Наивная теория множеств (книга) - Naive Set Theory (book)
- См. Также Теорию наивных множеств по математической теме.
Наивная теория множеств - этоучебник математики Пола Халмоса, который дает студентам введение в теорию множеств . Первоначально опубликованный Ван Нострандом в 1960 году, он был переиздан в серии Springer-Verlag Undergraduate Texts in Mathematics в 1974 году.
Хотя в названии говорится, что это наивно, что обычно подразумевается без аксиом , книга действительно вводит все аксиомы теории множеств ZFC (кроме аксиомы основания ) и дает правильные и строгие определения для основных объектов. От «настоящей» книги по аксиоматической теории множеств она отличается своим характером: здесь нет обсуждения аксиоматических мелочей и почти ничего не говорится о продвинутых темах, таких как большие кардиналы . Вместо этого он пытается быть понятным для того, кто никогда раньше не задумывался о теории множеств.
Позже Халмос заявил, что это была самая быстрая книга, которую он написал, за шесть месяцев, и что книга «написала сама себя».
Отсутствие аксиомы основания
Как отмечалось выше, в книге отсутствует Аксиома Основания . Халмос постоянно танцует вокруг вопроса о том, может ли набор содержать себя.
- п. 1: «набор также может быть элементом некоторого другого набора» (курсив мой)
- п. 3: «Является ли ∈ когда-либо правдой? Это определенно неверно для любого разумного множества, которое кто-либо когда-либо видел».
- п. 6: « ∈ ... маловероятно, но не очевидно невозможно»
Но Халмос позволяет нам доказать, что есть определенные наборы, которые не могут содержать самих себя.
- п. 44: Халмос позволяет нам доказать это ∉ . Ибо if ∈ , то - { } все равно будет последующим множеством, потому что ≠ ∅ и не является наследником какого-либо натурального числа. Но не является подмножеством - { }, что противоречит определению как подмножества каждого последующего набора.
- п. 47: Халмош доказывает лемму о том, что «никакое натуральное число не является подмножеством любого из его элементов». Это позволяет нам доказать, что никакое натуральное число не может содержать самого себя. Ведь если ∈ , где - натуральное число, то ⊂ ∈ , что противоречит лемме.
- п. 75: « порядковый номер определяется как хорошо упорядоченное множество такое , что для всех в ; здесь , как и прежде, начальный отрезок ∈ < .}» Порядок расположения скважин определяется следующим образом: если и являются элементами порядкового номера , то < означает ∈ (стр. 75-76). Выбрав символ <вместо ≤, Халмос подразумевает, что порядок лунок <строгий (стр. 55-56). Это определение <делает невозможным наличие ∈ , где - элемент порядкового номера. Это потому, что ∈ означает < , что означает ≠ (поскольку <строгое), что невозможно.
- п. 75: приведенное выше определение порядкового числа также делает невозможным наличие ∈ , где - порядковое число. Это потому, что из ∈ следует = s ( ). Это дает нам ∈ = s ( ) = ∈ < }, откуда следует < , что означает ≠ (поскольку <строгое), что невозможно.
Опечатки
- п. 4, строка 18: «Каин и Авель» должны быть «Сиф, Каин и Авель».
- п. 30, строка 10: «x на y» должно быть «x на y».
- п. 73, строка 19: «для каждого z в X» должно быть «для каждого a в X».
- п. 75, строка 3: «тогда и только тогда, когда x ∈ F (n)» должно быть «тогда и только тогда, когда x = {b: S (n, b)}».
Смотрите также
Библиография
- Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).
Рекомендации
Внешние ссылки
- Список учебников по теории множеств, составленный участниками математического стекового обмена.
- Обзоры: Наивная теория множеств от Goodreads .