Принцип максимума Хаусдорфа - Hausdorff maximal principle

В математике , то принцип максимальной Хаусдорфа является альтернативным и более ранние формулировки леммы Цорна доказывается Хаусдорф в 1914 году (Moore 1982: 168). Он утверждает, что в любом частично упорядоченном множестве каждое полностью упорядоченное подмножество содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве.

Принцип максимума Хаусдорфа - одно из многих утверждений, эквивалентных аксиоме выбора над ZF ( теория множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора). Этот принцип также называют теоремой Хаусдорфа о максимальности или леммой Куратовского (Kelley 1955: 33).

Заявление

Принцип максимума Хаусдорфа утверждает, что в любом частично упорядоченном множестве каждое полностью упорядоченное подмножество содержится в максимальном полностью упорядоченном подмножестве (полностью упорядоченном подмножестве, которое при любом увеличении не остается полностью упорядоченным). В общем, может быть много максимальных полностью упорядоченных подмножеств, содержащих данное полностью упорядоченное подмножество.

Эквивалентная форма принципа максимума Хаусдорфа состоит в том, что в каждом частично упорядоченном множестве существует максимальное полностью упорядоченное подмножество. Чтобы доказать, что это утверждение следует из исходного вида, пусть A - частично упорядоченное множество. Тогда является полностью упорядоченным подмножеством A , следовательно, существует максимальное полностью упорядоченное подмножество, содержащее , следовательно, в частности, A содержит максимальное полностью упорядоченное подмножество. Для направления обратного, пусть частично упорядоченное множество , а Т вполне упорядоченное подмножество A . потом ${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$

${\ displaystyle \ {S \ mid T \ substeq S \ substeq A {\ mbox {и S полностью упорядочен}} \}}$

частично упорядочено включением множества , поэтому она содержит максимальный упорядоченное подмножество P . Тогда набор удовлетворяет желаемым свойствам. ${\ displaystyle \ substeq}$${\ Displaystyle M = \ bigcup P}$

Доказательство эквивалентности принципа максимума Хаусдорфа лемме Цорна очень похоже на это доказательство.

Примеры

Пример 1. Если любая совокупность множеств, отношение «является подмножеством» является строгим частичным порядком на A . Предположим, что A - это совокупность всех круговых областей (внутренностей кругов) на плоскости. Одна максимальная полностью упорядоченная подгруппа A состоит из всех круговых областей с центрами в начале координат. Другая максимальная полностью упорядоченная подгруппа состоит из всех круговых областей, ограниченных окружностями, касающимися справа к оси y в начале координат.

ПРИМЕР 2. Если (x ₀ , y ₀ ) и (x ₁ , y ₁ ) - две точки плоскости ℝ ² , определим (x ₀ , y ₀ ) <(x ₁ , y ₁ )

если y ₀ = y ₁ и x ₀ <x ₁ . Это частичное упорядочение ℝ ^2, при котором две точки сравнимы, только если они лежат на одной горизонтальной прямой. Максимальные полностью упорядоченные множества - это горизонтальные прямые в ² .

Рекомендации

• Джон Келли (1955), Общая топология , Фон Ностранд.
• Грегори Мур (1982), аксиома выбора Цермело , Springer.
• Джеймс Манкрес (2000), Топология , Пирсон.