Дэвид Гильберт - David Hilbert

Дэвид Гильберт
Hilbert.jpg
Гильберт в 1912 году
Родился ( 1862-01-23 )23 января 1862 г.
Умер 14 февраля 1943 г. (1943-02-14)(81 год)
Национальность Немецкий
Образование Кенигсбергский университет ( PhD )
Известен Теорема Гильберта о базисе
Аксиомы
Гильберта Проблемы
Гильберта Программа
Гильберта Действие Эйнштейна – Гильберта
Гильбертово пространство
Исчисление Эпсилона
Супруг (а) Кете Йерош
Дети Франц (р. 1893)
Награды Премия Лобачевского (1903 г.)
Премия Бояи (1910 г.)
ForMemRS
Научная карьера
Поля Математика , физика и философия
Учреждения Кенигсбергский
университет Геттингенского университета
Тезис Об инвариантных свойствах специальных двоичных форм, особенно сферических функций  (1885 г.)
Докторант Фердинанд фон Линдеманн
Докторанты
Другие известные студенты Эдвард Каснер
Джон фон Нейман
Влияния Иммануил Кант

Давид Гильберт ( / ч ɪ л б ər т / ; немецкий: [daːvɪt hɪlbɐt] ; 23 января 1862 - 14 февраля 1943) был немецкий математик и один из самых влиятельных математиков 19 - го и начале 20 - го века. Гильберт открыл и развил широкий спектр фундаментальных идей во многих областях, включая теорию инвариантов , вариационное исчисление , коммутативную алгебру , теорию алгебраических чисел , основы геометрии , спектральную теорию операторов и ее приложения к интегральным уравнениям , математической физике и т. Д. что основы математики ( в частности , теория доказательств ).

Гильберт принял и защитил теорию множеств и трансфинитные числа Георга Кантора . В 1900 году он представил сборник задач , положивших начало большей части математических исследований 20 века.

Гильберт и его ученики внесли значительный вклад в установление строгости и разработали важные инструменты, используемые в современной математической физике. Гильберт известен как один из основоположников теории доказательств и математической логики .

Жизнь

ранняя жизнь и образование

Гильберт, первый из двух детей и единственным сыном Отто и Марии Терезы (Erdtmann) Гильберт, родился в провинции Пруссии , Королевства Пруссии , либо в Кенигсберге (по собственному утверждению Гильберта) или в Wehlau (известно с 1946 года , как Знаменск ) под Кенигсбергом, где работал его отец на момент его рождения.

В конце 1872 года Гильберт поступил в гимназию Фридрихсколлега ( Collegium fridericianum , ту же школу, которую Иммануил Кант посещал 140 лет назад); но после тяжелого периода он перешел в (конец 1879 г.) и окончил (начало 1880 г.) более ориентированную на науку гимназию Вильгельма. По окончании учебы осенью 1880 года Гильберт поступил в Кенигсбергский университет , в «Альбертину». В начале 1882 года Герман Минковский (на два года моложе Гильберта, а также уроженец Кенигсберга, но уехал в Берлин на три семестра) вернулся в Кенигсберг и поступил в университет. Гильберт на всю жизнь подружился с застенчивым, одаренным Минковски.

Карьера

В 1884 году Адольф Гурвиц прибыл из Геттингена экстраординарным профессором (т. Е. Адъюнкт-профессором). Между ними начался интенсивный и плодотворный научный обмен, и в особенности Минковский и Гильберт оказывали взаимное влияние друг на друга в разное время своей научной карьеры. Гильберт получил докторскую степень в 1885 году, защитив диссертацию, написанную под руководством Фердинанда фон Линдеманна , под названием Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen («Об инвариантных свойствах специальных бинарных форм , в частности сферических гармонических функций» ).

Гильберт оставался в Кенигсбергском университете в качестве приват-доцента ( старшего преподавателя ) с 1886 по 1895 год. В 1895 году в результате вмешательства от его имени Феликса Клейна он получил должность профессора математики в Геттингенском университете . В годы правления Клейна и Гильберта Геттинген стал выдающимся учреждением в математическом мире. Он оставался там до конца своей жизни.

Математический институт в Геттингене. Его новое здание, построенное на средства Фонда Рокфеллера , было открыто Гильбертом и Курантом в 1930 году.

Геттингенская школа

Среди учеников Гильберта были Герман Вейль , чемпион по шахматам Эмануэль Ласкер , Эрнст Цермело и Карл Густав Хемпель . Джон фон Нейман был его помощником. В Геттингенском университете Гильберт был окружен кругом некоторых из самых важных математиков 20-го века, таких как Эмми Нётер и Алонзо Черч .

Среди его 69 кандидатов наук. В Геттингене было много студентов, впоследствии ставших известными математиками, в том числе (с датой защиты диссертации): Отто Блюменталь (1898 г.), Феликс Бернштейн (1901 г.), Герман Вейль (1908 г.), Ричард Курант (1910 г.), Эрих Гекке (1910 г.), Гюго. Штайнхаус (1911 г.) и Вильгельм Аккерманн (1925 г.). Между 1902 и 1939 годами Гильберт был редактором Mathematische Annalen , ведущего математического журнала того времени.

Хорошо, ему не хватило воображения, чтобы стать математиком.

-  Ответ Гильберта, узнав, что один из его учеников бросил учебу, чтобы изучать поэзию.

Личная жизнь

Кете Гильберт с Константином Каратеодори , до 1932 г.

В 1892 году Гильберт женился на Кете Йерош (1864–1945), дочери кенигсбергского купца, откровенной молодой леди с независимостью ума, которая соответствовала [Гильберту]. «В Кенигсберге у них родился единственный ребенок, Франц Гильберт ( 1893–1969) .Франц на протяжении всей своей жизни страдал от невыявленного психического заболевания, его низкий интеллект был ужасным разочарованием для его отца, и это несчастье вызывало беду у математиков и студентов Геттингена.

Гильберт считал математика Германа Минковского своим «лучшим и самым верным другом».

Гильберт крестился и воспитывал кальвиниста в Прусской евангелической церкви . Позже он оставил Церковь и стал агностиком . Он также утверждал, что математическая истина не зависит от существования Бога или других априорных предположений. Когда Галилео Галилей подвергся критике за то, что он не отстаивал свои убеждения в отношении гелиоцентрической теории , Гильберт возразил: «Но [Галилей] не был идиотом. Только идиот мог поверить, что научная истина требует мученичества; это может быть необходимо в религии, но научные результаты проявляют себя в свое время ».

Спустя годы

Подобно Альберту Эйнштейну , Гильберт имел самые тесные контакты с Берлинской группой , ведущие основатели которой учились у Гильберта в Геттингене ( Курт Греллинг , Ганс Райхенбах и Вальтер Дубислав ).

Примерно в 1925 году у Гильберта развилась злокачественная анемия - неизлечимая в то время витаминная недостаточность, основным симптомом которой является истощение; его помощник Юджин Вигнер описал его как подверженного «огромной усталости» и того, что он «казался довольно старым», и что даже после того, как в конечном итоге ему поставили диагноз и вылечили, он «вряд ли был ученым после 1925 года, и уж тем более не Гильбертом».

Гильберт дожил до того, как в 1933 году нацисты очистили многих видных преподавателей Геттингенского университета. Среди изгнанных были Герман Вейль (занявший кресло Гильберта, когда он вышел на пенсию в 1930 году), Эмми Нётер и Эдмунд Ландау . Пауль Бернейс , которому пришлось покинуть Германию, сотрудничал с Гильбертом в области математической логики и в соавторстве с ним написал важную книгу Grundlagen der Mathematik (которая в конечном итоге вышла в двух томах, в 1934 и 1939 годах). Это было продолжением книги Гильберта- Аккермана « Принципы математической логики» 1928 года. Преемником Германа Вейля был Гельмут Хассе .

Примерно через год Гильберт посетил банкет и сидел рядом с новым министром образования Бернхардом Рустом . Руст спросил, действительно ли « Математический институт так сильно пострадал из-за отъезда евреев». Гильберт ответил: «Пострадал? Его больше не существует, не так ли!»

Смерть

Могила Гильберта:
Wir müssen wissen
Wir werden wissen

К моменту смерти Гильберта в 1943 году нацисты почти полностью переоборудовали университет, поскольку многие из бывших преподавателей были либо евреями, либо женаты на евреях. На похоронах Гильберта присутствовало менее дюжины человек, из которых только двое были академиками, в том числе Арнольд Зоммерфельд , физик-теоретик, а также уроженец Кенигсберга. Известие о его смерти стало известно всему миру только через шесть месяцев после его смерти.

Эпитафия на его надгробии в Геттингене состоит из знаменитых строк, которые он произнес в заключение своего пенсионного обращения к Обществу немецких ученых и врачей 8 сентября 1930 года. Эти слова были даны в ответ на латинское изречение: « Ignoramus et ignorabimus » или «Не знаем, не узнаем»:

Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.

Мы должны знать.
Мы узнаем.

За день до того, как Гильберт произнес эти фразы на ежегодном собрании Общества немецких ученых и врачей в 1930 году, Курт Гёдель - в дискуссии за круглым столом во время Конференции по эпистемологии, проводимой совместно с собраниями Общества - предварительно объявил первое выражение своей теоремы о неполноте. . Теоремы Гёделя о неполноте показывают, что даже элементарные аксиоматические системы, такие как арифметика Пеано , либо противоречат друг другу, либо содержат логические утверждения, которые невозможно доказать или опровергнуть.

Вклад в математику и физику

Гильберт решает проблему Гордана

Первая работа Гильберта по инвариантным функциям привела его к демонстрации в 1888 году своей знаменитой теоремы конечности . Двадцатью годами ранее Пол Гордан продемонстрировал теорему о конечности образующих для двоичных форм, используя сложный вычислительный подход. Попытки обобщить его метод на функции с более чем двумя переменными потерпели неудачу из-за огромной сложности вычислений. Чтобы решить то, что в некоторых кругах стало известно как проблема Гордана , Гильберт понял, что необходимо пойти совершенно другим путем. В результате он продемонстрировал базисную теорему Гильберта , показав существование конечного набора генераторов для инвариантов квантов от любого числа переменных, но в абстрактной форме. То есть, демонстрируя существование такого набора, это не было конструктивным доказательством - он не отображал «объект» - а, скорее, был доказательством существования и основывался на использовании закона исключенной середины в бесконечном расширении. .

Гильберт отправил свои результаты в Mathematische Annalen . Гордан, эксперт по теории инвариантов в « Mathematische Annalen» , не смог оценить революционный характер теоремы Гильберта и отклонил статью, критикуя изложение, поскольку оно было недостаточно полным. Его комментарий был:

Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie.

Это не математика. Это теология.

Кляйн , с другой стороны, признал важность работы и гарантировал, что она будет опубликована без каких-либо изменений. Вдохновленный Кляйном, Гильберт расширил свой метод во второй статье, предоставив оценки максимальной степени минимального набора образующих, и снова отправил его в Annalen . Прочитав рукопись, Кляйн написал ему:

Без сомнения, это самая важная работа по общей алгебре, которую когда-либо публиковал Annalen .

Позже, после того, как универсальность метода Гильберта была признана, сам Гордан сказал:

Я убедился, что даже богословие имеет свои достоинства.

Несмотря на все его успехи, характер его доказательства вызвал больше проблем, чем Гильберт мог вообразить. Хотя Кронекер и признал, Гильберт позже ответил на аналогичную критику других о том, что «многие различные конструкции объединены одной фундаментальной идеей» - другими словами (цитируя Рейда): «Посредством доказательства существования Гильберт смог получить строительство"; «доказательство» (то есть символы на странице) было «объектом». Не все были убеждены. В то время как Кронекер вскоре умрет, его конструктивистская философия будет продолжена молодым Брауэром и его развивающейся интуиционистской «школой», к большому мучению Гильберта в его последние годы. Действительно, Гильберт потерял своего «одаренного ученика» Вейля из- за интуиционизма - «Гильберт был обеспокоен увлечением своего бывшего ученика идеями Брауэра, которые пробудили в Гильберте память о Кронекере». Брауэр-интуиционист, в частности, выступал против использования закона исключенного среднего над бесконечными множествами (как его использовал Гильберт). Гильберт ответил:

Взять у математика принцип исключенного среднего ... это то же самое, что ... запретить боксеру использовать свои кулаки.

Аксиоматизация геометрии

Текст Grundlagen der Geometrie (тр .: Основы геометрии ), опубликованный Гильбертом в 1899 году, предлагает формальный набор, называемый аксиомами Гильберта, заменяющий традиционные аксиомы Евклида . Они избегают слабых мест, выявленных у Евклида , работы которого в то время все еще использовались как учебники. Трудно определить аксиомы, используемые Гильбертом, без ссылки на историю публикации Grundlagen, поскольку Гильберт несколько раз менял и модифицировал их. За оригинальной монографией вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, аксиому полноты. Английский перевод, санкционированный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторским правом в 1902 году. Этот перевод включает изменения, сделанные во французском переводе, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и появилось несколько изданий на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Гильберта. За 7-м изданием последовали новые, но основной текст практически не редактировался.

Подход Гильберта ознаменовал переход к современному аксиоматическому методу . В этом отношении Гильберта предвосхитили работы Морица Паша 1882 года. Аксиомы не воспринимаются как самоочевидные истины. Геометрия может относиться к вещам , о которых у нас есть мощная интуиция, но нет необходимости приписывать какое-либо явное значение неопределенным концепциям. Такие элементы, как точка , линия , плоскость и другие, могут быть заменены, как, как сообщается, Гильберт сказал Шенфлису и Кеттеру , столами, стульями, стаканами пива и другими подобными предметами. Обсуждаются их определенные отношения.

Гильберта первый перечисляет неопределенные понятия: точка, линия, плоскость, лежащая на (соотношение между точками и линиями, точками и самолетов, а также линий и плоскостей), от промежуточной, конгруэнции пар точек ( отрезков линии ), и сравнения из углов . Аксиомы объединяют плоскую геометрию и твердую геометрию Евклида в единую систему.

23 проблемы

Гильберт выдвинул наиболее влиятельный список из 23 нерешенных проблем на Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Это обычно считается самым успешным и глубоко продуманным сборником открытых проблем, когда-либо созданным отдельным математиком.

Переработав основы классической геометрии, Гильберт мог экстраполировать на остальную математику. Однако его подход отличался от более позднего «фундаменталиста» Рассела-Уайтхеда или «энциклопедиста» Николя Бурбаки и от его современника Джузеппе Пеано . Математическое сообщество в целом могло участвовать в решении задач, которые он определил как важнейшие аспекты областей математики, которые он считал ключевыми.

Задача была запущена в виде доклада «Проблемы математики», представленного в ходе Второго Международного конгресса математиков, проходившего в Париже. Введение в речь, которую произнес Гильберт, гласило:

Кто из нас не был бы счастлив приоткрыть завесу, за которой скрыто будущее; смотреть на грядущее развитие нашей науки и на секреты ее развития в грядущие века? К каким целям будет стремиться дух будущих поколений математиков? Какие методы, какие новые факты откроет новое столетие обширное и богатое поле математической мысли?

Он представил на съезде менее половины проблем, которые были опубликованы в актах съезда. В последующей публикации он расширил панораму и пришел к формулировке ныне канонических 23 проблем Гильберта. См. Также двадцать четвертую проблему Гильберта . Полный текст важен, поскольку толкование вопросов все еще может стать предметом неизбежных дебатов, всякий раз, когда спрашивают, сколько из них было решено.

Некоторые из них были решены в короткие сроки. Другие обсуждались на протяжении всего ХХ века, а некоторые из них теперь считаются неприемлемо открытыми и закрываются. Некоторые даже по сей день остаются проблемой для математиков.

Формализм

В отчете, ставшем стандартом к середине века, набор задач Гильберта был также своего рода манифестом, открывшим путь для развития школы формалистов , одной из трех основных школ математики 20 века. Согласно формалисту, математика - это манипулирование символами в соответствии с согласованными формальными правилами. Следовательно, это автономная деятельность мысли. Однако есть основания сомневаться в том, что собственные взгляды Гильберта были упрощенно-формалистическими в этом смысле.

Программа Гильберта

В 1920 году Гильберт предложил исследовательский проект по метаматематике, который стал известен как программа Гильберта. Он хотел, чтобы математика строилась на прочной и полной логической основе. Он считал, что в принципе это можно сделать, продемонстрировав следующее:

  1. вся математика следует из правильно выбранной конечной системы аксиом ; а также
  2. что некоторая такая система аксиом доказуема с помощью некоторых средств, таких как эпсилон-исчисление .

Похоже, что у него были как технические, так и философские причины для формулирования этого предложения. Оно подтвердило его неприязнь к тому, что стало известно как ignorabimus , все еще активно обсуждаемым в его время в немецкой мысли, и восходит к этой формулировке к Эмилю дю Буа-Реймону .

Эта программа до сих пор узнаваема в самой популярной философии математики , где ее обычно называют формализмом . Например, группа Бурбаки приняла его разбавленную и выборочную версию как адекватную требованиям их двойных проектов: (а) написания энциклопедических основополагающих работ и (б) поддержки аксиоматического метода в качестве инструмента исследования. Этот подход оказался успешным и оказал влияние на работы Гильберта в области алгебры и функционального анализа, но не смог так же затронуть его интересы в области физики и логики.

Гильберт писал в 1919 году:

Мы ни в каком смысле не говорим здесь о произволе. Математика не похожа на игру, задачи которой определяются произвольно установленными правилами. Скорее, это концептуальная система, обладающая внутренней необходимостью, которая может быть только такой и ни в коем случае не иначе.

Гильберт опубликовал свои взгляды на основы математики в 2-томном труде Grundlagen der Mathematik .

Гёделя

Гильберт и математики, которые работали с ним на его предприятии, были привержены этому проекту. Его попытка поддержать аксиоматизированную математику определенными принципами, которые могли бы устранить теоретические неопределенности, закончилась неудачей.

Гёдель продемонстрировал, что любая непротиворечивая формальная система, которая была достаточно всеобъемлющей, чтобы включать, по крайней мере, арифметику, не может продемонстрировать свою полноту с помощью своих собственных аксиом. В 1931 году его теорема о неполноте показала, что грандиозный план Гильберта невозможен, как было сказано. Второй пункт никаким разумным образом не может быть объединен с первым, пока система аксиом действительно финитна .

Тем не менее, последующие достижения теории доказательств, по крайней мере, прояснили последовательность, поскольку она относится к теориям, представляющим центральный интерес для математиков. Работа Гильберта положила начало логике этого курса разъяснения; Потребность в понимании работы Гёделя затем привела к развитию теории рекурсии, а затем математической логики как автономной дисциплины в 1930-х годах. Основа для более поздней теоретической информатики в работах Алонзо Черча и Алана Тьюринга также выросла непосредственно из этих «дебатов».

Функциональный анализ

Примерно в 1909 году Гильберт посвятил себя изучению дифференциальных и интегральных уравнений ; его работа имела прямые последствия для важных частей современного функционального анализа. Для проведения этих исследований Гильберт ввел понятие бесконечномерного евклидова пространства , позже названного гильбертовым пространством . Его работа в этой части анализа послужила основой для важных вкладов в математику физики в следующие два десятилетия, хотя и в неожиданном направлении. Позже Стефан Банах расширил эту концепцию, определив банаховы пространства . Гильбертовы пространства - важный класс объектов в области функционального анализа , особенно спектральной теории самосопряженных линейных операторов, которые возникли вокруг него в течение 20 века.

Физика

До 1912 года Гильберт был почти исключительно математиком . Планируя поездку из Бонна, где он был погружен в изучение физики, его коллега-математик и друг Герман Минковский пошутил, что ему пришлось провести 10 дней в карантине, прежде чем он сможет посетить Гильберта. Фактически, Минковский, кажется, ответственен за большинство исследований Гильберта по физике до 1912 года, включая их совместный семинар по этому вопросу в 1905 году.

В 1912 году, через три года после смерти друга, Гильберт почти полностью сосредоточился на этой теме. Он устроил себе «репетитора по физике». Он начал изучать кинетическую теорию газа и перешел к теории элементарного излучения и молекулярной теории вещества. Даже после начала войны в 1914 году он продолжал семинары и занятия, на которых внимательно следили за работами Альберта Эйнштейна и других.

К 1907 году Эйнштейн сформулировал основы теории гравитации , но затем почти 8 лет пытался придать этой теории окончательный вид . К началу лета 1915 года интерес Гильберта к физике сосредоточился на общей теории относительности , и он пригласил Эйнштейна в Геттинген, чтобы прочесть неделю лекций на эту тему. Эйнштейна встретили в Геттингене с энтузиазмом. Летом Эйнштейн узнал, что Гильберт также работал над уравнениями поля, и удвоил свои усилия. В ноябре 1915 года Эйнштейн опубликовал несколько статей, кульминацией которых стало издание «Полевые уравнения гравитации» (см. «Полевые уравнения Эйнштейна» ). Почти одновременно Дэвид Гильберт опубликовал «Основы физики», аксиоматический вывод уравнений поля (см. Действие Эйнштейна – Гильберта ). Гильберт полностью доверял Эйнштейну как создателю теории, и ни один публичный спор о приоритете уравнений поля никогда не возникал между этими двумя людьми в течение их жизни. Смотрите больше в приоритете .

Кроме того, работа Гильберта предвосхитила и помогла некоторым достижениям в математической формулировке квантовой механики . Его работа была одним из ключевых аспектов Вейль и Джона фон Неймана «работать с по математической эквивалентности Вернер Гейзенберг » s матричной механики и Эрвина Шредингера «s волнового уравнения и его тезка гильбертово пространство играет важную роль в квантовой теории. В 1926 году фон Нейман показал, что, если бы квантовые состояния понимались как векторы в гильбертовом пространстве, они соответствовали бы как теории волновых функций Шредингера, так и матрицам Гейзенберга.

На протяжении всего этого погружения в физику Гильберт работал над тем, чтобы придать строгость математике физики. Хотя физики сильно зависят от высшей математики, физики, как правило, «небрежны» с ней. Для чистого математика, такого как Гильберт, это было уродливо и трудно понять. Когда он начал понимать физику и то, как физики используют математику, он разработал последовательную математическую теорию того, что он обнаружил, - что наиболее важно в области интегральных уравнений . Когда его коллега Ричард Курант написал ставший уже классическим « Methoden der Mathematischen Physik»Методы математической физики» ), включающий некоторые идеи Гильберта, он добавил имя Гильберта как автора, хотя Гильберт непосредственно не участвовал в написании. Гильберт сказал: «Физика слишком сложна для физиков», имея в виду, что необходимая математика обычно им недоступна; книга Куранта-Гильберта облегчила им задачу.

Теория чисел

Гильберт объединил область алгебраической теории чисел в своем трактате 1897 г. Zahlbericht (буквально «отчет о числах»). Он также решил важную проблему теории чисел, сформулированную Варингом в 1770 году. Как и в случае с теоремой конечности , он использовал доказательство существования, которое показывает, что проблемы должны быть решены, а не предоставлять механизм для получения ответов. Тогда у него было немного больше, чтобы публиковать по этой теме; но появление модульных форм Гильберта в диссертации студента означает, что его имя в дальнейшем связано с важной областью.

Он высказал ряд гипотез по теории полей классов . Понятия были весьма влиятельными, и его собственный вклад живет в названиях поля классов Гильберта и в символа Гильберта в локальной теории полей классов . Результаты были в основном подтверждены к 1930 году, после работы Тейджи Такаги .

Гильберт не работал в основных областях аналитической теории чисел , но его имя стало известно благодаря гипотезе Гильберта – Полиа по анекдотическим причинам.

Работает

Его собрание сочинений ( Gesammelte Abhandlungen ) издавалось несколько раз. Первоначальные версии его статей содержали «множество технических ошибок разной степени»; когда сборник был впервые опубликован, ошибки были исправлены, и было обнаружено, что это можно сделать без серьезных изменений в формулировках теорем, за одним исключением - заявленным доказательством гипотезы континуума . Тем не менее ошибки были настолько многочисленными и значительными, что Ольге Таусски-Тодд потребовалось три года, чтобы исправить их.

Смотрите также

Концепции

Теоремы

Другой

Сноски

Цитаты

Источники

Первичная литература в английском переводе

  • Эвальд, Уильям Б., изд. (1996). От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики . Оксфорд, Великобритания: Издательство Оксфордского университета.
    • 1918. «Аксиоматическая мысль», 1114–1115.
    • 1922. «Новое основание математики: первое сообщение», 1115–1133.
    • 1923. «Логические основы математики», 1134–1147.
    • 1930. «Логика и познание природы», 1157–1165.
    • 1931. «Основание элементарной теории чисел», 1148–1156.
    • 1904. «Об основах логики и арифметики», 129–138.
    • 1925. «О бесконечном», 367–392.
    • 1927. «Основы математики» с комментарием Вейля и Приложение Бернейса , 464–489.
  • ван Хейеноорт, Жан (1967). От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 . Издательство Гарвардского университета.
  • Гильберт, Дэвид (1950) [1902]. Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] (PDF) . Перевод Townsend, EJ (2-е изд.). Ла Саль, Иллинойс: Издательство Open Court.
  • Гильберт, Дэвид (1990) [1971]. Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] . Перевод Лео Унгер (2-е изд. На английском). Ла Саль, Иллинойс: Издательство Open Court. ISBN 978-0-87548-164-7. переведено с 10-го немецкого издания
  • Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1999). Геометрия и воображение . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1998-2. Доступный набор лекций, изначально предназначенный для жителей Геттингена.
  • Гильберт, Дэвид (2004). Халлетт, Майкл; Майер, Ульрих (ред.). Лекции Дэвида Гильберта по основам математики и физики, 1891–1933 . Берлин и Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64373-9.

Вторичная литература

внешние ссылки