Вселенная Гротендика - Grothendieck universe

В математике , Гротендик Вселенная представляет собой набор U со следующими свойствами:

1. Если х является элементом U и если у есть элемент х , то у является также элементом U . ( U - транзитивное множество .)
2. Если х и у являются оба элемента U , то есть элемент U .${\ Displaystyle \ {х, у \}}$
3. Если х является элементом U , то Р ( х ), то множество мощности от х , также является элементом U .
4. Если это семейство элементов U , и если я это элемент U , то объединение является элементом U .${\ Displaystyle \ {х _ {\ альфа} \} _ {\ альфа \ в I}}$${\ displaystyle \ bigcup _ {\ alpha \ in I} x _ {\ alpha}}$

Вселенная Гротендика предназначена для предоставления набора, в котором могут быть выполнены все математические операции. (Фактически, бесчисленные вселенные Гротендика предоставляют модели теории множеств с естественным ∈-отношением, естественной операцией множества степеней и т. Д.). Элементы вселенной Гротендика иногда называют небольшими множествами . Идея вселенных принадлежит Александру Гротендику , который использовал их как способ избежать правильных классов в алгебраической геометрии .

Существование нетривиальной вселенной Гротендика выходит за рамки обычных аксиом теории множеств Цермело – Френкеля ; в частности, это означало бы существование сильно недоступных кардиналов . Теория множеств Тарского – Гротендика - это аксиоматическая трактовка теории множеств, используемая в некоторых автоматических системах доказательства, в которых каждое множество принадлежит вселенной Гротендика. Понятие вселенной Гротендика также можно определить в топосе .

Свойства

В качестве примера докажем простое предложение.

Предложение . Если и , то .${\ Displaystyle х \ в U}$${\ displaystyle y \ substeq x}$${\ displaystyle y \ in U}$

Доказательство. потому что . потому что так .${\ Displaystyle у \ в Р (х)}$${\ displaystyle y \ substeq x}$${\ Displaystyle Р (х) \ в U}$${\ Displaystyle х \ в U}$${\ displaystyle y \ in U}$

Аналогично легко доказать, что любая вселенная Гротендика U содержит:

• Все синглтоны каждого из его элементов,
• Все произведения всех семейств элементов U, индексированные элементом U ,
• Все непересекающиеся объединения всех семейств элементов U, индексированных элементом U ,
• Все пересечения всех семейств элементов из U, индексированных элементом из U ,
• Все функции между любыми двумя элементами U и
• Все подмножества U которого кардинальным является элементом U .

В частности, из последней аксиомы следует, что если U непусто, оно должно содержать все свои конечные подмножества и подмножество каждой конечной мощности. Также можно сразу доказать из определений, что пересечение любого класса вселенных является вселенной.

Вселенные Гротендика и недоступные кардиналы

Вот два простых примера вселенных Гротендика:

• Пустой набор и
• Множество всех наследственно конечных множеств .${\ displaystyle V _ {\ omega}}$

Другие примеры построить сложнее. Грубо говоря, это потому, что вселенные Гротендика эквивалентны сильно недоступным кардиналам . Более формально следующие две аксиомы эквивалентны:

(U) , для каждого набора х , существует Гротендик вселенной U такой , что х ∈ U .

(C) Для каждого кардинала κ существует сильно недоступный кардинал λ, который строго больше κ.

Чтобы доказать этот факт, введем функцию c ( U ). Определите:

${\ Displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ sup _ {x \ in U} | x |}$

где по | х | мы имеем в виду мощность x . Тогда для любой вселенной U , с ( U ) либо равна нулю , либо сильно недоступны. Предполагая , что это не равно нулю, это сильный предел кардинальное , поскольку множество мощности любого элемента U является элементом U и каждый элемент из U является подмножеством U . Чтобы убедиться в его регулярности, предположим, что c _λ - это набор кардиналов, проиндексированных I , причем мощность I и каждого c _λ меньше c ( U ). Тогда, по определению с ( U ), я и каждый с _λ может быть заменен на элемент U . Объединение элементов U, пронумерованных элементом U, является элементом U , поэтому сумма c _λ имеет мощность элемента U , следовательно, меньше c ( U ). Применяя аксиому основания, что никакое множество не содержится в себе, можно показать, что c ( U ) равно | U |; когда аксиома основания не предполагается, существуют контрпримеры (мы можем взять, например, U как множество всех конечных множеств конечных множеств и т. д. множеств x _α, где индекс α - любое действительное число, а x _α = { x _α } для каждого α . Тогда U имеет мощность континуума, но все его элементы имеют конечную мощность и, значит  , подробнее см. статью Бурбаки). ${\ displaystyle \ mathbf {c} (U) = \ aleph _ {0}}$

Пусть κ - сильно недоступный кардинал. Скажем, что множество S строго типа κ, если для любой последовательности s _n ∈ ... ∈ s ₀ ∈ S , | s _n | < κ . ( Сама S соответствует пустой последовательности.) Тогда множество u ( κ ) всех множеств строго типа κ является универсумом Гротендика мощности κ. Доказательство этого факта длинное, поэтому за подробностями мы снова отсылаем к статье Бурбаки, приведенной в списке литературы.

Чтобы показать, что из аксиомы большого кардинала (C) следует аксиома вселенной (U), выберите набор x . Пусть x ₀ = x , и для каждого n пусть x _{n +1} = x _n - объединение элементов x _n . Пусть y = x _n . По (C) существует сильно недоступный кардинал κ такой, что | y | <κ. Пусть u ( κ ) - универсум из предыдущего абзаца. x имеет строго тип κ, поэтому x ∈ u ( κ ). Чтобы показать, что из аксиомы универсума (U) следует аксиома большого кардинала (C), выберите кардинал κ. κ представляет собой набор, так что это элемент Гротендик вселенной U . Мощность U сильно недоступна и строго больше, чем у κ. ${\ displaystyle \ bigcup}$ ${\ displaystyle \ bigcup _ {n}}$

Фактически, любая вселенная Гротендика имеет вид u ( κ ) для некоторого κ. Это дает другую форму эквивалентности вселенных Гротендика и сильно недоступных кардиналов:

Для любой вселенной Гротендика U , | U | либо нулевой, либо сильно недоступный кардинал. И если κ равно нулю, или сильно недоступному кардиналу, то существует вселенная Гротендика u (κ). Кроме того, u (| U |) = U и | u ( κ ) | = κ .${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Поскольку существование сильно недоступных кардиналов не может быть доказано с помощью аксиом теории множеств Цермело – Френкеля (ZFC), существование вселенных, отличных от пустого множества, также не может быть доказано с помощью ZFC. Однако крайне недоступные кардиналы находятся в нижней части списка крупных кардиналов ; таким образом, большинство теорий множеств, использующих большие кардиналы (такие как «ZFC плюс есть измеримый кардинал », «ZFC плюс бесконечно много кардиналов Вудена ») докажут, что вселенные Гротендика существуют. ${\ displaystyle V _ {\ omega}}$

Смотрите также

• Конструируемая вселенная
• Вселенная (математика)
• Вселенная фон Неймана

Примечания

Ссылки

• Бурбаки, Николас (1972). «Универс» . В Майкле Артине ; Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.). Seminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963–64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Конспект лекций по математике 269 ) (на французском языке). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . С. 185–217.