Тихоновское пространство - Tychonoff space

В топологии и смежных отраслей математики , тихоновских пространств и вполне регулярных пространств являются виды топологических пространств . Эти условия являются примерами аксиом разделения .

Тихоновские пространства названы в честь Андрея Николаевича Тихонова , русское имя которого (Тихонов) по-разному переводится как «Тихонов», «Тихонов», «Тихонов», «Тихонов» и т. Д., Который ввел их в 1930 году, чтобы избежать патологической ситуации Хаусдорфа. пространства , единственные непрерывные действительные функции которых являются постоянными отображениями.

Определения

Отделение точки от замкнутого множества с помощью непрерывной функции.

Топологическое пространство называется полностью регулярным, если точки можно отделить от замкнутых множеств с помощью (ограниченных) непрерывных вещественнозначных функций. В техническом плане это означает: для любого замкнутого множества и любой точки существует в вещественную непрерывную функцию таким образом, что и (Эквивалентно можно выбрать любые два значения вместо и даже потребовать , чтобы быть ограниченной функцией.) ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle A \ substeq X}$ ${\ displaystyle x \ in X \ setminus A,}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f (x) = 1}$${\ displaystyle f \ vert _ {A} = 0.}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle f}$

Топологическое пространство называется пространство тихоновский ( в качестве альтернативы: T _3½ пространство , или Т - _П пространство , или полностью T ₃ пространство ) , если это вполне регулярное хаусдорфово пространство .

Замечание. Вполне регулярные пространства и тихоновские пространства связаны понятием колмогоровской эквивалентности . Топологическое пространство тихоновское тогда и только тогда, когда оно полностью регулярно и T ₀ . С другой стороны, пространство полностью регулярно тогда и только тогда, когда его фактор Колмогорова тихоновский.

Соглашения об именах

В математической литературе применяются разные соглашения, когда речь идет о терминах «полностью регулярные» и «Т» -аксиомы. Определения в этом разделе даны в типичном современном использовании. Некоторые авторы, однако, меняют значения двух видов терминов или используют все термины как синонимы. В Википедии термины «полностью регулярный» и «тихоновский» используются свободно, а использование буквы «Т» обычно избегается. Поэтому в стандартной литературе рекомендуется проявлять осторожность, чтобы выяснить, какие определения использует автор. Для получения дополнительной информации по этому вопросу см. История аксиом разделения .

Примеры и контрпримеры

Почти каждое топологическое пространство, изучаемое математическим анализом , тихоновское или, по крайней мере, полностью регулярное. Например, реальная прямая Тихонова по стандартной евклидовой топологии . Другие примеры включают:

• Каждое метрическое пространство тихоновское; каждое псевдометрическое пространство вполне регулярно.
• Каждое локально компактное регулярное пространство вполне регулярно, поэтому каждое локально компактное хаусдорфово пространство тихоновское.
• В частности, каждое топологическое многообразие тихоновское.
• Каждое полностью упорядоченное множество с порядковой топологией является Тихоновым.
• Каждая топологическая группа вполне регулярна.
• Обобщая как метрические пространства, так и топологические группы, каждое равномерное пространство полностью регулярно. Верно и обратное: всякое вполне регулярное пространство униформизимо.
• Каждый комплекс CW - Тихонов.
• Каждое нормальное регулярное пространство вполне регулярно, и каждое нормальное хаусдорфово пространство тихоновское.
• Плоскость Немыцкая является примером пространства тихоновскома , который не является нормальным .

Характеристики

Сохранение

Полная регулярность и свойство Тихонова хорошо работают по отношению к исходным топологиям . В частности, полная регулярность сохраняется при выборе произвольных начальных топологий, а свойство Тихонова сохраняется при выборе исходных топологий, разделяющих точки. Следует, что:

• Каждое подпространство полностью регулярного или тихоновского пространства обладает тем же свойством.
• Непустое пространство произведения является полностью регулярным (соответственно Тихоновским) тогда и только тогда, когда каждое фактор-пространство полностью регулярно (соответственно Тихоновское).

Как и все аксиомы разделения, полная регулярность не сохраняется при взятии окончательных топологий . В частности, частные вполне регулярных пространств не обязательно должны быть регулярными . Факторы тихоновских пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми . Есть замкнутые частные плоскости Мура, которые дают контрпримеры.

Действительные непрерывные функции

Для любого топологического пространства X пусть C ( X ) обозначает семейство вещественнозначных непрерывных функций на X, а C _b ( X ) - подмножество ограниченных вещественнозначных непрерывных функций.

Полностью регулярные пространства можно охарактеризовать тем, что их топология полностью определяется C ( X ) или C _b ( X ). В частности:

• Пространство X вполне регулярно тогда и только тогда, когда оно имеет начальную топологию, индуцированную C ( X ) или C _b ( X ).
• Пространство X является полностью регулярным тогда и только тогда, когда каждое замкнутое множество может быть записано как пересечение семейства нулевых множеств в X (т. Е. Нулевые множества образуют основу для замкнутых множеств X ).
• Пространство X вполне регулярно тогда и только тогда , когда конульмножества из X образуют базис для топологии X .

Для произвольного топологического пространства ( X , τ) существует универсальный способ связать вполне регулярное пространство с ( X , τ). Пусть ρ - начальная топология на X, индуцированная C _τ ( X ), или, что то же самое, топология, порожденная базисом кон- нулевых множеств в ( X , τ). Тогда ρ будет самой тонкой вполне регулярной топологией на X , более грубой, чем τ. Эта конструкция универсальна в том смысле, что любая непрерывная функция

${\ Displaystyle f: (X, \ тау) \ к Y}$

в вполне регулярное пространство Y будет непрерывна на ( X , ρ). На языке теории категорий , в функтор , который посылает ( X , т) в ( X , р) сопряжен слева к включению функтора CreG → Top . Таким образом, категория вполне регулярных пространств CreG является отражательной подкатегорию из Top , в категории топологических пространств . Факторы Колмогорова показывают, что подкатегория тихоновских пространств также рефлексивна.

Можно показать , что С _τ ( X ) = С _ρ ( Х ) в приведенной выше конструкции так, чтобы кольца С ( Х ) и С _Ь ( Х ) , как правило , изучаются только для вполне регулярного пространства X .

Категория вещественнокомпактных тихоновских пространств антиэквивалентна категории колец C ( X ) (где X вещественнокомпактно) вместе с гомоморфизмами колец как отображениями. Например, можно восстановить X из C ( X ), когда X (вещественное) компактно. Поэтому алгебраическая теория этих колец является предметом интенсивных исследований. Обширным обобщением этого класса колец, который все еще напоминает многие свойства тихоновских пространств, но также применим в реальной алгебраической геометрии , является класс вещественных замкнутых колец .

Вложения

Тихоновские пространства - это в точности те пространства, которые могут быть вложены в компактные хаусдорфовы пространства . Точнее, для каждого тихоновского пространства X , существует бикомпакт K такое , что X является гомеоморфно подпространству К .

Фактически, всегда можно выбрать K как тихоновский куб (т.е. возможно бесконечное произведение единичных интервалов ). Каждый Тихоновский куб компактен по Хаусдорфу в силу теоремы Тихонова . Поскольку каждое подпространство компактного хаусдорфова пространства тихоновское, мы имеем:

Топологическое пространство тихоновское тогда и только тогда, когда оно может быть вложено в тихоновский куб .

Компактификации

Особый интерес представляют те вложения , где образ X является плотным в К ; они называются хаусдорфовы компактификациями из X . Принимая во внимание любое вложение тихоновского пространства X в компакте K замыкание образа X в K является компактификация X . В той же статье 1930 года, где Тихонов определил вполне регулярные пространства, он также доказал, что каждое Тихоновское пространство имеет компактификацию Хаусдорфа.

Среди этих компактификаций Хаусдорфа, существует единственный «самый общий» один, то стоун-чеховское β X . Он характеризуется универсальным свойством , что, учитывая непрерывное отображение F из X в любом другом бикомпакт Y , существует уникальный непрерывное отображение г от & beta ; X к Y , которая проходит п в том смысле , что F является композицией из г и j .

Единые конструкции

Полная регулярность - это как раз то условие, которое необходимо для существования однородных структур на топологическом пространстве. Другими словами, каждое равномерное пространство имеет совершенно правильную топологию и каждое вполне регулярное пространство X является униформизируемо . Топологическое пространство допускает разделенную равномерную структуру тогда и только тогда, когда оно тихоновское.

Учитывая вполне регулярное пространство X существует, как правило , больше , чем одна равномерности на X , который совместит с топологией X . Тем не менее, всегда будет лучшим совместимым единообразие, называется равномерность тонкой на X . Если Х является Тихоновское, то равномерная структура может быть выбрана таким образом , что β Х становится пополнение единого пространства X .

Цитаты

Библиография