например: «В любом треугольнике два угла, взятые вместе любым способом, меньше двух прямых». (Книга I, предложение 17) и теорема Пифагора «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, образующей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол». (Книга I, предложение 47)

Книги V и VII – X посвящены теории чисел , где числа рассматриваются геометрически как длины отрезков прямой или площади регионов. Таких понятия, как простые числа и рациональные и иррациональные числа введены. Доказано, что простых чисел бесконечно много.

Книги XI – XIII посвящены твердой геометрии . Типичный результат - это соотношение 1: 3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием. В платонических твердых частицах построены.

Аксиомы

Постулат параллельности (Постулат 5): если две прямые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две прямые неизбежно должны пересекать друг друга на этой стороне, если они простираются далеко. достаточно.

Евклидова геометрия - это аксиоматическая система , в которой все теоремы («истинные утверждения») выводятся из небольшого числа простых аксиом. До появления неевклидовой геометрии эти аксиомы считались очевидными в физическом мире, так что все теоремы были одинаково верными. Однако рассуждения Евклида от предположений к заключениям остаются в силе независимо от их физической реальности.

Ближе к началу первой книги Элементов Евклид дает пять постулатов (аксиом) для плоской геометрии, сформулированных в терминах конструкций (в переводе Томаса Хита):

Постулируем следующее:
  1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.
  2. Чтобы построить (удлинить) конечную прямую линию непрерывно в прямую линию.
  3. Чтобы описать круг с любым центром и расстоянием (радиусом).
  4. Что все прямые углы равны друг другу.
  5. [ Постулат о параллельности ]: если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше чем два прямых угла.

Хотя Евклид только явно утверждает существование сконструированных объектов, в его рассуждениях они неявно предполагаются уникальными.

Элементы также включают в себя следующие пять «общих понятий»:

  1. Вещи, которые равны одной и той же вещи , также равны друг другу ( транзитивным собственности из евклидова соотношения ).
  2. Если равные добавляются к равным, тогда целые равны (свойство равенства сложения).
  3. Если равные вычитаются из равных, то разности равны (свойство вычитания равенства).
  4. Совпадающие друг с другом вещи равны друг другу (рефлексивное свойство).
  5. Целое больше части.

Современные ученые согласны с тем, что постулаты Евклида не обеспечивают полного логического основания, которое Евклид требовал для своего выступления. Современные методы лечения используют более обширные и полные наборы аксиом.

Параллельный постулат

Древним этот постулат параллельности казался менее очевидным, чем другие. Они стремились создать систему абсолютно определенных утверждений, и им казалось, что постулат параллельной линии требует доказательства с помощью более простых утверждений. Теперь известно, что такое доказательство невозможно, поскольку можно построить непротиворечивые системы геометрии (подчиняясь другим аксиомам), в которых постулат параллельности истинен, и другие, в которых он ложен. Сам Евклид, по-видимому, считал его качественно отличным от других, о чем свидетельствует организация Элементов : его первые 28 утверждений - это те, которые можно доказать без этого.

Можно сформулировать множество альтернативных аксиом, которые логически эквивалентны постулату параллельности (в контексте других аксиом). Например, аксиома Playfair гласит:

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной линии, которая никогда не пересекает данную линию.

Предложение «не больше» - это все, что нужно, поскольку с помощью остальных аксиом можно доказать, что существует по крайней мере одна параллельная линия.

Доказательство из « Элементов Евклида», что с помощью отрезка прямой можно построить равносторонний треугольник, который включает отрезок в качестве одной из сторон: равносторонний треугольник ΑΒΓ создается путем рисования окружностей ∆ и Ε с центрами в точках Α и и принятия одно пересечение кругов как третья вершина треугольника.

Методы доказательства

Евклидова геометрия конструктивна . Постулаты 1, 2, 3 и 5 утверждают существование и уникальность определенных геометрических фигур, и эти утверждения носят конструктивный характер: то есть нам не только говорят, что определенные вещи существуют, но также дают методы для их создания с помощью не более чем компас и линейка без опознавательных знаков . В этом смысле евклидова геометрия более конкретна, чем многие современные аксиоматические системы, такие как теория множеств , которые часто утверждают существование объектов, не говоря, как их построить, или даже утверждают существование объектов, которые не могут быть построены в рамках теории. Строго говоря, линии на бумаге - это модели объектов, определенных в формальной системе, а не экземпляры этих объектов. Например, евклидова прямая линия не имеет ширины, но любая реальная нарисованная линия будет. Хотя почти все современные математики считают неконструктивные методы столь же надежными, как и конструктивные, конструктивные доказательства Евклида часто вытесняли ошибочные неконструктивные - например, некоторые пифагорейские доказательства, которые использовали иррациональные числа, которые обычно требовали такого утверждения, как «Найдите наибольшую общую меру». из ..."

Евклид часто использовал доказательство от противного . Евклидова геометрия также допускает метод наложения, при котором фигура переносится в другую точку пространства. Например, предложение I.4, конгруэнтность треугольников сторона-угол-сторона, доказывается перемещением одного из двух треугольников так, чтобы одна из его сторон совпадала с равной стороной другого треугольника, а затем доказыванием совпадения других сторон. . Некоторые современные методы лечения добавляют шестой постулат, жесткость треугольника, который можно использовать как альтернативу суперпозиции.

Система измерения и арифметики

Евклидова геометрия имеет два основных типа измерений: угол и расстояние . Угловая шкала является абсолютной, и Евклид использует прямой угол в качестве своей основной единицы, так что, например, угол в 45 градусов будет называться половиной прямого угла. Шкала расстояний относительна; один произвольно выбирает отрезок прямой с некоторой ненулевой длиной в качестве единицы, а другие расстояния выражаются относительно него. Сложение расстояний представлено конструкцией, в которой один линейный сегмент копируется на конец другого линейного сегмента для увеличения его длины, и аналогично для вычитания.

Измерения площади и объема производятся на основе расстояний. Например, прямоугольник шириной 3 и длиной 4 имеет площадь, представляющую произведение, 12. Поскольку эта геометрическая интерпретация умножения была ограничена тремя измерениями, не существовало прямого способа интерпретации произведения четырех или более чисел, и Евклид избегал таких произведений, хотя они подразумеваются, например, в доказательстве книги IX, предложение 20.

Пример совпадения. Две фигуры слева совпадают, а третья похожа на них. Последняя цифра - ни то, ни другое. Сравнения изменяют некоторые свойства, такие как местоположение и ориентацию, но оставляют другие неизменными, например расстояние и углы . Свойства последнего типа называются инвариантами, и их изучение составляет сущность геометрии.

Евклид называет пару линий, пару плоских или твердых фигур «равными» (ἴσος), если их длина, площадь или объем равны соответственно, и аналогично для углов. Более сильный термин « конгруэнтный » относится к идее, что вся фигура имеет тот же размер и форму, что и другая фигура. В качестве альтернативы, две фигуры являются конгруэнтными, если одну можно поставить поверх другой, чтобы она точно совпала с ней. (Переворачивание разрешено.) Таким образом, например, прямоугольник 2x6 и прямоугольник 3x4 равны, но не конгруэнтны, а буква R конгруэнтна своему зеркальному отображению. Фигуры, которые были бы совпадающими, за исключением различий в размерах, называются подобными . Соответствующие углы в паре одинаковых форм конгруэнтны, а соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

Обозначения и терминология

Именование точек и фигур

Очки обычно называют заглавными буквами алфавита. Другие фигуры, такие как линии, треугольники или круги, именуются перечислением достаточного количества точек, чтобы однозначно выделить их из соответствующей фигуры, например, треугольник ABC обычно будет треугольником с вершинами в точках A, B и C. .

Дополнительные и дополнительные углы

Углы, сумма которых является прямым, называются дополнительными . Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которое находится между двумя исходными лучами, которые образуют прямой угол. Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Углы, сумма которых составляет прямой угол, являются дополнительными . Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которое находится между двумя исходными лучами, которые образуют прямой угол (угол 180 градусов). Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

Современные версии обозначений Евклида

В современной терминологии углы обычно измеряются в градусах или радианах .

Современные школьные учебники часто определяют отдельные фигуры, называемые линиями (бесконечными), лучами (полубесконечными) и отрезками линий (конечной длины). Евклид, вместо того чтобы обсуждать луч как объект, который простирается до бесконечности в одном направлении, обычно использовал бы такие выражения, как «если бы линия удлинялась до достаточной длины», хотя иногда он упоминал «бесконечные линии». «Линия» у Евклида могла быть как прямой, так и изогнутой, и при необходимости он использовал более конкретный термин «прямая линия».

Некоторые важные или хорошо известные результаты

Pons Asinorum

PONS asinorum ( мост ослов ) утверждает , что в равнобедренных треугольников углы у основания равны друг другу, и, если равные прямые линии производятся дальше, то углы под основанием равны друг другу. Его название может быть связано с его частой ролью в качестве первого реального испытания Элементов интеллекта читателя и в качестве моста к последующим более трудным предложениям. Он также мог быть назван так из-за сходства геометрической фигуры с крутым мостом, который мог пройти только уверенный осел.

Конгруэнтность треугольников

Конгруэнтность треугольников определяется указанием двух сторон и угла между ними (SAS), двух углов и стороны между ними (ASA) или двух углов и соответствующей смежной стороны (AAS). Однако указание двух сторон и прилегающего угла (SSA) может дать два различных возможных треугольника, если только указанный угол не является прямым.

Треугольники конгруэнтны, если у них все три стороны равны (SSS), две стороны и угол между ними равны (SAS) или два угла и одна сторона равны (ASA) (Книга I, предложения 4, 8 и 26). Треугольники с тремя равными углами (AAA) похожи, но не обязательно совпадают. Кроме того, треугольники с двумя равными сторонами и прилегающим углом не обязательно равны или конгруэнтны.

Сумма углов треугольника

Сумма углов треугольника равна прямому углу (180 градусов). Это приводит к тому, что равносторонний треугольник имеет три внутренних угла в 60 градусов. Кроме того, это приводит к тому, что каждый треугольник имеет как минимум два острых угла и до одного тупого или прямого угла .

теорема Пифагора

Знаменитая теорема Пифагора (книга I, предложение 47) утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата, сторона которого является гипотенузой (сторона, противоположная прямому углу), равна сумме площадей квадратов, стороны которых равны две ноги (две стороны, которые встречаются под прямым углом).

Теорема Фалеса

Теорема Фалеса , названная в честь Фалеса Милетского, гласит, что если A, B и C являются точками на окружности, где прямая AC является диаметром окружности, то угол ABC является прямым углом. Кантор предположил, что Фалес доказал свою теорему с помощью Евклида, книга I, предложение 32, по аналогии с Евклидом, книга III, предложение 31.

Масштабирование площади и объема

В современной терминологии, площадь плоской фигуры пропорциональна квадрату любые из ее линейных размеров, и объем твердого тела к кубу, . Евклид доказал эти результаты в различных частных случаях, таких как площадь круга и объем параллелепипеда. Евклид определил некоторые, но не все, соответствующие константы пропорциональности. Например, его преемник Архимед доказал, что сфера имеет 2/3 объема описывающего цилиндра.

Приложения

Из-за фундаментального статуса евклидовой геометрии в математике непрактично давать здесь более чем репрезентативную выборку приложений.

Как следует из этимологии этого слова, одной из первых причин интереса к геометрии была геодезия , и некоторые практические результаты евклидовой геометрии, такие как свойство прямоугольности треугольника 3-4-5, были использованы задолго до того, как они появились. были формально доказаны. Основными типами измерений в евклидовой геометрии являются расстояния и углы, оба из которых могут быть измерены непосредственно геодезистом. Исторически расстояния часто измерялись цепями, такими как цепь Гюнтера , а углы - с помощью градуированных кругов, а затем и теодолита .

Применение евклидовой твердотельной геометрии - определение устройств упаковки , например, проблема поиска наиболее эффективной упаковки сфер в n измерениях. У этой проблемы есть приложения для обнаружения и исправления ошибок .

Геометрическая оптика использует евклидову геометрию для анализа фокусировки света линзами и зеркалами.

Геометрия широко используется в архитектуре .

Геометрию можно использовать для дизайна оригами . Некоторые классические задачи построения геометрии невозможны с помощью циркуля и линейки , но могут быть решены с помощью оригами .

Довольно много САПР (компьютерное проектирование) и CAM (автоматизированное производство) основано на евклидовой геометрии. Геометрия дизайна обычно состоит из форм, ограниченных плоскостями, цилиндрами, конусами, торами и т. Д. В настоящее время CAD / CAM играет важную роль при проектировании почти всего, включая автомобили, самолеты, корабли и смартфоны. Несколько десятилетий назад, сложные рисовальщиков узнал некоторые довольно передовой евклидовой геометрии, в том числе такие вещи , как теоремы Паскаля и теорема брианшона . Но теперь в этом нет необходимости, потому что все геометрические построения выполняются программами САПР.

Как описание структуры пространства

Евклид считал свои аксиомы самоочевидными утверждениями о физической реальности. Доказательства Евклида основаны на предположениях, которые, возможно, не очевидны в фундаментальных аксиомах Евклида, в частности, о том, что определенные движения фигур не меняют их геометрических свойств, таких как длины сторон и внутренние углы, так называемые евклидовы движения , которые включают смещения, отражения и вращения. фигур. Постулат 2 (продолжение линии), взятый как физическое описание пространства, утверждает, что пространство не имеет дыр или границ; постулат 4 (равенство прямых углов) гласит, что пространство изотропно и фигуры могут перемещаться в любое место, сохраняя при этом конгруэнтность ; и постулат 5 ( постулат параллельности ), что пространство плоское (не имеет внутренней кривизны ).

Как более подробно описаны ниже, Альберт Эйнштейн «сек теория относительности существенно изменяет эту точку зрения.

Неоднозначный характер аксиом, первоначально сформулированных Евклидом, позволяет различным комментаторам расходиться во мнениях относительно некоторых других их последствий для структуры пространства, например, является ли оно бесконечным (см. Ниже) и какова его топология . Современные, более строгие изменения системы обычно направлены на более четкое разделение этих проблем. Интерпретируя аксиомы Евклида в духе этого более современного подхода, аксиомы 1-4 согласуются либо с бесконечным, либо с конечным пространством (как в эллиптической геометрии ), а все пять аксиом согласуются с различными топологиями (например, плоскость, цилиндр , или тор для двумерной евклидовой геометрии).

Позже работа

Архимед и Аполлоний

Сфера имеет 2/3 объема и площади поверхности окружающего ее цилиндра. По его просьбе на гробницу Архимеда положили шар и цилиндр.

Архимед (ок. 287 г. до н. Э. - ок. 212 г. до н. Э.), Красочная фигура, о которой записано множество исторических анекдотов, запомнился наряду с Евклидом как один из величайших математиков древности. Хотя основы его работы были заложены Евклидом, его работы, в отличие от Евклида, считаются полностью оригинальными. Он доказал уравнения для объемов и площадей различных фигур в двух и трех измерениях и провозгласил архимедово свойство конечных чисел.

Аполлоний Пергский (ок. 262 г. до н. Э. - ок. 190 г. до н. Э.) В основном известен своими исследованиями конических сечений.

Рене Декарт. Портрет Франса Хальса , 1648 г.

17 век: Декарт

Рене Декарт (1596–1650) разработал аналитическую геометрию , альтернативный метод формализации геометрии, направленный на превращение геометрии в алгебру.

В этом подходе точка на плоскости представлена ​​ее декартовыми координатами ( x , y ), линия представлена ​​ее уравнением и т. Д.

В первоначальном подходе Евклида теорема Пифагора следует из аксиом Евклида. В декартовом подходе аксиомы являются аксиомами алгебры, а уравнение, выражающее теорему Пифагора, тогда является определением одного из терминов в аксиомах Евклида, которые теперь считаются теоремами.

Уравнение

определение расстояния между двумя точками P = ( p x , p y ) и Q = ( q x , q y ) тогда называется евклидовой метрикой , а другие метрики определяют неевклидовы геометрии .

В терминах аналитической геометрии ограничение классической геометрии конструкциями циркуля и линейки означает ограничение уравнениями первого и второго порядка, например, y = 2 x + 1 (линия) или x 2 + y 2 = 7 ( круг).

Также в 17 веке Жирар Дезарг , руководствуясь теорией перспективы , ввел концепцию идеализированных точек, линий и плоскостей на бесконечности. Результат можно рассматривать как тип обобщенной геометрии, проективной геометрии , но его также можно использовать для получения доказательств в обычной евклидовой геометрии, в которой количество частных случаев сокращается.

Возведение круга в квадрат: площади этого квадрата и этого круга равны. В 1882 году было доказано, что эту фигуру нельзя построить за конечное число шагов с помощью идеализированного циркуля и линейки .

18-ый век

Геометры 18 века изо всех сил пытались определить границы евклидовой системы. Многие тщетно пытались доказать пятый постулат из первых четырех. К 1763 году было опубликовано не менее 28 различных доказательств, но все они оказались неверными.

В преддверии этого периода геометры также пытались определить, какие конструкции могут быть выполнены в евклидовой геометрии. Например, проблема разделения угла на три части с помощью циркуля и линейки - это проблема, которая естественным образом возникает в рамках теории, поскольку аксиомы относятся к конструктивным операциям, которые могут быть выполнены с помощью этих инструментов. Однако столетия усилий не помогли найти решение этой проблемы, пока Пьер Ванцель не опубликовал в 1837 году доказательство невозможности такой конструкции. Другие конструкции, которые оказались невозможными, включают удвоение куба и возведение круга в квадрат . В случае удвоения куба невозможность построения проистекает из того факта, что метод циркуля и линейки включает уравнения, порядок которых является целой степенью двойки, в то время как удвоение куба требует решения уравнения третьего порядка.

Эйлер обсуждал обобщение евклидовой геометрии, называемое аффинной геометрией , которая сохраняет пятый постулат неизменным, в то же время ослабляя постулаты три и четыре таким образом, что устраняются понятия угла (из-за чего прямоугольные треугольники теряют смысл) и равенства длин отрезков прямых в целом ( откуда круги становятся бессмысленными), сохраняя при этом понятия параллелизма как отношения эквивалентности между линиями и равенства длины параллельных отрезков прямых (таким образом, отрезки продолжают иметь среднюю точку).

XIX век и неевклидова геометрия

Сравнение эллиптической, евклидовой и гиперболической геометрий в двух измерениях

В начале 19 века Карно и Мёбиус систематически развили использование знаковых углов и отрезков прямых как способ упрощения и унификации результатов.

Наиболее значительный прогресс в геометрии века произошел, когда примерно в 1830 году Янош Бойяи и Николай Иванович Лобачевский отдельно опубликовали работы по неевклидовой геометрии , в которых постулат параллельности не действителен. Поскольку неевклидова геометрия относительно совместима с евклидовой геометрией, постулат параллельности не может быть доказан с помощью других постулатов.

В 19 веке было также осознано, что десяти аксиом и общих понятий Евклида недостаточно для доказательства всех теорем, сформулированных в Элементах . Например, Евклид неявно предполагал, что любая линия содержит по крайней мере две точки, но это предположение не может быть доказано с помощью других аксиом и, следовательно, должно быть аксиомой. Самое первое геометрическое доказательство в Элементах, показанное на рисунке выше, состоит в том, что любой отрезок линии является частью треугольника; Евклид строит это обычным образом, рисуя круги вокруг обеих конечных точек и принимая их пересечение в качестве третьей вершины . Его аксиомы, однако, не гарантируют, что круги действительно пересекаются, потому что они не утверждают геометрическое свойство непрерывности, которое в декартовых терминах эквивалентно свойству полноты действительных чисел. Начиная с Морица Паша в 1882 году, было предложено много улучшенных аксиоматических систем для геометрии, наиболее известными из которых являются системы Гильберта , Джорджа Биркгофа и Тарского .

20 век и теория относительности

Опровержение евклидовой геометрии как описания физического пространства. В 1919 году в ходе проверки общей теории относительности звезды (отмеченные короткими горизонтальными линиями) были сфотографированы во время солнечного затмения . Лучи звездного света были отклонены гравитацией Солнца на пути к Земле. Это интерпретируется как свидетельство в пользу предсказания Эйнштейна о том, что гравитация вызовет отклонения от евклидовой геометрии.

Эйнштейн теория относительности предполагает четырехмерное пространство-время , то пространство Минковского , которое является неевклидовым . Это показывает, что неевклидовы геометрии, которые были введены несколькими годами ранее для демонстрации невозможности доказательства параллельного постулата , также полезны для описания физического мира.

Однако трехмерная «пространственная часть» пространства Минковского остается пространством евклидовой геометрии. Это не относится к общей теории относительности , для которой геометрия пространственной части пространства-времени не является евклидовой геометрией. Например, если треугольник состоит из трех лучей света, то в целом внутренние углы не составляют в сумме 180 градусов из-за силы тяжести. Относительно слабое гравитационное поле, такое как у Земли или Солнца, представлено метрикой, которая приблизительно, но не совсем, евклидова. До 20 века не существовало технологии, способной обнаруживать эти отклонения в лучах света от евклидовой геометрии, но Эйнштейн предсказал, что такие отклонения будут. Позже они были подтверждены наблюдениями, такими как небольшое искривление звездного света Солнцем во время солнечного затмения в 1919 году, и теперь такие соображения являются неотъемлемой частью программного обеспечения, которое запускает систему GPS .

Лечение бесконечности

Бесконечные объекты

Евклид иногда явно различал «конечные линии» (например, постулат 2) и « бесконечные линии» (книга I, предложение 12). Однако он обычно не делал таких различий, если они не были необходимы. Постулаты явно не относятся к бесконечным линиям, хотя, например, некоторые комментаторы интерпретируют постулат 3, существование круга с любым радиусом, как подразумевающий, что пространство бесконечно.

Идея бесконечно малых величин ранее широко обсуждалась элейской школой , но никому не удавалось поставить их на прочную логическую основу, поскольку возникали такие парадоксы, как парадокс Зенона, которые не были разрешены к всеобщему удовлетворению. Евклид использовал метод исчерпания, а не бесконечно малых.

Более поздние древние комментаторы, такие как Прокл (410–485 гг. Н. Э.), Рассматривали многие вопросы о бесконечности как проблемы, требующие доказательства, и, например, Прокл утверждал, что доказал бесконечную делимость линии, основываясь на доказательстве от противоречия, в котором он рассматривал случаи четного и нечетного числа составляющих его точек.

На рубеже 20-го века Отто Штольц , Поль дю Буа-Реймон , Джузеппе Веронезе и другие создали противоречивые работы по неархимедовым моделям евклидовой геометрии, в которых расстояние между двумя точками может быть бесконечным или бесконечно малым в Ньютоне. - чувство Лейбница . Пятьдесят лет спустя Авраам Робинсон заложил строгую логическую основу для работы Веронезе.

Бесконечные процессы

Одна из причин, по которой древние относились к постулату параллельности как к менее надежному, чем другие, заключается в том, что для его физической проверки нам потребовалось бы проверить две линии, чтобы убедиться, что они никогда не пересекались, даже в какой-то очень удаленной точке, и эта проверка потенциально может потребовать бесконечного количества времени.

Современная формулировка доказательства по индукции не была разработана до 17 века, но некоторые более поздние комментаторы считают ее неявной в некоторых доказательствах Евклида, например в доказательстве бесконечности простых чисел.

Предполагаемые парадоксы с участием бесконечных рядов, такие как парадокс Зенона , возникли еще до Евклида. Евклид избегал таких дискуссий, дав, например, выражение для частичных сумм геометрического ряда в IX.35, не комментируя возможность позволить количеству членов стать бесконечным.

Логическая основа

Классическая логика

Евклид часто использовал метод доказательства от противного , и поэтому традиционное представление евклидовой геометрии предполагает классическую логику , в которой каждое предложение либо истинно, либо ложно, т. Е. Для любого предложения P утверждение «P или не P» автоматически истинно. .

Современные стандарты строгости

Построение евклидовой геометрии прочной аксиоматической основы было заботой математиков на протяжении веков. Роль примитивных понятий или неопределенных понятий была четко обозначена Алессандро Падоа из делегации Пеано на Парижской конференции 1900 года:

... когда мы начинаем формулировать теорию, мы можем представить, что неопределенные символы полностью лишены смысла и что недоказанные утверждения - это просто условия, наложенные на неопределенные символы.

Тогда система идей, которую мы изначально выбрали, представляет собой просто одну интерпретацию неопределенных символов; но ... эту интерпретацию может проигнорировать читатель, который волен заменить ее в своем уме другой интерпретацией ... которая удовлетворяет условиям ...

Таким образом, логические вопросы становятся полностью независимыми от эмпирических или психологических вопросов ...

Затем систему неопределенных символов можно рассматривать как абстракцию, полученную из специализированных теорий, которые возникают, когда ... система неопределенных символов последовательно заменяется каждой из интерпретаций ...

-  Padoa, Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive quelconque

То есть математика - это контекстно-независимое знание в иерархической структуре. Как сказал Бертран Рассел :

Если наша гипотеза касается чего-либо , а не каких-то одной или нескольких конкретных вещей, то наши выводы составляют математику. Таким образом, математику можно определить как предмет, в котором мы никогда не знаем, о чем мы говорим, и о том, является ли то, что мы говорим, правдой.

-  Бертран Рассел, математика и метафизики

Такие основополагающие подходы варьируются от фундаментализма до формализма .

Аксиоматические формулировки

Геометрия - это наука о правильном рассуждении о неправильных фигурах.

-  Джордж Полиа , Как это решить , стр. 208
  • Аксиомы Евклида: В своей диссертации в Тринити-колледже в Кембридже Бертран Рассел резюмировал изменяющуюся роль геометрии Евклида в умах философов до того времени. Это был конфликт между определенным знанием, независимым от эксперимента, и эмпиризмом, требующий экспериментального вклада. Этот вопрос стал ясен, когда было обнаружено, что параллельный постулат не обязательно действителен, и его применимость была эмпирическим вопросом, решающим, была ли применимая геометрия евклидовой или неевклидовой .
  • Аксиомы Гильберта: аксиомы Гильберта преследовали цель определить простой и полный набор независимых аксиом, из которых можно было бы вывести наиболее важные геометрические теоремы. Выдающиеся цели заключались в том, чтобы сделать евклидову геометрию строгой (избегая скрытых предположений) и прояснить разветвления параллельного постулата.
  • Аксиомы Биркгофа: Биркгоф предложил четыре постулата для евклидовой геометрии, которые могут быть подтверждены экспериментально с помощью шкалы и транспортира. Эта система сильно зависит от свойств действительных чисел . Понятия угла и расстояния становятся примитивными понятиями.
  • Аксиомы Тарского : Альфред Тарский (1902–1983) и его ученики определили элементарную евклидову геометрию как геометрию, которая может быть выражена в логике первого порядка и не зависит от теории множеств для своей логической основы, в отличие от аксиом Гильберта, которые включают точку наборы. Тарский доказал, что его аксиоматическая формулировка элементарной евклидовой геометрии в определенном смысле непротиворечива и полна : существует алгоритм, который для каждого предложения может быть показан либо истинным, либо ложным. (Это не нарушает теорему Гёделя , потому что евклидова геометрия не может описать достаточный объем арифметики для применения теоремы.) Это эквивалентно разрешимости реальных замкнутых полей , моделью которых является элементарная евклидова геометрия.

Смотрите также

Классические теоремы

Примечания

использованная литература

внешние ссылки