Антисимметричное отношение - Antisymmetric relation

В математике , А бинарное отношение на множестве является антисимметричным , если не существует пара различных элементов , каждый из которых связан с к другой. Формально антисимметрично именно тогда, когда для всех

или эквивалентно,
Определение антисимметрии ничего не говорит о том, действительно ли это справедливо для любого

Примеры

Делимость отношение на натуральных числах является важным примером антисимметрических отношений. В этом контексте антисимметрия означает, что единственный способ деления каждого из двух чисел на другое состоит в том, что эти два числа фактически являются одним и тем же числом; эквивалентно, если и различны и является множителем, то не может быть множителем. Например, 12 делится на 4, но 4 не делится на 12.

Обычное отношение порядка на действительных числах антисимметрично: если для двух действительных чисел и два неравенств и трюма тогда и должно быть равны. Точно так же порядок подмножеств в подмножествах любого заданного набора антисимметричен: даны два набора, и если каждый элемент в также входит, и каждый элемент в также находится в, тогда и должен содержать все те же элементы и, следовательно, быть равными:

Примером из реальной жизни отношения, которое обычно является антисимметричным, является «оплачен счет ресторана» (понимаемый как ограниченный конкретным случаем). Обычно одни люди оплачивают свои счета, а другие - своих супругов или друзей. Пока два человека не платят друг другу по счетам, отношения антисимметричны.

Характеристики

Частичные и полные заказы антисимметричны по определению. Отношения могут быть как симметричными, так и антисимметричными (в этом случае они должны быть корефлексивными ), и есть отношения, которые не являются ни симметричными, ни антисимметричными (например, отношение «жертвы» для биологических видов ).

Антисимметрия отличается от асимметрии : отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и иррефлексивно .

Смотрите также

использованная литература

  • Вайсштейн, Эрик В. «Антисимметричные отношения» . MathWorld .
  • Липшуц, Сеймур ; Марк Ларс Липсон (1997). Теория и проблемы дискретной математики . Макгроу-Хилл. п. 33 . ISBN 0-07-038045-7.
  • Антисимметричное отношение nLab