Идеальное свойство набора - Perfect set property

В дескриптивной теории множеств , подмножество из польского пространства имеет совершенное множество свойство , если оно либо счетно , либо имеет непустое совершенное подмножество (А. Кехрис 1995, стр. 150). Обратите внимание, что иметь свойство идеального набора - не то же самое, что быть идеальным набором .

Поскольку непустые совершенные множества в польском пространстве всегда имеют мощность континуума , а действительные числа образуют польское пространство, набор действительных чисел со свойством совершенного множества не может быть контрпримером к гипотезе континуума , сформулированной в форме, что каждое несчетное множество вещественных чисел имеет мощность континуума.

Теорема Кантора – Бендиксона утверждает, что замкнутые множества польского пространства X обладают свойством совершенного множества в особенно сильной форме: любое замкнутое подмножество X может быть записано однозначно как несвязное объединение совершенного множества и счетного множества. В частности, каждое несчетное польское пространство обладает свойством идеального множества и может быть записано как несвязное объединение совершенного множества и счетного открытого множества.

Аксиома выбора предполагает существование множества действительных чисел , которые не имеют идеальный набор свойства, такие как наборы Бернштейна . Однако в модели Соловея , которая удовлетворяет всем аксиомам ZF, но не аксиоме выбора, каждое множество вещественных чисел имеет свойство совершенного множества, поэтому использование аксиомы выбора необходимо. Каждое аналитическое множество обладает свойством совершенного множества. Из существования достаточно больших кардиналов следует, что каждое проективное множество обладает свойством совершенного множества.

Ссылки

• Кехрис, А.С. (1995), Классическая описательная теория множеств , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4612-8692-9