Теория множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя - Von Neumann–Bernays–Gödel set theory

В основ математики , теории множеств фон Неймана-Bernays Геделя ( NBG ) является аксиомой теории множеств , которая является консервативным расширением из теории множеств Цермело-Френкеля-Choice (ZFC). NBG вводит понятие о классе , который представляет собой совокупность множеств , определяемых формулой которого кванторы варьируются только над множествами. NBG может определять классы, которые больше, чем наборы, такие как класс всех наборов и класс всех порядковых чисел . Теория множеств Морса – Келли (МК) позволяет определять классы с помощью формул, кванторы которых простираются до классов. NBG конечно аксиоматизируем, а ZFC и MK - нет.

Ключевой теоремой NBG является теорема существования классов, которая утверждает, что для каждой формулы, кванторы которой действуют только по множествам, существует класс, состоящий из множеств, удовлетворяющих формуле. Этот класс создается путем отражения пошагового построения формулы с классами. Поскольку все теоретико-множественные формулы построены из двух видов атомарных формул ( членство и равенство ) и конечного числа логических символов , только конечное число аксиом необходимо для построения классов, удовлетворяющих им. Вот почему NBG конечно аксиоматизируема. Классы также используются для других построений, для обработки теоретико-множественных парадоксов и для утверждения аксиомы глобального выбора , которая сильнее аксиомы выбора ZFC .

Джон фон Нейман ввел классы в теорию множеств в 1925 году. Основными понятиями его теории были функция и аргумент . Используя эти понятия, он определил класс и множество. Пол Бернейс переформулировал теорию фон Неймана, взяв класс и установку как примитивные понятия. Курт Гёдель упростил теорию Бернейса для своего доказательства относительной непротиворечивости аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума .

Занятия по теории множеств

Использование классов

Классы имеют несколько применений в NBG:

  • Они производят конечную аксиоматизацию теории множеств.
  • Они используются для утверждения «очень сильной формы аксиомы выбора », а именно аксиомы глобального выбора : существует функция глобального выбора, определенная на классе всех непустых множеств, такая, что для каждого непустого множества Это сильнее, чем у ZFC. аксиома выбора: для каждого набора непустых множеств существует функция выбора, определенная на такой, что для всех
  • С теоретико-множественными парадоксами можно справиться, признав, что некоторые классы не могут быть множествами. Например, предположим, что класс всех ординалов - это набор. Тогда является транзитивным множеством, хорошо упорядоченным по . Итак, по определению, это порядковый номер. Следовательно, что противоречит правильному упорядочиванию Следовательно, не является множеством. Поскольку класс, который не является набором, называется правильным классом , это правильный класс.
  • Правильные классы полезны в конструкциях. В своем доказательстве относительной непротиворечивости аксиомы глобального выбора и гипотезы обобщенного континуума Гёдель использовал соответствующие классы для построения конструируемой вселенной . Он построил функцию для класса всех ординалов, которая для каждого ординала строит конструктивный набор, применяя операцию построения множества к ранее построенным множествам. Конструируемая вселенная - это образ этой функции.

Схема аксиом против теоремы существования класса

После того, как классы добавлены к языку ZFC, легко преобразовать ZFC в теорию множеств с классами. Сначала добавляется схема аксиомы понимания класса. Эта аксиома утверждает схему: Для каждой формулы , что квантифицирует только над множествами, существует класс , состоящий из - кортежей , удовлетворяющих формула, то есть Тогда схема преобразования заменяются одной аксиомой , что использует класс. Наконец, аксиома ZFC о расширении изменена для обработки классов: если два класса имеют одинаковые элементы, то они идентичны. Остальные аксиомы ZFC не изменяются.

Эта теория не имеет конечной аксиоматики. Схема замены ZFC была заменена единственной аксиомой, но была введена схема аксиомы понимания классов.

Чтобы создать теорию с конечным числом аксиом, схема аксиом понимания классов сначала заменяется конечным числом аксиом существования классов . Затем эти аксиомы используются для доказательства теоремы существования классов, из которой следует каждый экземпляр схемы аксиом. Доказательство этой теоремы требует только семь аксиом класса существования, которые используются для преобразования конструкции формулы в конструкцию класса , удовлетворяющий формулу.

Аксиоматизация NBG

Классы и наборы

NBG имеет два типа объектов: классы и множества. Интуитивно каждый набор - это тоже класс. Есть два способа аксиоматизировать это. Бернейс использовал многосортную логику с двумя видами: классы и множества. Гёдель избегал сортировки, вводя примитивные предикаты: для « является классом» и для « является набором» (на немецком языке «набор» означает Менге ). Он также ввел аксиомы, гласящие, что каждый набор является классом и что если класс является членом класса, то он является набором. Использование предикатов - стандартный способ устранения сортировки. Эллиотт Мендельсон модифицировал подход Гёделя, сделав все классом и определив предикат множества как. Эта модификация исключает предикат класса Гёделя и его две аксиомы.

Двусторонний подход Бернейса на первый взгляд может показаться более естественным, но он создает более сложную теорию. В теории Бернейса каждое множество имеет два представления: одно как множество, а другое как класс. Кроме того, существуют два отношения принадлежности : первое, обозначенное «∈», находится между двумя наборами; второй, обозначаемый «η», находится между набором и классом. Эта избыточность требуется многосортной логике, потому что переменные разных видов располагаются в непересекающихся подобластях предметной области .

Различия между этими двумя подходами не влияют на то, что можно доказать, но они влияют на то, как написаны утверждения. В подходе Гёделя, где и являются классы, является допустимым утверждением. В подходе Бернейса это утверждение не имеет смысла. Однако, если это набор, существует эквивалентное утверждение: Определите «набор представляет класс », если они имеют те же наборы, что и члены, то есть оператор, где набор представляет класс , эквивалентен Гёделевскому

В данной статье использован подход Гёделя с модификацией Мендельсона. Это означает, что NBG является аксиоматической системой в логике предикатов первого порядка с равенством , и ее единственными примитивными понятиями являются класс и отношение принадлежности.

Определения и аксиомы протяженности и спаривания

Набор - это класс, который принадлежит по крайней мере к одному классу: это набор тогда и только тогда, когда . Класс, который не является набором, называется надлежащим классом: он является правильным классом тогда и только тогда, когда . Следовательно, каждый класс является либо набором, либо собственным классом, и ни один класс не является и тем, и другим (если теория непротиворечива ).

Гёдель ввел соглашение, согласно которому переменные в верхнем регистре распространяются по классам, а переменные в нижнем регистре - по множествам. Гёдель также использовал имена, начинающиеся с заглавной буквы, для обозначения определенных классов, включая функции и отношения, определенные в классе всех множеств. В этой статье используется соглашение Гёделя. Это позволяет нам писать:

Следующие аксиомы и определения необходимы для доказательства теоремы существования классов.

Аксиома протяженности. Если два класса имеют одинаковые элементы, они идентичны.

Эта аксиома обобщает аксиому ZFC о расширении на классы.

Аксиома спаривания . Еслииявляются наборами, то существует набор, единственными членами которого являютсяи.

Как и в ZFC, из аксиомы протяженности следует единственность множества , что позволяет нам ввести обозначение

Упорядоченные пары определяются:

Кортежи определяются индуктивно с помощью упорядоченных пар:

Аксиомы существования классов и аксиома регулярности

Аксиомы существования классов будут использоваться для доказательства теоремы существования классов: для каждой формулы в переменных свободного набора, которая дает количественную оценку только по множествам, существует класс -наборов, которые ей удовлетворяют. Следующий пример начинается с двух классов, которые являются функциями, и создает составную функцию . Этот пример иллюстрирует методы, необходимые для доказательства теоремы существования классов, которые приводят к необходимым аксиомам существования классов.

Пример 1: Если классы и являются функциями, то составная функция определяется формулой: Поскольку эта формула имеет две переменные свободного набора, и теорема существования класса строит класс упорядоченных пар:

Поскольку эта формула построена из более простых формул с использованием конъюнкции и экзистенциальной квантификации , необходимы операции с классами, которые принимают классы, представляющие более простые формулы, и создают классы, представляющие формулы с помощью и . Чтобы создать класс, представляющий формулу с , используется пересечение, поскольку для создания класса, представляющего формулу с , используется домен, поскольку

Перед тем как пересечение, кортежи в и нужен дополнительный компонент , поэтому они имеют одни и те же переменные. Компонент добавляется к кортежам и добавляется к кортежам :

а также

В определении переменная не ограничивается заявлением, поэтому она охватывает класс всех наборов. Точно так же в определении диапазона переменной требуется аксиома, которая добавляет дополнительный компонент (значения которого превышают диапазон ) к кортежам данного класса.

Затем переменные располагаются в том же порядке, чтобы подготовиться к пересечению:

а также

Чтобы перейти от к и от к, требуются две разные перестановки , поэтому необходимы аксиомы, поддерживающие перестановки компонентов кортежа.

Пересечение и ручки :

Поскольку определяется как , берет домен дескрипторов и создает составную функцию:

Итак, необходимы аксиомы пересечения и области.

Аксиомы существования классов делятся на две группы: аксиомы, управляющие языковыми примитивами, и аксиомы, управляющие кортежами. В первой группе четыре аксиомы, а во второй - три.

Аксиомы для работы с языковыми примитивами:

Членство. Существует класс, содержащий все упорядоченные пары, первый компонент которых является членом второго компонента.

Пересечение (соединение). Для любых двух классов и существует класс, состоящий в точности из наборов, принадлежащих обоим и .

Дополнение (отрицание). Для любого классасуществует класс,состоящий в точности из множеств, не принадлежащих.

Домен (экзистенциальный квантификатор). Для любого класса существует класс, состоящий в точности из первых компонентов упорядоченных пар .

По аксиоме протяженности класс в аксиоме пересечения и класс в аксиомах дополнения и области уникальны. Они будут обозначаться: и соответственно. С другой стороны, экстенсиональность не применима к аксиоме членства, поскольку она определяет только те множества, которые являются упорядоченными парами.

Первые три аксиомы подразумевают существование пустого класса и класса всех множеств: Аксиома принадлежности подразумевает существование класса . Аксиомы пересечения и дополнения подразумевают существование пустого класса . По аксиоме протяженности этот класс единственен; он обозначается как Дополнение к классу всех множеств, которое также уникально по экстенсиональности. Предикат набора , который был определен как , теперь переопределен, чтобы избежать количественной оценки по классам.

Аксиомы для работы с кортежами:

Продукт от . Для любого классасуществует класс,состоящий из упорядоченных пар, к которым принадлежит первый компонент.

Круговая перестановка . Для любого классасуществует класс,чьи 3-х кортежи получаются путем применения круговой перестановкик 3-х кортежам.

Транспозиция . Для любого классасуществует класс, 3-кортежи которого получаются транспонированием последних двух компонентов 3-кортежей.

По экстенсиональности произведение по аксиоме подразумевает существование уникального класса, который обозначается как Эта аксиома используется для определения класса всех -наборов : и если это класс, то экстенсиональность означает, что это единственный класс, состоящий из -наборов. из Например, членства аксиома производит класс , который может содержать элементы, которые не упорядоченные пары, а пересечение содержит только упорядоченные пары .

Аксиомы круговой перестановки и транспозиции не подразумевают существования уникальных классов, потому что они определяют только 3-кортежи класса. Указав 3-кортежи, эти аксиомы также определяют -кортежи для, поскольку: Аксиомы для обработки кортежей и аксиома предметной области следует следующая лемма, которая используется при доказательстве теоремы существования классов.

Лемма о кортеже.

Доказательство:   Класс : Применить продукт к для создания Класс : Применить транспонирование для создания Класс : Применить круговую перестановку для создания Класс : Применить круговую перестановку к , затем применить домен для создания
            
            
            

Для доказательства теоремы существования классов нужна еще одна аксиома: аксиома регулярности . Поскольку существование пустого класса доказано, дается обычная формулировка этой аксиомы.

Аксиома регулярности . В каждом непустом множестве есть хотя бы один элемент, с которым у него нет ничего общего.

Эта аксиома подразумевает, что набор не может принадлежать самому себе: Предположим, что и пусть Then, поскольку это противоречит аксиоме регулярности, потому что это единственный элемент в Следовательно, аксиома регулярности также запрещает бесконечные убывающие последовательности принадлежности множеств:

Гедель сформулировал регулярность для классов, а не для множеств в своей монографии 1940 г., основанной на лекциях, прочитанных в 1938 г. В 1939 г. он доказал, что регулярность для множеств влечет регулярность для классов.

Теорема существования класса

Теорема существования класса. Позвольте быть формулой, которая дает количественную оценку только по множествам и не содержит никаких свободных переменных, кроме (не обязательно все из них). Тогда для всех , существует единственный класс из -кортежей , что: Класс обозначается

Доказательство теоремы будет выполнено в два этапа:

  1. Правила преобразования используются для преобразования данной формулы в эквивалентную формулу, которая упрощает индуктивную часть доказательства. Например, только логические символы в преобразованных формулах являются , и , таким образом , индукционным обрабатывают логические символы с только в трех случаях.
  2. Теорема существования классов доказывается индуктивно для преобразованных формул. Руководствуясь структурой преобразованной формулы, аксиомы существования классов используются для создания уникального класса -корпостей, удовлетворяющих этой формуле.

Правила трансформации. В правилах 1 и 2 ниже и обозначают переменные набора или класса. Эти два правила исключают все вхождения переменных класса перед знаком и все вхождения равенства. Каждый раз, когда к подформуле применяется правило 1 или 2, выбирается так, чтобы оно отличалось от других переменных в текущей формуле. Эти три правила повторяются до тех пор, пока не останется подформул, к которым они могут быть применены. Это создает формулу, которая построена только , , , , набор переменных и переменные класса , где не появляются до того, как .

  1. превращается в
  2. Расширяемость используется для преобразования в
  3. Логические тождества используются для преобразования подформул, содержащих и в подформулы, которые используют только и

Правила преобразования: связанные переменные . Рассмотрим формулу составной функции из примера 1, в которой переменные свободного набора заменены на и : индуктивное доказательство удалит , что даст формулу. Однако, поскольку теорема существования класса сформулирована для переменных с индексами, эта формула не имеет формы, ожидаемой гипотеза индукции . Эта проблема решается заменой переменной на. Связанные переменные во вложенных квантификаторах обрабатываются увеличением нижнего индекса на единицу для каждого последующего квантификатора. Это приводит к правилу 4, которое должно применяться после других правил, поскольку правила 1 и 2 производят количественные переменные.

  1. Если формула не содержит переменных свободного набора, кроме связанных переменных, вложенных в кванторы, они заменяются на . Эти переменные имеют (квантификатор) глубину вложенности .

Пример 2: Правило 4 применяется к формуле, которая определяет класс, состоящий из всех наборов формы То есть, наборы, которые содержат не менее, и набор, содержащий - например, где и являются наборами.

Поскольку это единственная свободная переменная, количественная переменная появляется дважды на глубине вложенности 2. Ее нижний индекс равен 3, потому что если две области квантификатора находятся на одной и той же глубине вложенности, они либо идентичны, либо не пересекаются. Два вхождения находятся в непересекающихся областях действия квантора, поэтому они не взаимодействуют друг с другом.

Доказательство теоремы существования класса. Доказательство начинается с применения правил преобразования к данной формуле для получения преобразованной формулы. Поскольку эта формула эквивалентна данной формуле, доказательство завершается доказательством теоремы существования классов для преобразованных формул.

Гёдель указал, что теорема существования классов «является метатеоремой , то есть теоремой о системе [NBG], а не о системе…» Это теорема о NBG, потому что она доказывается в метатеории индукцией по формулам NBG. Кроме того, его доказательство - вместо использования конечного числа аксиом NBG - индуктивно описывает, как использовать аксиомы NBG для построения класса, удовлетворяющего заданной формуле. Для каждой формулы это описание можно превратить в конструктивное доказательство существования, которое есть в NBG. Следовательно, эта метатеорема может генерировать доказательства NBG, которые заменяют использование теоремы существования классов NBG.

Рекурсивная компьютерная программа лаконично захватывает строительство класса из данной формулы. Определение этой программы не зависит от доказательства теоремы существования классов. Однако доказательство необходимо, чтобы доказать, что класс, построенный программой, удовлетворяет заданной формуле и построен с использованием аксиом. Эта программа написана в псевдокоде, который использует оператор case в стиле Паскаля .



Пусть будет формула примера 2 . Вызов функции генерирует класс, который ниже сравнивается с. Это показывает, что конструкция класса отражает построение его определяющей формулы.

Расширение теоремы существования класса

Гёдель распространил теорему существования классов на формулы, содержащие отношения над классами (такие как и унарное отношение ), специальные классы (такие как ) и операции (такие как и ). Чтобы расширить теорему существования классов, формулы, определяющие отношения, специальные классы и операции, должны количественно определять только по множествам. Тогда ее можно преобразовать в эквивалентную формулу, удовлетворяющую условию теоремы существования классов .

Следующие определения определяют, как формулы определяют отношения, специальные классы и операции:

  1. Отношение определяется:
  2. Особый класс определяется:
  3. Операция определяется:

Термин определяется следующим образом:

  1. Переменные и специальные классы - это термины.
  2. Если это операция с аргументами и термины, то это термин.

Следующие правила преобразования исключают отношения, специальные классы и операции. Каждый раз, когда к подформуле применяется правило 2b, 3b или 4, выбирается так, чтобы оно отличалось от других переменных в текущей формуле. Правила повторяются до тех пор, пока не останется подформул, к которым они могут быть применены. и обозначают термины.

  1. Отношение заменяется определяющей формулой
  2. Пусть - определяющая формула для специального класса
    1. заменяется на
    2. заменяется на
  3. Пусть - определяющая формула для операции
    1. заменяется на
    2. заменяется на
  4. Расширяемость используется для преобразования в
Пример 3: преобразование

Пример 4: Преобразование

Этот пример показывает, как правила преобразования работают вместе, чтобы исключить операцию.

Теорема существования класса (расширенная версия). Пусть будет формулой, которая дает количественную оценку только по наборам, не содержит никаких свободных переменных, кроме , и может содержать отношения, специальные классы и операции, определенные формулами, которые количественно определяют только по множествам. Тогда для всех существует единственный класс из -грамм таким образом, что

Доказательство: примените правила преобразования к, чтобы получить эквивалентную формулу, не содержащую отношений, специальных классов или операций. Эта формула удовлетворяет условию теоремы существования классов. Таким образом, для всех есть уникальный класс из -кортежей удовлетворяющего

Установить аксиомы

Аксиомы спаривания и регулярности, которые потребовались для доказательства теоремы существования классов, были приведены выше. NBG содержит четыре другие установленные аксиомы. Три из этих аксиом имеют дело с классовыми операциями, применяемыми к множествам.

Определение. является функцией, если

В теории множеств определение функции не требует указания области или домена функции (см. Функция (теория множеств) ). Определение функции NBG обобщает определение ZFC от набора упорядоченных пар до класса упорядоченных пар.

Определения ZFC наборов операций изображения , объединения и набора мощности также обобщены на операции классов. Образ класса под функцией является Это определение не требует , чтобы объединение класса является классом мощности является расширенной версией класса существования теорема вытекает существование этих классов. Аксиомы замены, объединения и набора мощности подразумевают, что, когда эти операции применяются к множествам, они производят множества.

Аксиома замещения. Если функция и представляет собой набор, а затем , то изображение из Under , представляет собой набор.

Отсутствие требования в определении дает более сильную аксиому замены, которая используется в следующем доказательстве.

Теорема ( аксиома отделимости НБГ ). Если - это набор и является подклассом, то является набором. Доказательство: Существование класса теорема конструирует ограничение в тождественной функции к : Поскольку образом Under является аксиома замены означает , что это набор. Это доказательство зависит от определения изображения, не имеющего требования, поскольку, а не

Аксиома союза. Если есть набор, то есть набор, содержащий

Аксиома власти. Если есть набор, то есть набор, содержащий

Теорема. Если есть множество, то и есть множества. Доказательство: аксиома объединения утверждает, что это подкласс набора , поэтому аксиома разделения подразумевает, что это набор. Точно так же аксиома набора мощности утверждает, что это подкласс набора , поэтому аксиома разделения подразумевает, что это набор.

Аксиома бесконечности. Существует непустое множество, такое что для all in существует in такое, что является собственным подмножеством .

Аксиомы бесконечности и замены доказывают существование пустого множества . При обсуждении аксиом существования классов было доказано существование пустого класса . Теперь докажем, что это множество. Пусть функция и пусть будет множество, заданное аксиомой бесконечности. При замене образ под , который равен , является набором.

Аксиома НБГА бесконечности вытекает ZFC в аксиомах бесконечности : Первый конъюнкт аксиомы ZFC, в , вытекает первое соединится аксиома НБГА. Второй конъюнкт аксиомы ZFC,, подразумевает второй конъюнкт аксиомы NBG, поскольку для доказательства аксиомы бесконечности ZFC из аксиомы бесконечности NBG требуются некоторые другие аксиомы NBG (см. Слабая аксиома бесконечности ).

Аксиома глобального выбора

Концепция классов позволяет NBG иметь более сильную аксиому выбора, чем ZFC. Функция выбора - это функция, определенная на множестве непустых множеств, такая, что для всех аксиом выбора ZFC утверждает, что существует функция выбора для каждого множества непустых множеств. Функция глобального выбора - это функция, определенная в классе всех непустых множеств, так что для каждого непустого множества аксиома глобального выбора утверждает, что существует функция глобального выбора. Эта аксиома вытекает аксиому ZFC по выбору , так как для каждого набора непустых множеств ( ограничение на к ) является функцией выбора в 1964 году, Уильям Б. Easton доказал , что глобальный выбор сильнее , чем аксиома выбора с помощью принуждения , чтобы построить модель, которая удовлетворяет аксиоме выбора и всем аксиомам NBG, кроме аксиомы глобального выбора. Аксиома глобального выбора эквивалентна каждому классу, имеющему хороший порядок, в то время как аксиома выбора ZFC эквивалентна каждому набору, имеющему хороший порядок.

Аксиома глобального выбора. Существует функция, которая выбирает элемент из каждого непустого множества.

История

см. подпись
История подходов, которые привели к теории множеств NBG

Система аксиом фон Неймана 1925 года

Фон Нейман опубликовал вступительную статью о своей системе аксиом в 1925 году. В 1928 году он дал подробное описание своей системы. Фон Нейман основал свою систему аксиом на двух областях примитивных объектов: функциях и аргументах. Эти домены перекрываются - объекты, которые находятся в обоих доменах, называются функциями-аргументами. Функции соответствуют классам в NBG, а функции-аргументы соответствуют множествам. Примитивная операция фон Неймана - это приложение функции , обозначаемое [ ax ], а не a ( x ), где a - функция, а x - аргумент. Эта операция дает аргумент. Фон Неймана определенные классы и наборы с использованием функций и аргументов функций , которые принимают только два значения, A и B . Он определил х  ∈  , если [ ,  х ] ≠  .

На работу фон Неймана в области теории множеств повлияли статьи Георга Кантора , аксиомы теории множеств Эрнста Цермело 1908 года и критика теории множеств Цермело в 1922 году, которая была независимо дана Абрахамом Френкелем и Торальфом Сколемом . Оба Френкеля и Skolem отметил, что аксиомы Цермело не может доказать существование множества { Z 0Z 1Z 2 , ...} , где Z 0 является множество натуральных чисел и Z п + 1 является в комплект питания от Z п . Затем они ввели аксиому замены, которая гарантировала бы существование таких множеств. Однако они не хотели принимать эту аксиому: Френкель заявил, что «Замена была слишком сильной аксиомой для« общей теории множеств »», а «Сколем только написал, что« мы можем ввести «Замещение» ».

Фон Нейман работал над проблемами теории множеств Цермело и предоставил решения для некоторых из них:

  • Теория ординалов
    • Проблема: теорию порядковых чисел Кантора нельзя развить в теории множеств Цермело, потому что в ней отсутствует аксиома замены.
    • Решение: фон Нейман восстановил теорию Кантора, определив порядковые числа с использованием множеств, которые хорошо упорядочены по отношению ∈, и с помощью аксиомы замены для доказательства ключевых теорем об ординалах, например, каждое упорядоченное множество изоморфно по порядку. с порядковым номером. В отличие от Френкеля и Сколема, фон Нейман подчеркивал, насколько важна аксиома замены для теории множеств: «Фактически, я считаю, что никакая теория ординалов невозможна без этой аксиомы».
  • Критерий, определяющий классы, которые слишком велики, чтобы их можно было установить
    • Проблема: Цермело не предоставил такой критерий. Его теория множеств избегает больших классов, которые приводят к парадоксам , но не учитывает многие множества, такие как упомянутое Френкелем и Сколемом.
    • Решение: Фон Нейман ввел критерий: класс слишком велик, чтобы быть множеством, тогда и только тогда, когда он может быть отображен на класс V всех множеств. Фон Нейман понял, что теоретико-множественных парадоксов можно избежать, не позволяя таким большим классам быть членами какого-либо класса. Комбинируя это ограничение с его критерием, он получил свою аксиому ограничения размера : A класса C не является членом любого класса , если и только если С может быть отображен на V .
  • Конечная аксиоматизация
    • Проблема: Цермело использовал неточное понятие «определенной пропозициональной функции » в своей аксиоме разделения .
    • Решения: Сколем представил схему разделения аксиом, которая позже была использована в ZFC, а Френкель представил эквивалентное решение. Однако Цермело отверг оба подхода, «особенно потому, что они неявно включают понятие натурального числа, которое, по мнению Цермело, должно основываться на теории множеств». Фон Нейман избегал схем аксиом , формализовав понятие «определенной пропозициональной функции» с помощью своих функций, построение которых требует лишь конечного числа аксиом. Это привело к тому, что его теория множеств имела конечное число аксиом. В 1961 году Ричард Монтегю доказал, что ZFC нельзя аксиоматизировать с помощью конечной точки.
  • Аксиома регулярности
    • Проблема: теория множеств Цермело начинается с пустого множества и бесконечного множества и повторяет аксиомы спаривания, объединения, набора мощности, разделения и выбора для создания новых множеств. Однако он не ограничивает наборы ими. Например, это позволяет наборы, которые не вполне обоснованные , такие как набор х , удовлетворяющих х  ∈  х .
    • Решения: Френкель ввел аксиому, исключающую эти множества. Фон Нейман проанализировал аксиому Френкеля и заявил, что она не была «точно сформулирована», но приблизительно говорила: «Помимо множеств ... чье существование абсолютно требуется аксиомами, других множеств нет». Фон Нейман предложил аксиому регулярности как способ исключения необоснованных множеств, но не включил ее в свою систему аксиом. В 1930 году Цермело первым опубликовал систему аксиом, включающую закономерность.

Система аксиом фон Неймана 1929 г.

см. подпись
Джон фон Нейман

В 1929 году фон Нейман опубликовал статью, содержащую аксиомы, которые привели к NBG. Эта статья была мотивирована его озабоченностью по поводу непротиворечивости аксиомы ограничения размера. Он заявил, что эта аксиома «делает многое, на самом деле слишком много». Помимо применения аксиом разделения и замены и теоремы о хорошем порядке , это также означает, что любой класс, мощность которого меньше, чем у V, является множеством. Фон Нейман считал, что это последнее утверждение выходит за рамки канторовской теории множеств, и пришел к выводу: «Следовательно, мы должны обсудить, не является ли его [аксиома] непротиворечивость даже более проблематичной, чем аксиоматизация теории множеств, которая не выходит за рамки необходимых канторовских рамок».

Фон Нейман начал свое исследование согласованности с введения своей системы аксиом 1929 года, которая содержит все аксиомы его системы аксиом 1925 года, за исключением аксиомы ограничения размера. Он заменил эту аксиому двумя ее следствиями: аксиомой замены и аксиомой выбора. Аксиома выбора фон Неймана гласит: «Каждое отношение R имеет подкласс, который является функцией с той же областью определения, что и R ».

Пусть S - система аксиом фон Неймана 1929 года. Фон Нейман ввел систему аксиом S + Регулярность (который состоит из S и аксиомы регулярности) , чтобы продемонстрировать , что его система 1925 является последовательным по отношению к S . Он доказал:

  1. Если S непротиворечиво, то S + Регулярность непротиворечива.
  2. S + Регулярность подразумевает аксиому ограничения размера. Поскольку это единственная аксиома его 1925 системы аксиом , что S + Закономерность не имеет, S + Регулярность подразумевает все аксиомы его системы 1925.

Эти результаты означают: если S непротиворечива, то система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива. Доказательство: если S непротиворечиво, то S + регулярность непротиворечива (результат 1). Используя доказательство от противного , предположим, что система аксиом 1925 года несовместима, или, что то же самое: система аксиом 1925 года подразумевает противоречие. Поскольку из S + регулярности следует аксиома системы 1925 г. (результат 2), из S + регулярности также следует противоречие. Однако это противоречит непротиворечивости S + Regularity. Следовательно, если S непротиворечива, то система аксиом фон Неймана 1925 года непротиворечива.

Поскольку S - это его система аксиом 1929 года, система аксиом фон Неймана 1925 года согласована с его системой аксиом 1929 года, которая ближе к канторовской теории множеств. Основными различиями между канторовской теорией множеств и системой аксиом 1929 г. являются классы и аксиома выбора фон Неймана. Система аксиом S + Regularity была модифицирована Бернейсом и Гёделем для создания эквивалентной системы аксиом NBG.

Система аксиом Бернейса

Пол Бернейс

В 1929 году Пол Бернейс начал модифицировать новую систему аксиом фон Неймана, взяв классы и множества в качестве примитивов. Он опубликовал свою работу в серии статей, появившихся с 1937 по 1954 год. Бернейс заявил, что:

Цель модификации системы фон Неймана состоит в том, чтобы оставаться ближе к структуре исходной системы Цермело и в то же время использовать некоторые теоретико-множественные концепции логики Шредера и Principia Mathematica, которые стали известны логикам. Как будет видно, такая компоновка приводит к значительному упрощению.

Бернейс обрабатывал наборы и классы в двухсортированной логике и ввел два примитива членства: один для членства в наборах и один для членства в классах. С помощью этих примитивов он переписал и упростил аксиомы фон Неймана 1929 года. Бернейс также включил аксиому регулярности в свою систему аксиом.

Система аксиом Гёделя (NBG)

см. подпись
Курт Гёдель, ок. 1926 г.    

В 1931 году Бернейс отправил Курту Гёделю письмо, содержащее свою теорию множеств . Гёдель упростил теорию Бернейса, сделав каждый набор классом, что позволило ему использовать только один вид и один примитив членства. Он также ослабил некоторые аксиомы Бернейса и заменил аксиому выбора фон Неймана эквивалентной аксиомой глобального выбора. Гёдель использовал свои аксиомы в своей монографии 1940 г. об относительной непротиворечивости глобального выбора и гипотезы обобщенного континуума.

Гедель выбрал NBG для своей монографии по нескольким причинам:

  • Гёдель привел математическую причину - глобальный выбор NBG дает более сильную теорему согласованности: «Эта более сильная форма аксиомы [выбора], если она согласуется с другими аксиомами, конечно же, подразумевает, что более слабая форма также согласована».
  • Роберт Соловей предположил: «Я предполагаю, что он [Гёдель] хотел избежать обсуждения технических деталей, связанных с развитием зачатков теории моделей в рамках аксиоматической теории множеств».
  • Кеннет Кунен привел причину, по которой Гедель избегал этого обсуждения: «Существует также гораздо более комбинаторный подход к L [ конструируемой вселенной ], разработанный ... [Геделем в его монографии 1940 года] в попытке объяснить свою работу не- логики ... Достоинство этого подхода состоит в том, что он устраняет все остатки логики из трактовки L ».
  • Чарльз Парсонс привел философскую причину выбора Гёделя: «Эта точка зрения [что« свойство множества »является примитивом теории множеств] может быть отражена в выборе Гёделем теории с классовыми переменными в качестве основы для ... [его монография] . "

Достижения Гёделя вместе с деталями его презентации привели к известности, которой NBG будет пользоваться в течение следующих двух десятилетий. В 1963 году Пол Коэн доказал свои доказательства независимости для ZF с помощью некоторых инструментов, которые Гёдель разработал для своих доказательств относительной непротиворечивости для NBG. Позже ZFC стал популярнее NBG. Это было вызвано несколькими факторами, включая дополнительную работу, необходимую для обработки форсинга в NBG, презентацию форсинга Коэном 1966 года, в которой использовался ZF, и доказательство того, что NBG является консервативным расширением ZFC.

NBG, ZFC и MK

NBG логически не эквивалентен ZFC, потому что его язык более выразительный: он может делать утверждения о классах, которые не могут быть сделаны в ZFC. Однако NBG и ZFC подразумевают одни и те же утверждения о множествах. Следовательно, NBG - это консервативное расширение ZFC. NBG подразумевает теоремы, которые не следует из ZFC, но поскольку NBG является консервативным расширением, эти теоремы должны включать соответствующие классы. Например, это теорема НБС , что глобальная аксиома означает , что собственный класс V может быть вполне упорядочено и что каждый собственный класс может быть введен в один-однозначное соответствие с V .

Одним из следствий консервативного расширения является то, что ZFC и NBG равнозначны . Доказательство этого использует принцип взрыва : из противоречия все доказуемо. Предположим, что ZFC или NBG несовместимы. Тогда несовместная теория влечет противоречивые утверждения ∅ = ∅ и ∅ ≠ ∅, которые являются утверждениями о множествах. Согласно свойству консервативного расширения, другая теория также подразумевает эти утверждения. Следовательно, это тоже непоследовательно. Таким образом, хотя NBG более выразителен, он одинаково совместим с ZFC. Этот результат вместе с доказательством относительной непротиворечивости фон Неймана 1929 г. подразумевает, что его система аксиом 1925 г. с аксиомой ограничения размера равнозначна ZFC. Это полностью снимает озабоченность фон Неймана относительной непротиворечивостью этой мощной аксиомы, поскольку ZFC находится в канторианских рамках.

Несмотря на то, что NBG является консервативным расширением ZFC, теорема может иметь более короткое и элегантное доказательство в NBG, чем в ZFC (или наоборот). Обзор известных результатов такого рода см. В Pudlák 1998 .

Теория множеств Морса – Келли имеет схему аксиом понимания классов, которая включает формулы, кванторы которых простираются до классов. MK - более сильная теория, чем NBG, потому что MK доказывает непротиворечивость NBG, а вторая теорема Гёделя о неполноте подразумевает, что NBG не может доказать непротиворечивость NBG.

Для обсуждения некоторых онтологических и других философских вопросов, поставленных NBG, особенно в сравнении с ZFC и MK, см. Приложение C к Potter 2004 .

Модели

ZFC, NBG и MK имеют модели, описываемые в терминах совокупной иерархии V α и конструктивной иерархии L α . Пусть V включает недоступный кардинал κ, пусть XV κ , и пусть Def ( X ) обозначает класс определимых подмножеств первого порядка в X с параметрами. В символах, где " " обозначает модель с предметной областью и отношением , а " " обозначает отношение удовлетворения :

Потом:

  • ( V κ , ∈) и ( L κ , ∈) являются моделями ZFC .
  • ( V κV κ + 1 , ∈) - модель МК, где V κ состоит из множеств модели, а V κ + 1 состоит из классов модели. Поскольку модель MK является моделью NBG, эта модель также является моделью NBG.
  • ( V κ , Def ( V κ ), ∈) - это модель версии NBG Мендельсона, которая заменяет аксиому глобального выбора NBG аксиомой выбора ZFC. Аксиомы ZFC верны в этой модели, потому что ( V κ , ∈) является моделью ZFC. В частности, аксиома выбора ZFC верна, но глобальный выбор NBG может потерпеть неудачу. Аксиомы существования классов NBG верны в этой модели, потому что классы, существование которых они утверждают, могут быть определены определениями первого порядка. Например, аксиома принадлежности выполняется, поскольку класс определяется следующим образом:
  • ( L κ , L κ + , ∈), где κ + является преемником кардинальное из х, является моделью НБС. Аксиомы существования классов NBG верны в ( L κL κ + , ∈). Например, аксиома принадлежности выполняется, поскольку класс определяется следующим образом:
Итак, E  ∈ 𝒫 ( L κ ). В доказательство того, что ОСИ истинно в L , Гедель доказал , что 𝒫 ( L К , ) ⊆  L κ + . Следовательно, E  ∈  L κ + , поэтому аксиома принадлежности верна в ( L κL κ + , ∈). Точно так же верны и другие аксиомы существования классов. Аксиома глобального выбора верна, потому что L κ хорошо упорядочен ограничением функции Гёделя (которая отображает класс ординалов в конструктивные множества) на ординалы, меньшие, чем κ. Следовательно, ( L κL κ + , ∈) является моделью NBG.

Теория категорий

Онтология NBG позволяет говорить о «больших объектах» без риска парадокса. Например, в некоторых разработках теории категорий « большая категория » определяется как категория, объекты и морфизмы которой составляют соответствующий класс. С другой стороны, «малая категория» - это категория, объекты и морфизмы которой являются членами множества. Таким образом, мы можем говорить о « категории всех множеств » или « категории всех малых категорий », не рискуя парадоксом, поскольку NBG поддерживает большие категории.

Однако NBG не поддерживает «категорию всех категорий», поскольку в нее могут входить большие категории, а NBG не позволяет соответствующим классам быть членами чего-либо. Онтологическим расширением, позволяющим формально говорить о такой «категории», является конгломерат , представляющий собой совокупность классов. Тогда «категория всех категорий» определяется своими объектами: конгломератом всех категорий; и его морфизмы: конгломерат всех морфизмов от A до B, где A и B - объекты. О том, подходит ли онтология, включающая как классы, так и множества, теории категорий, см. Muller 2001 .

Примечания

использованная литература

Библиография

внешние ссылки