Категория наборов - Category of sets

В математической области теории категорий , в категории множеств , обозначенную как комплект , является категория , чьи объекты являются наборами . Стрелки или морфизмы между множествами A и B - это суммарные функции от A до B , а композиция морфизмов - это композиция функций .

Многие другие категории (например, категория групп с гомоморфизмами групп в виде стрелок) добавляют структуру к объектам категории множеств и / или ограничивают стрелки функциями определенного вида.

Свойства категории множеств

Аксиомы категорий удовлетворяются Набор потому , что состав функций ассоциативный , и потому , что каждое множество Х имеет функцию идентичности идентификатор Х  : Х → Х , который служит в качестве единичного элемента для функции композиции.

В эпиморфизмах в комплекте являются сюръективными картами, то мономорфизмы являются инъективными картами, и изоморфизмами являются биективными картами.

Пустое множество служит исходным объектом в наборе с пустыми функциями в качестве морфизмов. Каждый синглтон является конечным объектом , а функции отображают все элементы исходных наборов на единственный целевой элемент как морфизмы. Таким образом, в Set нет нулевых объектов .

Набор категорий является полным и со-завершенным . Продукт в этой категории определяется декартовым произведением множеств. Копроизведение задается несвязное объединение : данные множества я где я пробегает некоторое множество индексов I , мы строим копроизведения как объединение А я × { я } (декартово произведение с I служит для обеспечения того , чтобы все пребывание компоненты непересекающиеся).

Набор - это прототип конкретной категории ; другие категории конкретны, если они каким-то четко определенным образом «построены на» Сете .

Каждый двухэлементный набор служит классификатором подобъектов в Set . Объект мощность множества А задается его набором мощности , а экспоненциал множеств и B задается множеством всех функций из A к B . Таким образом, множество является топосом (и, в частности, декартово замкнутым и точным в смысле Барра ).

Набор не является абелевым , аддитивным или предаддитивным .

Каждый непустой набор является инъективным объектом в Set . Каждый набор является проективным объектом в Set (при условии аксиомы выбора ).

В конечно представимые объекты в Set являются конечными множествами. Поскольку каждое множество является прямым пределом своих конечных подмножеств, категория Set является локально конечно представимой категорией .

Если C - произвольная категория, контравариантные функторы из C в Set часто являются важным объектом изучения. Если A является объектом C , то функтор из C в Set, который отправляет X в Hom C ( X , A ) (набор морфизмов в C из X в A ), является примером такого функтора. Если C - малая категория (т. Е. Совокупность ее объектов образует множество), то контравариантные функторы из C в Set вместе с естественными преобразованиями в виде морфизмов образуют новую категорию, категорию функторов, известную как категория предпучков на C. .

Основы для категории комплектов

В теории множеств Цермело – Френкеля совокупность всех множеств не является множеством; это следует из аксиомы основания . Один относится к коллекциям, которые не установлены как правильные классы . Невозможно обрабатывать правильные классы так же, как наборы; в частности, нельзя написать, что эти правильные классы принадлежат коллекции (либо набору, либо к собственному классу). Это проблема, потому что это означает, что категория множеств не может быть формализована прямо в этой настройке. Такие категории, как Set , коллекция объектов которых образует соответствующий класс, называются большими категориями , чтобы отличать их от небольших категорий, объекты которых образуют набор.

Один из способов решить эту проблему - работать в системе, которая придает формальный статус надлежащим классам, такой как теория множеств NBG . В этом случае категории, сформированные из наборов, называются маленькими, а категории (например, Set ), сформированные из соответствующих классов, - большими .

Другое решение - предположить существование вселенных Гротендика . Грубо говоря, вселенная Гротендика - это множество, которое само по себе является моделью ZF (C) (например, если множество принадлежит вселенной, его элементы и их набор мощности будут принадлежать вселенной). Существование вселенных Гротендика (кроме пустого множества и множества всех наследственно конечных множеств ) не подразумевается обычными аксиомами ZF; это дополнительная независимая аксиома, примерно эквивалентная существованию сильно недоступных кардиналов . Принимая эту дополнительную аксиому, можно ограничить объекты Сета элементами определенной вселенной. (В модели нет «набора всех наборов», но все же можно рассуждать о классе U всех внутренних наборов, то есть элементов U. )

В одном из вариантов этой схемы класс множеств представляет собой объединение всей башни вселенных Гротендика. (Это обязательно правильный класс , но каждая вселенная Гротендика является набором, потому что это элемент некоторой более крупной вселенной Гротендика.) Однако нельзя напрямую работать с «категорией всех множеств». Вместо того , теоремы выражены в терминах категории Набора U , объекты которой являются элементами достаточно большого Гротендик вселенной U , а затем показаны , не зависят от конкретного выбора U . В качестве основы теории категорий этот подход хорошо согласуется с системой, подобной теории множеств Тарского – Гротендика, в которой нельзя напрямую рассуждать о надлежащих классах; его главный недостаток состоит в том, что теорема может быть верной для всего множества U, но не для множества .

Были предложены различные другие решения и варианты вышеупомянутого.

Те же проблемы возникают и с другими конкретными категориями, такими как категория групп или категория топологических пространств .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Мак-Лейн 1969
  2. ^ Феферман 1969
  3. ^ Бласс 1984

использованная литература

  • Бласс, А. Взаимодействие между теорией категорий и теорией множеств . Современная математика 30 (1984).
  • Феферман С. Теоретико-множественные основы теории категорий. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 201–247.
  • Ловер, Ф.В. Элементарная теория категории множеств ( полная версия) с комментариями
  • Мак Лейн, С. Одна вселенная как основа теории категорий. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 192–200.
  • Мак-Лейн, Сондерс (сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика . Springer. ISBN 0-387-98403-8.(Том 5 из серии « Тексты для выпускников по математике» )
  • Парейгис, Бодо (1970), Категории и функторы , Чистая и прикладная математика, 39 , Academic Press , ISBN 978-0-12-545150-5

внешние ссылки