Симметрия в математике - Symmetry in mathematics

Симметрия встречается не только в геометрии , но и в других разделах математики. Симметрия - это тип инвариантности : свойство математического объекта оставаться неизменным при выполнении набора операций или преобразований .

Для структурированного объекта X любого вида симметрия - это отображение объекта на себя, которое сохраняет структуру. Это может происходить разными способами; например, если X - это множество без дополнительной структуры, симметрия - это биективное отображение множества в себя, дающее начало группам перестановок . Если объект X является набором точек на плоскости с его метрической структурой или любым другим метрическим пространством , симметрия - это биекция этого набора самому себе, которая сохраняет расстояние между каждой парой точек (т. Е. Изометрия ).

В общем, каждая структура в математике будет иметь свой собственный вид симметрии, многие из которых перечислены в указанных выше пунктах.

Симметрия в геометрии

Типы симметрии , рассматриваемые в базовой геометрии включают в себя reflectional симметрии , симметрию вращения , поступательную симметрию и глиссады симметрии отражения , которые описаны более подробно в основной статье Symmetry (геометрии) .

Симметрия в исчислении

Четные и нечетные функции

Четные функции

Пусть f ( x ) - вещественнозначная функция действительной переменной, тогда f будет, даже если следующее уравнение выполняется для всех x и -x в области определения f :

${\ Displaystyle f (x) = f (-x)}$

С геометрической точки зрения грань графика четной функции симметрична относительно оси y , что означает, что ее график остается неизменным после отражения относительно оси y . Примеры четных функций включают в себя | х | , x ² , x ⁴ , cos ( x ) и cosh ( x ).

Странные функции

Опять же, пусть f ( x ) будет вещественнозначной функцией действительной переменной, тогда f будет нечетным, если следующее уравнение выполняется для всех x и -x в области определения f :

${\ Displaystyle -f (х) = f (-x)}$

Это,

${\ Displaystyle е (х) + е (-х) = 0 \ ,.}$

Геометрически график нечетной функции имеет вращательную симметрию относительно начала координат , что означает, что его график остается неизменным после поворота на 180 градусов относительно начала координат. Примеры нечетных функций: x , x ³ , sin ( x ), sinh ( x ) и erf ( x ).

Интеграция

Интеграл от нечетной функции от - А до + А равна нулю, при условии , что конечна и что функция интегрируема (например, не имеет вертикальные асимптоты между - А и А ).

Интеграл четной функции от - A до + A является удвоенным интегралом от 0 до + A , при условии, что A конечна и функция интегрируема (например, не имеет вертикальных асимптот между - A и A ). Это также верно, когда A бесконечно, но только если интеграл сходится.

Ряд

• Ряд Маклорена четная функция включает в себя только четные степени.
• Ряд Маклорена нечетной функции включает только нечетные степени.
• Ряд Фурье из периодической даже функции включает в себя только косинус условия.
• Ряд Фурье периодической нечетной функции включает только синусоидальные члены.

Симметрия в линейной алгебре

Симметрия в матрицах

В линейной алгебре , А симметричная матрица является квадратной матрицей , которая равна его транспонирование (то есть, она инвариантна относительно транспонирования матрицы). Формально матрица A симметрична, если

${\ displaystyle A = A ^ {T}.}$

Согласно определению матричного равенства, которое требует, чтобы элементы во всех соответствующих позициях были равны, одинаковые матрицы должны иметь одинаковые размеры (поскольку матрицы разных размеров или форм не могут быть равными). Следовательно, симметричными могут быть только квадратные матрицы.

Элементы симметричной матрицы симметричны относительно главной диагонали . Итак, если записи записываются как A = ( a _ij ), то a _ij = a _ji для всех индексов i и j .

Например, следующая матрица 3 × 3 является симметричной:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 7 & 3 \\ 7 & 4 & -5 \\ 3 & -5 & 6 \ end {bmatrix}}}$

Каждая квадратно- диагональная матрица симметрична, поскольку все недиагональные элементы равны нулю. Точно так же каждый диагональный элемент кососимметричной матрицы должен быть равен нулю, поскольку каждый является собственным отрицательным.

В линейной алгебре вещественная симметричная матрица представляет собой самосопряженный оператор над реальным внутренним пространством продукта . Соответствующий объект для комплексного внутреннего пространства продукта - это эрмитова матрица с комплексными элементами, которая равна ее сопряженному транспонированию . Поэтому в линейной алгебре комплексных чисел часто предполагается, что симметричная матрица относится к матрице, имеющей действительные значения. Симметричные матрицы естественным образом появляются во множестве приложений, и типичное программное обеспечение численной линейной алгебры делает для них специальные приспособления.

Симметрия в абстрактной алгебре

Симметричные группы

Симметричная группа S _п (на конечное множество из п символов) является группой , элементы которой являются все перестановками этого п символов, и чья группа операция представляет собой композицию из таких перестановок, которые рассматриваются как биективная функция из набора символов себе. Поскольку есть n ! ( n факториал ) возможных перестановок набора из n символов, отсюда следует, что порядок (т. е. количество элементов) симметрической группы S _n равен n !.

Симметричные многочлены

Симметрический многочлен является многочленом Р ( Х ₁ , Х ₂ , ..., Х _п ) в п переменных, таких , что , если любой из переменных поменять местами, получаем тот же полином. Формально P является симметричным многочленом, если для любой перестановки σ индексов 1, 2, ..., n выполняется P ( X _{σ (1)} , X _{σ (2)} , ..., X _{σ ( n )} ) =  P ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ).

Симметричные многочлены естественным образом возникают при изучении связи между корнями многочлена от одной переменной и его коэффициентами, поскольку коэффициенты могут быть заданы полиномиальными выражениями в корнях, и все корни играют аналогичную роль в этом случае. С этой точки зрения элементарные симметричные многочлены являются наиболее фундаментальными симметричными многочленами. А теорема утверждает , что любой симметричный полином может быть выражен в терминах элементарных симметрических полиномов, что подразумевает , что каждое симметричное полиномиальное выражение в корнях унитарного полинома в качестве альтернативы может быть дано как полиномиальное выражение в коэффициентах полинома.

Примеры

В двух переменных X ₁ и X ₂ одна имеет симметричные многочлены, такие как:

• ${\ displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} -7}$
• ${\ displaystyle 4X_ {1} ^ {2} X_ {2} ^ {2} + X_ {1} ^ {3} X_ {2} + X_ {1} X_ {2} ^ {3} + (X_ {1 } + X_ {2}) ^ {4}}$

а в трех переменных X ₁ , X ₂ и X ₃ симметричный многочлен имеет:

• ${\ displaystyle X_ {1} X_ {2} X_ {3} -2X_ {1} X_ {2} -2X_ {1} X_ {3} -2X_ {2} X_ {3} \,}$

Симметричные тензоры

В математике , симметричный тензор является тензором , что инвариантно относительно перестановки своих векторных аргументов:

${\ Displaystyle T (v_ {1}, v_ {2}, \ dots, v_ {r}) = T (v _ {\ sigma 1}, v _ {\ sigma 2}, \ dots, v _ {\ sigma r}) }$

для любой перестановки σ символов {1,2, ..., r }. В качестве альтернативы симметричный тензор r- ^го порядка, представленный в координатах как величина с индексами r, удовлетворяет

${\ displaystyle T_ {i_ {1} i_ {2} \ dots i_ {r}} = T_ {i _ {\ sigma 1} i _ {\ sigma 2} \ dots i _ {\ sigma r}}.}$

Пространство симметричных тензоров ранга г на конечномерном векторном пространстве является естественно изоморфна к двойственной пространства однородных многочленов степени г на V . Над полями от нулевой характеристики , то градуированное векторное пространство всех симметричных тензоров может быть естественным образом отождествляется с симметричной алгебры на V . Родственное понятие - понятие антисимметричного тензора или знакопеременной формы . Симметричные тензоры широко используются в технике , физике и математике .

Теория Галуа

Если задан полином, некоторые корни могут быть связаны различными алгебраическими уравнениями . Например, может случиться так, что для двух корней, скажем, A и B , A ² + 5 B ³ = 7 . Центральная идея теории Галуа состоит в том, чтобы рассмотреть те перестановки (или перестановки) корней, обладающие тем свойством, что любое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют корни, по- прежнему выполняется после того, как корни были переставлены. Важным условием является то, что мы ограничиваемся алгебраическими уравнениями, коэффициенты которых являются рациональными числами . Таким образом, теория Галуа изучает симметрии, присущие алгебраическим уравнениям.

Автоморфизмы алгебраических объектов

В абстрактной алгебре , автоморфизм является изоморфизмом из математического объекта к самому себе. В некотором смысле это симметрия объекта и способ сопоставления объекта с самим собой при сохранении всей его структуры. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу , называемую группой автоморфизмов . Это, грубо говоря, группа симметрии объекта.

Примеры

• В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Группа автоморфизмов X также называется симметрической группой на X .
• В элементарных арифметиках , множество целых чисел , Z , рассматриваемое как группа по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм: отрицание. Однако, рассматриваемое как кольцо , оно имеет только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, отрицание - это автоморфизм любой абелевой группы , но не кольца или поля.
• Групповой автоморфизм - это групповой изоморфизм группы в себя. Неформально это перестановка элементов группы таким образом, чтобы структура оставалась неизменной. Для каждой группы G существует естественный гомоморфизм групп G → Aut ( G ) , чей образ является группой Inn ( G ) из внутренних автоморфизмов и чье ядро является центром в G . Таким образом, если G имеет тривиальный центр, ее можно вложить в свою группу автоморфизмов.
• В линейной алгебре , эндоморфизм векторного пространства V является линейным оператором V → V . Автоморфизм является обратимым линейным оператором на V . Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов V совпадает с общей линейной группой GL ( V ).
• Поле автоморфизм является биективен кольцевым гомоморфизмом из поля к самому себе. В случаях рациональных чисел ( Q ) и действительных чисел ( R ) нет нетривиальных полевых автоморфизмов. Некоторые подполя в R имеют нетривиальные полевые автоморфизмы, которые, однако, не распространяются на все R (потому что они не могут сохранить свойство числа, имеющего квадратный корень в R ). В случае комплексных чисел , C , существует единственный нетривиальный автоморфизм , который посылает R в R : комплексное сопряжение , но существует бесконечное ( несчетное ) множество «диких» автоморфизмы ( в предположении аксиомы выбора ). Полевые автоморфизмы важны для теории расширений полей , в частности расширений Галуа . В случае расширения Галуа L / K подгруппа всех автоморфизмов L фиксирующих K точечно называется группа Галуа расширения.

Симметрия в теории представлений

Симметрия в квантовой механике: бозоны и фермионы

В квантовой механике у бозонов есть представители, симметричные относительно операторов перестановки, а у фермионов есть антисимметричные представители.

Отсюда следует принцип запрета Паули для фермионов. Фактически, принцип исключения Паули с однозначной многочастичной волновой функцией эквивалентен требованию, чтобы волновая функция была антисимметричной. Антисимметричное двухчастичное состояние представлено как сумма состояний, в которых одна частица находится в состоянии, а другая - в состоянии : ${\ Displaystyle \ scriptstyle | х \ rangle}$${\ Displaystyle \ scriptstyle | у \ rangle}$

${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ sum _ {x, y} A (x, y) | x, y \ rangle}$

а антисимметрия относительно обмена означает, что A ( x , y ) = - A ( y , x ) . Отсюда следует, что A ( x , x ) = 0 , что является исключением Паули. Это верно для любого базиса, поскольку унитарные замены базиса сохраняют антисимметричные матрицы антисимметричными, хотя, строго говоря, величина A ( x , y ) является не матрицей, а антисимметричным тензором второго ранга .

И наоборот, если диагональные величины A ( x , x ) равны нулю в каждом базисе , то составляющая волновой функции:

${\ Displaystyle A (x, y) = \ langle \ psi | x, y \ rangle = \ langle \ psi | (| x \ rangle \ otimes | y \ rangle)}$

обязательно антисимметричен. Чтобы доказать это, рассмотрим матричный элемент:

${\ displaystyle \ langle \ psi | ((| x \ rangle + | y ​​\ rangle) \ otimes (| x \ rangle + | y ​​\ rangle)) \,}$

Это ноль, потому что две частицы имеют нулевую вероятность оказаться в состоянии суперпозиции . Но это равно ${\ Displaystyle \ scriptstyle | х \ rangle + | y ​​\ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle \ psi | x, x \ rangle + \ langle \ psi | x, y \ rangle + \ langle \ psi | y, x \ rangle + \ langle \ psi | y, y \ rangle \,}$

Первый и последний члены в правой части являются диагональными элементами и равны нулю, а вся сумма равна нулю. Таким образом, элементы матрицы волновых функций подчиняются:

${\ Displaystyle \ langle \ psi | x, y \ rangle + \ langle \ psi | y, x \ rangle = 0 \,}$.

или

${\ Displaystyle А (х, у) = - А (у, х) \,}$

Симметрия в теории множеств

Симметричное отношение

Мы называем отношение симметричным, если каждый раз, когда отношение располагается от A к B, оно стоит также и от B к A. Обратите внимание, что симметрия не является полной противоположностью антисимметрии .

Симметрия в метрических пространствах

Изометрии пространства

Изометрия является расстояние -preserving отображения между метрическими пространствами . Учитывая метрическое пространство или набор и схему для назначения расстояний между элементами набора, изометрия - это преобразование, которое отображает элементы в другое метрическое пространство таким образом, что расстояние между элементами в новом метрическом пространстве равно расстоянию между ними. элементы в исходном метрическом пространстве. В двухмерном или трехмерном пространстве две геометрические фигуры конгруэнтны, если они связаны изометрией: связаны либо  жестким движением , либо  композицией жесткого движения и  отражения . С точностью до отношения жестким движением они равны, если связаны прямой изометрией .

Изометрии использовались для унификации рабочего определения симметрии в геометрии и для функций, вероятностных распределений, матриц, строк, графиков и т. Д.

Симметрии дифференциальных уравнений

Симметрия дифференциального уравнения - это преобразование, при котором дифференциальное уравнение остается инвариантным. Знание таких симметрий может помочь решить дифференциальное уравнение.

Линия симметрия из системы дифференциальных уравнений является непрерывной симметрией системы дифференциальных уравнений. Знание симметрии линии может быть использовано для упрощения обыкновенного дифференциального уравнения за счет понижения порядка .

Для обыкновенных дифференциальных уравнений знание соответствующего набора симметрий Ли позволяет явно вычислить набор первых интегралов, что дает полное решение без интегрирования.

Симметрии могут быть найдены путем решения связанной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этих уравнений часто намного проще, чем решение исходных дифференциальных уравнений.

Симметрия в вероятности

В случае конечного числа возможных исходов симметрия относительно перестановок (перемаркировок) подразумевает дискретное равномерное распределение .

В случае реального интервала возможных исходов симметрия относительно смены подинтервалов равной длины соответствует непрерывному равномерному распределению .

В других случаях, таких как «взятие случайного целого числа» или «взятие случайного действительного числа», нет вообще никаких распределений вероятностей, симметричных относительно перемаркировки или обмена одинаково длинных подинтервалов. Другие разумные симметрии не выделяют одно конкретное распределение, или, другими словами, не существует уникального распределения вероятностей, обеспечивающего максимальную симметрию.

Существует один тип изометрии в одном измерении , при котором распределение вероятностей может оставаться неизменным, это отражение в точке, например нулевой.

Возможная симметрия случайности с положительными результатами состоит в том, что первое применяется к логарифму, т. Е. Результат и его обратная величина имеют одинаковое распределение. Однако эта симметрия не выделяет однозначно какое-либо конкретное распределение.

Для «случайной точки» на плоскости или в пространстве можно выбрать начало координат и рассмотреть распределение вероятностей с круговой или сферической симметрией соответственно.

Смотрите также

• Использование симметрии в интегрировании
• Инвариантность (математика)

использованная литература

Список используемой литературы

• Вейль, Герман (1989) [1952]. Симметрия . Научная библиотека Принстона. Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.
• Ронан, Марк (2006). Симметрия и чудовище . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-280723-6. (Краткое введение для непрофессионала)
• дю Сотуа, Маркус (2012). В поисках самогона: путешествие математика по симметрии . Харпер Коллинз. ISBN 978-0-00-738087-9.