Теорема Тарского о выборе - Tarski's theorem about choice

В математике , теорема Тарского , доказана Тарский  ( 1924 ), утверждает , что в ZF теорема «Для каждого бесконечного множества существует взаимно однозначное отображение между множествами и » подразумевает аксиому выбора . Обратное направление уже было известно, поэтому теорема и аксиома выбора эквивалентны. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle А \ раз А}$

Тарский сказал Яну Мицельски  ( 2006 ), что когда он попытался опубликовать теорему в Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Фреше и Лебег отказались ее представить. Фреше писал, что следствие между двумя хорошо известными утверждениями не является новым результатом. Лебег писал, что следствие между двумя ложными утверждениями не представляет интереса.

Доказательство

Цель состоит в том, чтобы доказать, что аксиома выбора подразумевается утверждением «для каждого бесконечного множества : ». Известно, что теорема о хорошем порядке эквивалентна выбранной аксиоме; таким образом, достаточно показать, что из утверждения следует, что для каждого набора существует хороший порядок . ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle | A | = | A \ раз A |}$${\ displaystyle B}$

Для конечных множеств это тривиально, поэтому мы предполагаем, что это бесконечно. ${\ displaystyle B}$

Так как набор всех ординалов, таких что существует сюръективная функция от до ординала, является набором, существует минимальный ненулевой ординал , такой, что не существует сюръективной функции от до . Без ограничения общности считаем, что множества и не пересекаются . Таким образом, по исходному предположению существует биекция . ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ Displaystyle | В \ чашка \ бета | = | (В \ чашка \ бета) \ раз (В \ чашка \ бета) |}$ ${\ displaystyle f: B \ cup \ beta \ to (B \ cup \ beta) \ times (B \ cup \ beta)}$

Для каждого это невозможно , потому что в противном случае мы могли бы определить сюръективную функцию от до . Следовательно, существует хотя бы один ординал такой, что , поэтому набор не пуст. ${\ displaystyle x \ in B}$${\ Displaystyle \ бета \ раз \ {х \} \ substeq f [B]}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma \ in \ beta}$${\ Displaystyle е (\ гамма) \ в \ бета \ раз \ {х \}}$${\ Displaystyle S_ {х} = \ {\ гамма | е (\ гамма) \ в \ бета \ раз \ {х \} \}}$

Мы можем определить новую функцию: . Эта функция хорошо определена, поскольку представляет собой непустой набор порядковых номеров и поэтому имеет минимум. Для каждого множества и не пересекаются. Следовательно, мы можем определить хороший порядок для каждого, который мы определяем , так как образ , то есть , является набором порядковых номеров и, следовательно, хорошо упорядочен. ${\ Displaystyle г (х) = \ мин S_ {х}}$${\ displaystyle S_ {x}}$${\ displaystyle x, y \ in B, x \ neq y}$${\ displaystyle S_ {x}}$${\ displaystyle S_ {y}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle x, y \ in B}$${\ Displaystyle х \ Leq Y \ iff g (x) \ Leq g (y)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g [B]}$

Ссылки

• Рубин, Герман; Рубин, Жан Э. (1985), Эквиваленты аксиомы выбора II , Северная Голландия / Эльзевир, ISBN 0-444-87708-8
• Микельски, Ян (2006), «Система аксиом теории множеств для рационалистов» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 53 (2): 209
• Тарский, А. (1924), "Теоремы Sur quelques, эквивалентные a l'axiome du choix" , Fundamenta Mathematicae , 5 : 147–154