Абсолютная величина - Absolute value


Из Википедии, свободной энциклопедии

График функции абсолютного значения для действительных чисел
Абсолютное значение числа можно рассматривать как его расстояние от нуля.

В математике , то абсолютное значение или модуль | х | из вещественного числа  х является неотрицательным значением  х без учета его знака . А именно, | х | = Х для А положительных  х , | х | = - х за отрицательных  х (в этом случае - х положительна), и | 0 | = 0 . Например, абсолютное значение 3 равно 3, а абсолютное значение -3 также 3. Абсолютное значение числа можно рассматривать в качестве расстояния от нуля.

Обобщения абсолютного значения для действительных чисел встречаются в самых разнообразных математических параметров. Например, абсолютное значение также определяются для комплексных чисел , в кватернионах , упорядоченные колец , полей и векторных пространств . Абсолютное значение тесно связано с понятиями величины , расстояния и нормы в различных математических и физических контекстах.

Терминология и обозначения

В 1806 году Жан-Робер Аргана ввел термин модуль , то есть единица измерения на французском языке, в частности , для комплексного абсолютного значения, и он был заимствован на английский язык в 1866 году в качестве латинского эквивалента модуля . Термин абсолютное значение было использовано в этом смысле , по меньшей мере , 1806 на французском и 1857 на английском языке. Обозначения | х | С вертикальной чертой на каждой стороне, был представлен Карл Вейерштрассой в 1841. Других названий для абсолютного значения включает в себя численное значение и величину . В языках программирования и вычислительных программных пакетов, абсолютное значение х , как правило , представлена абс ( х ), или аналогичное выражение.

Вертикальная полоса обозначение появляется также в ряде других математических контекстов: например, когда применяются к набору, оно обозначает его мощность ; при применении к матрице , он обозначает ее определитель . Вертикальные полосы обозначают абсолютное значение только для алгебраических объектов , для которых определенно понятие абсолютной величины, в частности элемента в нормированной алгебре с делением , как вещественное число, комплексным число, кватернион. Близкий , но отдельные обозначения являются использованием вертикальных стержней для либо евклидовой нормы или вир нормы вектора в , хотя двойные вертикальных полосы с индексами ( и , соответственно) являются более распространенным и менее неоднозначным обозначением.

Определение и свойства

Вещественные числа

Для любого вещественного числа  х , то абсолютное значение или модуль из  й обозначаются через | х | вертикальная полоса на каждой стороне от количества) и определяется как

Абсолютное значение  х , таким образом , всегда либо положительное или нулевой , но никогда не отрицательно : когда х сам является отрицательным ( х <0 ), то его абсолютное значение обязательно положительно ( | х | = - х > 0 ).

Из аналитической геометрии точки зрения, абсолютное значение действительного числа является это число в расстоянии от нуля вдоль вещественного числа линии , а в более общем случае абсолютное значение разности двух действительных чисел является расстоянием между ними. В самом деле, понятие абстрактной функции расстояния в математике можно рассматривать как обобщение абсолютной величины разности (см «расстояние» ниже).

Так как символ квадратного корня представляет собой уникальный положительный квадратный корень (при нанесении на положительное число), то отсюда следует , что

эквивалентно приведенному выше определению, и может быть использован в качестве альтернативного определения абсолютной величины действительных чисел.

Абсолютное значение имеет следующие четыре основные свойства ( , Ь действительные числа), которые используются для обобщения этого понятия в других областях:

Неотрицательность
Положительная определенность
Мультипликативность
Субаддитивность , в частности, неравенство треугольника

Non-негативность, положительная определенность, и мультипликативность очевидны из определения. Чтобы увидеть , что субаддитивность держится, сначала , что одна из двух альтернатив с S или как -1 или +1 гарантирует , что сейчас, так и , следует , что, в зависимости от того значения х , один имеет для всех реальных . Следовательно, по желанию. (Для обобщения этого аргумента комплексных чисел, см «Доказательство неравенства треугольника для комплексных чисел» ниже.)

Некоторые дополнительные полезные свойства приведены ниже. Это либо непосредственно вытекает из определения или вытекают из четырех фундаментальных свойств выше.

Идемпотентности (абсолютное значение абсолютной величины является абсолютным значением)
Равномерность ( отражение симметрии графика)
Идентичность неразличимых ( что эквивалентно положительной определенности)
Неравенство треугольника (эквивалентно субаддитивности)
(если ) Сохранение деления (эквивалентно мультипликативностью)
Обратное неравенство треугольника (эквивалент субаддитивности)

Две другие полезные свойства, касающиеся неравенства являются:

или же

Эти отношения могут быть использованы для решения неравенств с абсолютными значениями. Например:

Абсолютное значение, как «расстояние от нуля», используются , чтобы определить абсолютную разность между произвольными действительными числами, стандартной метрикой на действительных числах.

Сложные числа

Абсолютное значение комплексного числа  есть расстояние  от начала координат. Это также видно на рисунке , что и его
комплексно сопряженное имеют одинаковое абсолютное значение. 

Так как комплексные числа не заказаны , определение дано в верхнюю части для реального абсолютного значения не может быть непосредственно применено к комплексным числам. Однако геометрическая интерпретация абсолютного значения действительного числа , как ее расстояние от 0 может быть обобщена. Абсолютное значение комплексного числа определяется евклидова расстояния от соответствующей точки на комплексной плоскости от происхождения . Это может быть вычислено с помощью теоремы Пифагора : для любого комплексного числа

где х и у являются действительными числами, то абсолютное значение или модуль из  г обозначается | г | и определяется

где Re ( Z ) = х и Im ( г ) = у обозначают действительные и мнимые части г , соответственно. Когда мнимая часть у равна нулю, это совпадает с определением абсолютного значения вещественного числа  х .

Когда комплексное число  г выражается в полярной форме как

с (и & thetas ; ∈ Arg ( г ) является аргументом (или фаза) г ), его абсолютное значение

,

Так как произведение любого комплексного числа  г и его комплексно - сопряженное  с одной и той же абсолютной величиной, всегда неотрицательное действительное число , абсолютное значение комплексного числа может быть удобно выражены как

напоминающая альтернативное определение вещественных чисел:

Комплекс абсолютного значение разделяет четыре основных свойств, приведенных выше для реального абсолютного значения.

На языке теории групп , мультипликативный свойство можно перефразировать следующим образом : абсолютная величина представляет собой групповой гомоморфизм из мультипликативной группы комплексных чисел на группы при умножении положительных действительных чисел .

Важно отметить, что свойство субаддитивности ( « неравенства треугольника ») распространяется на любую конечную совокупность п  комплексных чисел , как

Это неравенство также относится к бесконечным семьям , при условии , что бесконечный ряд является абсолютно сходящимся . Если интеграция Лебежит рассматриваются как непрерывный аналог суммирования, то это неравенство аналогично повиновалось комплекснозначными, измеримыми функциями при интегрировании по измеримому подмножеству :

(Это включает в себя Риман-интегрируемые функции над ограниченным интервалом , как частный случай.)

Доказательство комплексного неравенства треугольника

Неравенство треугольника, как дано , может быть продемонстрировано путем применения трех легко проверяемых свойств комплексных чисел: А именно, для любого комплексного числа ,

(я): существует такое , что и ;
(II): .

Кроме того , для семейства комплексных чисел , . Особенно,

(III): если , то .

Доказательство : Выберитетакоечтои(суммируется по). Следующие вычисления затем дает требуемое неравенство:

,

Как видно из этого доказательства , что имеет место равенство в точности , если все неотрицательные действительные числа, которые в свою очередь , происходит точно , если все ненулевые имеют один и тот же аргумент , т.е. для комплексной константы и действительные константы для .

Так как измеримые подразумевает , что измеримо, доказательство неравенства протекает по той же методике, путем замены с и с .

Функция Абсолютное значение

График функции абсолютного значения для действительных чисел
Состав абсолютного значения с кубической функции в различных порядках

Реальная функция абсолютной величины непрерывна всюду. Это дифференцируема всюду , за исключением х  = 0. Она монотонно убывает на интервале (-∞, 0] и монотонно возрастает на интервале [0, + ∞) . Так как действительное число и его противоположно имеют ту же абсолютную величину, это даже функция , и , следовательно , не обратимы . Реальная функция абсолютного значения является кусочно - линейной , выпуклой функцией .

И реальные и сложные функции идемпотентные .

Отношение к знаковой функции

Абсолютное значение функция действительного числа возвращает его значение независимо от его знака, в то время как функция знака (или знаковый) возвращает подписать ряд в независимо от его стоимости. Следующие уравнения показывают связь между этими двумя функциями:

или же

и х ≠ 0 ,

производный

Действительная функция абсолютное значение имеет производную для каждого х ≠ 0 , но не является дифференцируемой при х = 0 . Ее производная по й ≠ 0 задаются ступенчатой функцией :

Субдифференциал из  | х | при  х = 0 является интервал  [-1,1] .

Комплекс абсолютное значение функции не непрерывна всюду , но комплекс дифференцируема нигде , потому что нарушает уравнения Коши-Римана .

Вторая производная  | х | по  х равна нулю всюду , кроме нуля, где она не существует. В качестве обобщенной функции , второй производной можно рассматривать как два раза дельта - функции Дирака .

первообразная

Первообразной (неопределенного интеграла) вещественной функции абсолютного значения

где C произвольная постоянная интегрирования . Это не комплекс первообразного , поскольку сложные первообразные может существовать только для сложных-дифференцируемых ( голоморфных ) функций, которые комплексная функция абсолютного значения не является.

Расстояние

Абсолютное значение тесно связано с идеей расстояния. Как уже отмечалось выше, абсолютное значение действительного или комплексного числа есть расстояние от этого числа до начала координат, вдоль действительной числовой оси, для действительных чисел, либо в комплексной плоскости, для комплексных чисел, а в более общем случае , абсолютное значение разности двух вещественных или комплексных чисел есть расстояние между ними.

Стандартное евклидово расстояние между двумя точками

а также

в евклидове п -пространство определяются следующим образом:

Это можно рассматривать как обобщение, так как для и реальной, т.е. в 1-пространстве, в соответствии с альтернативным определением абсолютного значения,

и и комплексных чисел, то есть в 2-пространстве,

Выше показывает, что «абсолютное значение» -расстояние, для действительных и комплексных чисел, согласуется со стандартным евклидовым расстоянием, которое они наследуют в результате рассмотрения их как один и два евклидовых пространств, соответственно.

Свойства абсолютной величины разности два действительных или комплексных чисел: неотрицательности, идентичность неразличимых, симметрия и неравенство треугольника , приведенное выше, можно увидеть , чтобы мотивировать более общее понятие функции расстояния следующим образом :

Настоящая функция д на множество X  ×  X называется метрика (или функция расстояния ) на  X , если он удовлетворяет следующие четыре аксиом:

Неотрицательность
Идентичность неразличимых
симметричность
неравенство треугольника

Обобщения

Заказанное кольцо

Определение абсолютного значения , заданного для действительных чисел выше может быть расширена до любого упорядоченного кольца . То есть, если  является элементом упорядоченного кольца  R , то абсолютное значение из  , обозначается | | , Определяется как:

где - является аддитивным обратным из  , 0 является аддитивным единичным элементом , а <и ≥ имеет обычное значение относительно упорядочения в кольце.

поля

Четыре основных свойств абсолютного значения для действительных чисел можно использовать для обобщить понятие абсолютной величины для произвольного поля, следующим образом.

Вещественнозначная функция  v на поле  F называется абсолютное значение (также модуль упругости , величина , значение , или оценки ) , если она удовлетворяет следующим четырем аксиомам:

Неотрицательность
Положительная определенность
Мультипликативность
Субаддитивность или неравенство треугольника

Там , где 0 обозначает аддитивный идентичности элемент  F . Это следует из положительной определенности и мультипликативности , что v ( 1 ) = 1 , где 1 обозначает мультипликативный идентичности элемент  F . Реальные и сложные абсолютные значения , определенные выше , являются примерами абсолютных значений для произвольного поля.

Если v является абсолютной величиной , на  F , то функция  D на F  ×  F , определяется д ( ,  б ) = об ( - Ь ) , является метрикой и эквивалентны следующие:

  • д удовлетворяет ультраметрическое неравенству для всех х , у , г в  F .
  • будет ограничена в  R .
  • для каждого
  • для всех
  • для всех

Абсолютное значение , которое удовлетворяет любого (следовательно , все) из указанных выше условий называется неархимедова , в противном случае она называется архимедовыми .

векторные пространства

Опять же можно использовать основные свойства абсолютного значения для действительных чисел, с небольшим изменением, чтобы обобщить понятие для произвольного векторного пространства.

Вещественнозначная функция на векторном пространстве  V над полем  F , представлены в виде ‖ · ‖ , называется абсолютное значение , но чаще в норме , если он удовлетворяет следующие аксиомы:

Для всех  в  F и V , U в  V ,

Неотрицательность
Положительная определенность
Положительная однородность или положительная масштабируемость
Субаддитивность или неравенство треугольника

Норма вектора также называется его длиной или величиной .

В случае евклидова пространства  R п , функция определяется

является нормой называется евклидова норма . Когда действительные числа  R рассматриваются как один-мерного векторного пространства  R 1 , абсолютное значение является нормой , и является р -норме (см л р пространство ) для любого  р . На самом деле абсолютное значение является «только» норма на R 1 , в том смысле , что для каждой нормы ‖ · ‖ на  R 1 , | | х | | = ‖1‖ ⋅ | х | , Комплекс абсолютного значения является частным случаем нормы в внутреннем пространстве продукта . Она идентична евклидовой норме, если комплексная плоскость отождествляется с евклидовой плоскости  R 2 .

Композиционные алгебры

Каждая композиция алгебра имеет инволюцию хх * называется его сопряжение . Продукт элемента х и ее сопряженной х * записывается N ( х ) = хх * и называется нормой х .

Реальное число ℝ, комплексные числа ℂ и кватернионы ℍ все композиционные алгебры с нормами заданных определенными квадратичными формами . Абсолютное значение этих алгебр с делением задается квадратным корнем нормы состава алгебры.

В целом норма композиционной алгебры может быть квадратичной формой , которая не определена и имеет нулевые векторы . Однако, как и в случае алгебр с делением, когда элемент х имеет ненулевую норму, то х имеет мультипликативную обратный задаются й * / N ( х ).

Заметки

Рекомендации

внешняя ссылка