Аморфный набор - Amorphous set

В теории множеств , аморфное множество представляет собой бесконечное множество , которое не является объединением непересекающихся двух бесконечных подмножеств .

Существование

Аморфные множества не могут существовать, если предполагается аксиома выбора . Френкель построил модель перестановок Цермело – Френкеля с атомами, в которой набор атомов является аморфным набором. После первой работы Коэна по форсингу в 1963 году были получены доказательства согласованности аморфных множеств с Цермело – Френкелем .

Дополнительные свойства

Каждое аморфное множество является дедекиндово-конечным , что означает, что оно не имеет биекций с собственным подмножеством. Чтобы убедиться в этом, предположим, что это набор, который действительно имеет биекцию в собственное подмножество. Для каждого натурального числа определим набор элементов, которые принадлежат образу -кратной композиции f с самим собой, но не изображению -кратной композиции. Тогда каждое из них непусто, поэтому объединение множеств с четными индексами будет бесконечным множеством, дополнение которого также бесконечно, что показывает, что оно не может быть аморфным. Однако обратное не обязательно верно: существует бесконечное дедекиндово-конечное множество, которое не является аморфным. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle i \ geq 0}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle (я + 1)}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S_ {i}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Никакое аморфное множество не может быть линейно упорядочено . Поскольку образ аморфного множества сам по себе либо аморфен, либо конечен, отсюда следует, что каждая функция из аморфного множества в линейно упорядоченное множество имеет только конечный образ.

Коконечен фильтр на аморфном множестве является ультрафильтром . Это связано с тем, что дополнение каждого бесконечного подмножества не должно быть бесконечным, поэтому каждое подмножество либо конечное, либо кофесконечное.

Вариации

Если является разбиением аморфного множества на конечные подмножества, то должно быть ровно одно целое число , имеющее бесконечно много подмножеств размера ; поскольку, если каждый размер использовался конечное число раз или если более одного размера использовались бесконечно много раз, эту информацию можно использовать для увеличения размера раздела и разделения на два бесконечных подмножества. Если аморфный набор обладает дополнительным свойством , что для каждого раздела , , то она называется строго аморфной или сильно аморфной , и если существует конечная верхняя границы того множества называется ограниченным аморфными . С ZF согласуется то, что аморфные множества существуют и все ограничены или что они существуют и все неограниченны. ${\ displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle п (\ Pi)}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ displaystyle \ Pi}$${\ Displaystyle п (\ Pi) = 1}$${\ Displaystyle п (\ Pi)}$

использованная литература