Теория множеств Морса – Келли - Morse–Kelley set theory

В основах математики , Морзе-Kelley теории множеств ( МК ), Kelley-Морс теория множеств ( КМ ), Морс-Тарская теория множеств ( MT ), Куин-Морс теория множеств ( QM ) или система Куайна и Морзе является аксиоматическая теория множеств первого порядка, которая тесно связана с теорией множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя (NBG). В то время как теория множеств фон Неймана-Бернайс-Гедель ограничивает связанные переменные в схематической формулы , появляющегося в аксиомной схеме из класса Comprehension в диапазоне свыше одних множеств, теория Морса-Келли набор позволяет эти связанные переменные в диапазоне более собственных классов , а также наборы, как впервые было предложено Куайном в 1940 году для его системы ML .

Теория множеств Морса – Келли названа в честь математиков Джона Л. Келли и Энтони Морса и была впервые изложена Ван (1949), а затем в приложении к учебнику Келли « Общая топология» (1955), введению в топологию для выпускников . Келли сказал, что система в его книге была вариантом систем, созданных Торальфом Сколемом и Морсом. Собственная версия Морса появилась позже в его книге «Теория множеств» (1965).

В то время как теория множеств фон Неймана-Bernays Геделя является консервативным расширением из теории множеств Цермело-Френкеля (ZFC, каноническая теория множеств) в том смысле , что заявление на языке ZFC доказуемо в NBG тогда и только тогда , когда она выводима в ZFC, теория множеств Морса – Келли является собственным расширением ZFC. В отличие от теории множеств фон Неймана – Бернейса – Гёделя, где схему аксиом понимания классов можно заменить конечным числом ее примеров, теорию множеств Морса – Келли нельзя аксиоматизировать с конечной аксиоматизацией.

Аксиомы и онтология МК

NBG и MK имеют общую онтологию . Универсум дискурса состоит из классов . Классы, которые являются членами других классов, называются наборами . Класс, который не является набором, является правильным классом . Примитивные атомарные предложения предполагают членство или равенство.

За исключением понимания классов, следующие аксиомы такие же, как и для NBG , за исключением несущественных деталей. В символических версиях аксиом используются следующие приемы записи:

Заглавные буквы, отличные от M , появляющиеся в Extensionality, Class Computing и Foundation, обозначают переменные в пределах классов. Строчная буква обозначает переменную, которая не может быть правильным классом , потому что она появляется слева от элемента ∈. Поскольку МК представляет собой односортированную теорию, это условное обозначение является лишь мнемоническим .
Монадическая предикат которого предназначен чтение «класс х представляет собой набор», Сокращает ${\ displaystyle \ Mx,}$ ${\ Displaystyle \ существует W (х \ в W).}$
Пустое множество определяется ${\ displaystyle \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ forall x (x \ not \ in \ varnothing).}$
Класс V , универсальный класс, имеющий все возможные множества в качестве членов, определяется V также является вселенной фон Неймана . ${\ displaystyle \ forall x (Mx \ to x \ in V).}$

Расширяемость : классы, имеющие одинаковые члены, являются одним и тем же классом.

{\ Displaystyle \ forall X \, \ forall Y \, (\ forall z \, (z \ in X \ leftrightarrow z \ in Y) \ rightarrow X = Y).}

Набор и класс, имеющие одинаковое расширение, идентичны. Следовательно, МК не является двоякой теорией, несмотря на кажущееся обратное.

Основание : каждый непустой класс A не пересекается по крайней мере с одним из своих членов.

{\ Displaystyle \ forall A [A \ not = \ varnothing \ rightarrow \ существует b (b \ in A \ land \ forall c (c \ in b \ rightarrow c \ not \ in A))].}

Понимание класса: пусть φ ( x ) будет любой формулой на языке MK, в которой x - свободная переменная, а Y - несвободная. φ ( x ) может содержать параметры, которые являются либо наборами, либо собственными классами. Более того, количественные переменные в φ ( x ) могут варьироваться во всех классах, а не только во всех наборах; только этим МК отличается от НБГ . Тогда существует класс , членами которого являются именно те множества x , которые оказываются истинными. Формально, если Y не свободен по φ: ${\ Displaystyle Y = \ {х \ середина \ фи (х) \}}$ ${\ Displaystyle \ фи (х)}$

{\ Displaystyle \ forall W_ {1} ... W_ {n} \ существует Y \ forall x [x \ in Y \ leftrightarrow (\ phi (x, W_ {1}, ... W_ {n}) \ land Mx)].}

Спаривание : для любых наборов x и y существует набор, членами которого являются точно x и y . ${\ Displaystyle г = \ {х, у \}}$

{\ Displaystyle \ forall x \, \ forall y \, [(Mx \ земля My) \ rightarrow \ существует z \, (Mz \ land \ forall s \, [s \ in z \ leftrightarrow (s = x \, \ lor \, s = y)])].}

Сопряжение лицензий , неупорядоченная пару в терминах которых упорядоченных пару , может быть определен обычным способом, так как . Имея в руках упорядоченные пары, Class Computing позволяет определять отношения и функции на множествах как наборы упорядоченных пар, что делает возможной следующую аксиому: ${\ Displaystyle \ langle х, у \ rangle}$ ${\ Displaystyle \ \ {\ {х \}, \ {х, у \} \}}$

Ограничение Размер : С является собственным классом тогда и только тогдакогда V может быть отображен один-к-одному в C .

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ forall C [\ lnot MC \ leftrightarrow \ exists F (\ forall x [Mx \ rightarrow \ exists s (s \ in C \ land \ langle x, s \ rangle \ в F)] \ land \\\ qquad \ forall x \ forall y \ forall s [(\ langle x, s \ rangle \ in F \ land \ langle y, s \ rangle \ in F) \ rightarrow x = y] )]. \ end {массив}}}

Формальная версия этой аксиомы напоминает схему преобразования , и воплощает в себе функцию класса F . В следующем разделе объясняется, почему ограничение размера сильнее обычных форм аксиомы выбора .

Набор мощности : пусть p будет классом, члены которого являются всеми возможными подмножествами набора a . Тогда p - множество.

{\ displaystyle \ forall a \, \ forall p \, [(Ma \ land \ forall x \, [x \ in p \ leftrightarrow \ forall y \, (y \ in x \ rightarrow y \ in a)]) \ rightarrow Mp].}

Союз : Позвольтебыть классом суммы множества a , а именно объединением всех членов a . Тогда s - множество. ${\ displaystyle s = \ bigcup a}$

{\ Displaystyle \ forall a \, \ forall s \, [(Ma \ land \ forall x \, [x \ in s \ leftrightarrow \ существует y \, (x \ in y \ land y \ in a)]) \ rightarrow Ms].}

Бесконечность : существует индуктивное множество y , что означает, что (i) пустое множество является членом y ; (ii) если x является членом y , то так и является. ${\ Displaystyle х \ чашка \ {х \}.}$

{\ Displaystyle \ существует y [Моя \ земля \ varnothing \ in y \ land \ forall z (z \ in y \ rightarrow \ существует x [x \ in y \ land \ forall w (w \ in x \ leftrightarrow [w = z \ lor w \ in z])])].}

Обратите внимание, что p и s в Power Set и Union универсально, а не экзистенциально, количественно определены, поскольку понимания классов достаточно, чтобы установить существование p и s . Power Set и Union служат только для того, чтобы установить, что p и s не могут быть подходящими классами.

Приведенные выше аксиомы разделяются с другими теориями множеств следующим образом:

ZFC и NBG : Pairing, Power Set, Union, Infinity;
NBG (и ZFC, если количественные переменные были ограничены наборами): Extensionality, Foundation;
NBG : Ограничение размера.

Обсуждение

Монк (1980) и Рубин (1967) - это тексты по теории множеств, построенные вокруг МК; Онтология Рубина включает урэлементы . Эти авторы и Мендельсон (1997: 287) утверждают, что МК делает то, что ожидается от теории множеств, будучи менее громоздким, чем ZFC и NBG .

MK строго сильнее, чем ZFC и его консервативное расширение NBG, другой хорошо известной теории множеств с собственными классами . Фактически, NBG - и, следовательно, ZFC - можно доказать непротиворечивым в MK. Сила MK проистекает из его схемы аксиом понимания классов, которая является непредикативной , что означает, что φ ( x ) может содержать количественные переменные, варьирующиеся по классам. Количественные переменные в схеме аксиом понимания классов NBG ограничены наборами; следовательно, понимание класса в NBG должно быть предикативным . (Разделение по отношению к множествам по-прежнему является непредсказуемым в NBG, потому что кванторы в φ ( x ) могут распространяться по всем множествам.) Схема аксиомы NBG для понимания классов может быть заменена конечным числом ее экземпляров; в МК это невозможно. MK непротиворечив по отношению к ZFC, дополненному аксиомой, утверждающей существование сильно недоступных кардиналов .

Единственное преимущество аксиомы ограничения размера состоит в том, что она подразумевает аксиому глобального выбора . Ограничение размера не встречается у Рубина (1967), Монка (1980) или Мендельсона (1997). Вместо этого эти авторы ссылаются на обычную форму локальной аксиомы выбора и «аксиому замены», утверждая, что если область определения функции класса является набором, то ее диапазон также является набором. Замена может доказать все, что доказывает ограничение размера, за исключением доказательства некоторой формы аксиомы выбора .

Ограничение размера плюс I, являющееся множеством (следовательно, вселенная непуста), делает доказуемой возможность множественности пустого множества; следовательно, нет необходимости в аксиоме пустого множества . Такая аксиома, конечно, может быть добавлена, и незначительные изменения вышеприведенных аксиом потребуют этого добавления. Множество I не отождествляется с порядковым номером предела, поскольку я мог бы быть множеством больше, чем В этом случае существование будет следовать из любой формы ограничения размера. ${\ displaystyle \ omega,}$ ${\ displaystyle \ omega.}$ ${\ displaystyle \ omega}$

Класс ординалов фон Неймана можно упорядочить . Это не может быть набором (под страхом парадокса); следовательно , этот класс является собственным классом, и все соответствующие классы имеют один и тот же размер, что и V . Следовательно, V тоже может быть хорошо упорядоченным.

MK можно спутать с ZFC второго порядка, ZFC с логикой второго порядка (представляющей объекты второго порядка на языке множества, а не на языке предикатов) в качестве фоновой логики. Язык ZFC второго порядка похож на язык MK (хотя набор и класс, имеющие одинаковое расширение, больше не могут быть идентифицированы), и их синтаксические ресурсы для практического доказательства почти идентичны (и идентичны, если MK включает сильное форма ограничения размера). Но семантика ZFC второго порядка сильно отличается от семантики MK. Например, если MK согласован, то он имеет счетную модель первого порядка, тогда как ZFC второго порядка не имеет счетных моделей.

Теория моделей

ZFC, NBG и MK имеют модели, описываемые в терминах V , вселенной множеств фон Неймана в ZFC . Пусть недостижимое кардинальное .йГ быть членом V . Кроме того, пусть Def ( X ) обозначим через Δ ₀ определимых подмножеств из X (см конструируемую вселенную ). Потом:

V _κ - модель ZFC ;
Def ( V _κ ) - это модель версии NBG Мендельсона , которая исключает глобальный выбор, заменяя ограничение размера заменой и обычным выбором;
В _{κ + 1} , то множество мощности из V _х , представляет собой модель MK.

История

МК был впервые изложен в Wang (1949) и популяризирован в приложении к Общей топологии Дж. Л. Келли (1955) с использованием аксиом, приведенных в следующем разделе. Система Энтони Морса (1965) «Теория множеств» эквивалентна системе Келли, но сформулирована на идиосинкразическом формальном языке, а не на стандартной логике первого порядка , как это делается здесь . Первой теорией множеств, которая включала непредсказуемое понимание классов, была ML Куайна , построенная на Новых Основах, а не на ZFC . Непредикативное понимание класса было также предложено Мостовски (1951) и Льюисом (1991).

Аксиомы общей топологии Келли

Аксиомы и определения в этом разделе, за исключением нескольких несущественных деталей, взяты из Приложения к Келли (1955). Приведенные ниже пояснительные замечания не его. Приложение содержит 181 теорему и определение и требует внимательного чтения как сокращенное изложение аксиоматической теории множеств работающим математиком первого ранга. Келли вводил свои аксиомы постепенно, по мере необходимости для развития тем, перечисленных после каждого примера разработки ниже.

Появляющиеся ниже и теперь общеизвестные обозначения не определены. К особенностям нотации Келли можно отнести:

Он не различал переменные, варьирующиеся по классам, от переменных по множествам;
область f и диапазон f обозначают область и диапазон функции f ; эта особенность была тщательно учтена ниже;
Его примитивный логический язык включает аннотации классов в форме «класс всех множеств x, удовлетворяющих A ( x )». ${\ Displaystyle \ \ {х: А (х) \},}$

Определение: х представляет собой набор (и , следовательно , не является собственным классом ) , если для некоторого г , . ${\ displaystyle x \ in y}$

I. Объем: для каждого x и каждого y , x = y тогда и только тогда , когда для каждого z , когда и только когда ${\ Displaystyle г \ в х}$ ${\ displaystyle z \ in y.}$

Идентично расширенности выше. Я был бы идентичен аксиоме расширенности в ZFC , за исключением того, что объем I включает в себя как собственные классы, так и множества.

II. Классификация (схема): результат аксиомы, если в

Для каждого , если и только если есть набор и

{\ displaystyle \ beta}

{\ displaystyle \ beta \ in \ {\ alpha: A \}}

{\ displaystyle \ beta}

{\ displaystyle B,}

'α' и 'β' заменяются переменными, ' A ' формулой и ' B ' формулой, полученной из Æ путем замены каждого вхождения переменной, которая заменила α, переменной, которая заменила β, при условии, что переменная что заменить β не появляется связанный в A .

Развивать : Булева алгебра множеств . Существование класса нулевого и универсального класса V .

III. Подмножества: если x является набором, существует такой набор y , что для каждого z , если , то ${\ Displaystyle г \ Substeq х}$ ${\ displaystyle z \ in y.}$

Значение III соответствует указанному выше набору мощности . Набросок доказательства Power Set из III : для любого класса z, который является подклассом множества x , класс z является членом множества y , существование которого III утверждает. Следовательно, z - множество.

Развивайте : V - это не набор. Существование одиночек . Разделение доказуемо.

IV. Союз: Если x и y оба набора, то это набор. ${\ Displaystyle х \ чашка у}$

Значение IV - это спаривание, указанное выше. Набросок доказательства спаривания из IV : одноэлемент набора x является набором, потому что он является подклассом набора мощности x (двумя приложениями III ). Тогда IV означает, что это множество, если x и y - множества. ${\ Displaystyle \ {х \}}$ ${\ Displaystyle \ {х, у \}}$

Разработка : неупорядоченные и упорядоченные пары , отношения , функции , домен , диапазон , композиция функций .

V. Подстановка: Если f - функция [класса], а область f - набор, то диапазон f - это набор.

Импорт V - это схема аксиомы замены в NBG и ZFC .

VI. Объединение: если x - множество, значит , это множество. ${\ displaystyle \ bigcup x}$

Импорт VI является то , что Союз выше. IV и VI можно объединить в одну аксиому.

Разработка : декартово произведение , инъекция , сюръекция , биекция , теория порядка .

VII. Регулярность: если существует элемент y из x такой, что ${\ Displaystyle х \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle x \ cap y = \ varnothing.}$

Значение VII - это указанное выше основание .

Развивайте : порядковые числа , трансфинитную индукцию .

VIII. Бесконечность: существует такой набор y , что и всякий раз, когда ${\ displaystyle \ varnothing \ in y}$ ${\ Displaystyle х \ чашка \ {х \} \ в у}$ ${\ displaystyle x \ in y.}$

Эта аксиома или ее эквиваленты включены в ZFC и NBG. VIII утверждает безусловное существование двух множеств, бесконечного индуктивного множества y , а нулевое множество является множеством просто потому, что оно является членом y . До этого момента все, что было доказано, является классом, и обсуждение множеств Келли было полностью гипотетическим. ${\ displaystyle \ varnothing.}$ ${\ displaystyle \ varnothing}$

Развивайте : натуральные числа , N - множество, аксиомы Пеано , целые числа , рациональные числа , действительные числа .

Определение: с является функция выбора , если с является функцией и для каждого члена х из области с . ${\ Displaystyle с (х) \ в х}$

IX. Выбор: существует функция выбора c , домен которой равен . ${\ displaystyle V - \ {\ varnothing \}.}$

IX очень похожа на аксиому глобального выбора, выводимую из ограничения размера выше.

Развивайте : эквиваленты аксиомы выбора. Как и в случае с ZFC , отображение количественных чисел требует определенного выбора.

Если объем всех количественных переменных в вышеприведенных аксиомах ограничен наборами, все аксиомы, кроме III и схемы IV, являются аксиомами ZFC. IV доказуемо в ZFC. Следовательно, трактовка МК Келли очень ясно показывает, что все, что отличает МК от ZFC, - это переменные, охватывающие соответствующие классы, а также наборы и схема классификации.

Примечания

^ См., Например, Mendelson (1997), стр. 239, аксиома R.
^ Локус citandum для ML является 1951е изд. из Куайна математической логики . Однако краткое изложение ML, данное в Mendelson (1997), p. 296, легче понять. Схема аксиом Мендельсона ML2 идентична приведенной выше схеме аксиом понимания классов.
^ Келли (1955), стр. 261, сл. †.

использованная литература

Джон Л. Келли 1975 (1955) Общая топология . Springer. Ранее изд. Van Nostrand. Приложение «Теория элементарных множеств».
Леммон, EJ (1986) Введение в аксиоматическую теорию множеств . Рутледж и Кеган Пол.
Дэвид К. Льюис (1991) Части классов . Оксфорд: Бэзил Блэквелл.
Мендельсон, Эллиотт (1997). Введение в математическую логику . Чепмен и Холл. ISBN 0-534-06624-0.Окончательное рассмотрение тесно связанной теории множеств NBG , за которой следует страница MK. Сложнее, чем Монах или Рубин.
Монк, Дж. Дональд (1980) Введение в теорию множеств . Кригер. Проще и менее основательно, чем «Рубин».
Морс, А.П., (1965) Теория множеств . Академическая пресса.
Мостовский, Анджей (1950), "Некоторое непредикативное определение в аксиоматической теории множеств" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111-124, DOI : 10,4064 / фм-37-1-111-124.
Рубин, Жан Э. (1967) Теория множеств для математика . Сан-Франциско: День Холдена. Более тщательный, чем Монах; онтология включает в себя урэлементы .
Ван, Хао (1949), "Об аксиомах Цермело и фон Неймана для теории множеств", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 35 (3): 150-155, DOI : 10.1073 / pnas.35.3.150 , JSTOR 88430 , МР 0029850 , ПМК 1062986 , PMID 16588874.

внешние ссылки

Загрузите « Общая топология» (1955) Джона Л. Келли в различных форматах. Приложение содержит аксиоматическое развитие МК Келли.

От дискуссионной группы по основам математики (ФОМ):

[1] См., Например, Mendelson (1997), стр. 239, аксиома R.

[2] Локус citandum для ML является 1951е изд. из Куайна математической логики . Однако краткое изложение ML, данное в Mendelson (1997), p. 296, легче понять. Схема аксиом Мендельсона ML2 идентична приведенной выше схеме аксиом понимания классов.

[3] Келли (1955), стр. 261, сл. †.

Languages

In other projects