Недоступный кардинал - Inaccessible cardinal

В теории множеств , несчетные кардинальный является недоступным , если он не может быть получен из более мелких кардиналов обычных операций кардинальной арифметики . Точнее, кардинал является сильно недоступен , если несчетно, это не сумма меньше , чем кардиналы, которые меньше , и подразумевает .

Термин «недоступный кардинал» неоднозначен. Примерно до 1950 года оно означало «слабо недоступный кардинал», но с тех пор обычно означает «сильно недоступный кардинал». Несчетный кардинал слабо недоступен, если это обычный слабый предельный кардинал . Он сильно недоступен или просто недоступен, если это обычный сильный предельный кардинал (это эквивалентно определению, данному выше). Некоторые авторы не требуют, чтобы слабо и сильно недоступные кардиналы были неисчислимыми (в этом случае категорически недоступны). Слабо недоступные кардиналы были введены Хаусдорфом (1908) , а сильно недоступные - Серпиньским и Тарским (1930) и Цермело (1930) .

Каждый сильно недоступный кардинал также слабо недоступен, так как каждый сильный предельный кардинал также является слабым предельным кардиналом. Если гипотеза обобщенного континуума верна, то кардинал сильно недоступен тогда и только тогда, когда он слабо недоступен.

( aleph-null ) - обычный кардинал с сильным пределом. Если исходить из выбранной аксиомы , любое другое бесконечное кардинальное число является правильным или (слабым) пределом. Однако только довольно большое кардинальное число может быть и тем, и другим и, следовательно, слабо недоступным.

Порядковый является слабо недостижимым кардинальной тогда и только тогда , когда она является регулярным порядковой и это предел регулярных ординалов. (Ноль, единица и - обычные порядковые числа, но не пределы обычных порядковых чисел.) Кардинал, который слабо недоступен, а также сильный предельный кардинал, строго недоступен.

Предположение о существовании сильно недоступного кардинала иногда применяется в форме предположения, что можно работать внутри вселенной Гротендика , причем эти две идеи тесно связаны.

Модели и последовательность

Теория множеств Цермело – Френкеля с выбором (ZFC) подразумевает, что V κ является моделью ZFC, когда κ сильно недоступен. И ZF подразумевает, что вселенная Гёделя L κ является моделью ZFC, когда κ слабо недоступен. Таким образом, ZF вместе с «существует слабо недоступный кардинал» означает, что ZFC непротиворечива. Поэтому недоступные кардиналы - это разновидность большого кардинала .

Если V - стандартная модель ZFC, а κ - недоступное в V , то: V κ - одна из предполагаемых моделей теории множеств Цермело – Френкеля ; и Def ( V κ ) - одна из предполагаемых моделей теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя, предложенной Мендельсоном, которая исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором; а V κ +1 - одна из предполагаемых моделей теории множеств Морса – Келли . Здесь Def ( X ) - Δ 0 определимые подмножества X (см. Конструктивную вселенную ). Однако κ не обязательно должно быть недоступным или даже количественным числом, чтобы V κ была стандартной моделью ZF (см. Ниже ).

Предположим, V - модель ZFC. Либо V не содержит сильных недоступных, либо, если взять κ как наименьшее сильное недоступное в V, V κ является стандартной моделью ZFC, которая не содержит сильных недоступных. Таким образом, непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + «нет сильных недоступных». Точно так же либо V не содержит слабых недоступных, либо, принимая κ как наименьший порядковый номер, который является слабо недоступным относительно любой стандартной подмодели V, тогда L κ является стандартной моделью ZFC, которая не содержит слабых недоступных. Итак, согласованность ZFC подразумевает согласованность ZFC + «нет слабых недоступных». Это показывает, что ZFC не может доказать существование недоступного кардинала, поэтому ZFC согласуется с отсутствием каких-либо недоступных кардиналов.

Вопрос о том, согласуется ли ZFC с существованием недоступного кардинала, является более тонким. Обрисованное в предыдущем абзаце доказательство того, что непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + «нет недоступного кардинала», может быть формализовано в ZFC. Однако, предполагая, что ZFC непротиворечив, никакое доказательство того, что непротиворечивость ZFC подразумевает непротиворечивость ZFC + «есть недоступный кардинал», не может быть формализовано в ZFC. Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте , которая показывает, что если ZFC + «есть недоступный кардинал» непротиворечив, то он не может доказать свою непротиворечивость. Поскольку ZFC + «есть недоступный кардинал» действительно доказывает непротиворечивость ZFC, если ZFC доказал, что его собственная последовательность подразумевает непротиворечивость ZFC + «есть недоступный кардинал», то последняя теория сможет доказать свою непротиворечивость, что невозможно, если оно непротиворечиво.

Есть аргументы в пользу существования недоступных кардиналов, которые не могут быть формализованы в ZFC. Один из таких аргументов, представленный Hrbáček & Jech (1999 , стр. 279), заключается в том, что класс всех ординалов конкретной модели M теории множеств сам был бы недоступным кардиналом, если бы существовала более крупная модель теории множеств, расширяющая M и сохранение Powerset элементов М .

Существование своего класса недоступных

В теории множеств есть много важных аксиом, которые утверждают существование надлежащего класса кардиналов, удовлетворяющих интересующему предикату. В случае недоступности соответствующей аксиомой является утверждение, что для каждого кардинала μ существует недоступный кардинал κ, который строго больше, μ < κ . Таким образом, эта аксиома гарантирует существование бесконечной башни недоступных кардиналов (и иногда может упоминаться как недоступная кардинальная аксиома). Как и в случае существования любого недоступного кардинала, аксиома недоступного кардинала недоказуема с помощью аксиом ZFC. Предполагая , что ZFC, недоступная кардинальная аксиома эквивалентна вселенной аксиому о Гротендик и Вердии : каждый набор содержится в вселенной Гротендик . Аксиомы ZFC вместе с аксиомой вселенной (или, что эквивалентно, недоступной кардинальной аксиомой) обозначаются ZFCU (которые можно спутать с ZFC с урэлементами ). Эта аксиоматическая система полезна, например, для доказательства того, что каждая категория имеет соответствующее вложение Йонеды .

Это относительно слабая аксиома большого кардинала, поскольку она означает, что ∞ является 1-недоступным на языке следующего раздела, где ∞ обозначает наименьший порядковый номер, не входящий в V, то есть класс всех порядковых чисел в вашей модели.

α- недоступные кардиналы и гипер-недоступные кардиналы

Термин « α- недостижимый кардинал» неоднозначен, и разные авторы используют неэквивалентные определения. Одно определение состоит в том, что кардинал κ называется α -доступным для любого ординала α , если κ недоступен и для каждого ординала β < α , множество β- недоступных элементов меньше κ не ограничено в κ (и, следовательно, мощности κ , так как κ регулярно). В этом случае 0-недоступные кардиналы - это то же самое, что и сильно недоступные кардиналы. Другое возможное определение состоит в том, что кардинал κ называется α -слабо недоступным, если κ является регулярным, и для любого ординала β < α множество β- слабо недоступных, меньших, чем κ, не ограничено в κ. В этом случае 0-слабо недоступные кардиналы - это обычные кардиналы, а 1-слабо недоступные кардиналы - слабо недоступные кардиналы.

В & alpha ; -inaccessible кардиналы также могут быть описаны как фиксированные точки функций , которые рассчитывают нижние inaccessibles. Например, обозначим через ψ 0 ( λ ) λ- й недоступный кардинал, тогда неподвижные точки ψ 0 будут 1-недоступными кардиналами. Тогда пусть ψ β ( λ ) - λ- й β -доступный кардинал, неподвижные точки ψ β - ( β +1) -доступные кардиналы (значения ψ β +1 ( λ )). Если α - предельный ординал, α- недоступность - это неподвижная точка любого ψ β при β < α (значение ψ α ( λ ) является λ- м таким кардиналом). Этот процесс взятия фиксированных точек функций, порождающих последовательно увеличивающиеся кардиналы, обычно встречается при изучении больших кардинальных чисел .

Термин гипер-недоступный неоднозначен и имеет как минимум три несовместимых значения. Многие авторы используют его для обозначения обычного лимита строго недоступных кардиналов (1-недоступный). Другие авторы используют его в виду , что κ является κ -inaccessible. (Оно никогда не может быть κ + 1-недоступным.) Иногда оно используется для обозначения кардинала Mahlo .

Термин α -сверхдоступный также неоднозначен. Некоторые авторы используют его для обозначения α- недоступности. Другие авторы используют определение, что для любого ординала α кардинал κ является α -гипер-недоступным тогда и только тогда, когда κ является гипер-недоступным, и для каждого порядкового числа β < α множество β- гипер-недостижимых меньше κ неограниченно. в κ .

Гипер-гипер-недоступные кардиналы и т. Д. Могут быть определены аналогичным образом, и, как обычно, этот термин неоднозначен.

Используя «слабо недоступный» вместо «недоступный», аналогичные определения могут быть даны для «слабо α -доступный», «слабо гипер-недоступный» и «слабо α- гипер-недоступный».

Многие кардиналы недоступны, гипер-недоступны, гипер-гипер-недоступны и т. Д.

Две теоретико-модельные характеристики недоступности

Во-первых, кардинал κ недоступен тогда и только тогда, когда κ обладает следующим свойством отражения : для всех подмножеств U ⊂ V κ существует такое α < κ , которое является элементарной подструктурой в . (На самом деле, множество таких альфа является закрытым неограничена в х .) Эквивалентно, κ это - неописуемо для всех п ≥ 0.

В ZF доказывается, что ∞ удовлетворяет несколько более слабому свойству отражения, когда требуется, чтобы подструктура (V α , ∈, U ∩ V α ) была только «элементарной» по отношению к конечному набору формул. В конечном счете, причина этого ослабления состоит в том, что, хотя теоретико-модельное отношение удовлетворения может быть определено, сама истина не может быть определена в силу теоремы Тарского .

Во-вторых, с помощью ZFC можно показать, что κ недоступен тогда и только тогда, когда (V κ , ∈) является моделью ZFC второго порядка .

В этом случае, по указанному выше свойству отражения, существует такое α < κ , что (V α , ∈) является стандартной моделью ZFC ( первого порядка ). Следовательно, существование недоступного кардинала является более сильной гипотезой, чем существование стандартной модели ZFC.

Смотрите также

Процитированные работы