Внутренний автоморфизм - Inner automorphism

В абстрактной алгебре внутренний автоморфизм является автоморфизм из группы , кольца , или алгебры , заданной конъюгации действия фиксированного элемента, называемого конъюгации элементом . Они могут быть реализованы с помощью простых операций внутри самой группы, отсюда и прилагательное «внутренний». Эти внутренние автоморфизмы образуют подгруппу группы автоморфизмов, а факторгруппа группы автоморфизмов по этой подгруппе порождает понятие группы внешних автоморфизмов .

Определение

Если G - группа, а g - элемент G (альтернативно, если G - кольцо, а g - единица ), то функция

называется (правым) сопряжением по g (см. также класс сопряженности ). Эта функция является Эндоморфизмом из G : для всех

где второе равенство дается вставкой тождества между и. Кроме того, оно имеет левый и правый обратные , а именно, Таким образом, является биективным , и, следовательно, изоморфизм G с самим собой, то есть автоморфизм. Внутренний автоморфизм является любой автоморфизм , который возникает из сопряжения.

При обсуждении правильного спряжения, выражение часто обозначается экспоненциально Это обозначение используется потому , что состав спряжения удовлетворяет идентичности: для всех Это показывает , что конъюгация дает правильное действие из G на себя.

Группы внутренних и внешних автоморфизмов

Композиция из двух внутренних автоморфизмов снова внутренний автоморфизм, и с этой операцией, совокупность всех внутренних автоморфизмов группы G представляет собой группа, внутренний автоморфизм группа G обозначит Inn ( G ) .

Inn ( G ) является нормальной подгруппой полной группы автоморфизмов Aut ( G ) из G . Внешний автоморфизм группы , Out ( G ) является фактор - группа

Группа внешних автоморфизмов в некотором смысле измеряет, сколько автоморфизмов группы G не являются внутренними. Каждый невнутренний автоморфизм порождает нетривиальный элемент из Out ( G ) , но разные невнутренние автоморфизмы могут давать один и тот же элемент из Out ( G ) .

Сказать, что сопряжение x с помощью a оставляет x неизменным, равносильно утверждению, что a и x коммутируют:

Следовательно, наличие и количество внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественным отображением, является своего рода мерой нарушения коммутативного закона в группе (или кольце).

Автоморфизм группы G является внутренним тогда и только тогда , когда она распространяется на каждую группу , содержащую G .

Ассоциируя элемент G с внутренним автоморфизмом ф ( х ) = х в Inn ( G ) , как указано выше, один получает изоморфизм между фактор - группы G / Z ( G ) (где Z ( G ) является центром по G ) и группы внутренних автоморфизмов:

Это следствие первой теоремы об изоморфизме , потому что Z ( G ) - это в точности набор тех элементов группы G, которые задают тождественное отображение как соответствующий внутренний автоморфизм (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечных p -групп

Результат Вольфганга Гашюца гласит, что если G конечная неабелева p -группа , то G имеет автоморфизм p -степенного порядка, который не является внутренним.

Остается открытым вопрос, имеет ли всякая неабелева p -группа G автоморфизм порядка p . Последний вопрос имеет положительный ответ, если G имеет одно из следующих условий:

  1. G нильпотентна класса 2
  2. G - регулярная p -группа
  3. G / Z ( G ) - мощная p -группа
  4. Централизатор в G , C G , центра, Z , из подгруппы Фраттини , Ф , из G , C GZ ∘ Ф ( С ) , не равен Ф ( G )

Типы групп

Внутренняя группа автоморфизмов группы G , Inn ( G ) , тривиально (т.е. состоит только из единичного элемента ) , если и только если G является абелевой .

Группа Inn ( G ) является циклической только тогда , когда оно тривиально.

На противоположном конце спектра внутренние автоморфизмы могут исчерпать всю группу автоморфизмов; группа, все автоморфизмы которой внутренние, а центр тривиален, называется полной . Это имеет место для всех симметрических групп на n элементах, когда n не равно 2 или 6. Когда n = 6 , симметрическая группа имеет единственный нетривиальный класс внешних автоморфизмов, а когда n = 2 , симметрическая группа, несмотря на отсутствие внешних автоморфизмов, является абелевым, дает нетривиальный центр, что лишает его возможности быть полным.

Если группа внутренних автоморфизмов совершенной группы G проста, то G называется квазипростой .

Случай алгебры Ли

Автоморфизм алгебры Ли 𝔊 называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид Ad g , где Ad - присоединенное отображение, а g - элемент группы Ли, алгеброй Ли которой является 𝔊 . Понятие внутреннего автоморфизма для алгебр Ли совместимо с понятием для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли индуцирует единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

Расширение

Если G является группой единиц одного кольца , , то внутренний автоморфизм на G может быть продолжено до отображения на проективной прямой над A группой единиц матричного кольца , М 2 ( А ) . В частности, таким образом могут быть расширены внутренние автоморфизмы классических групп .

использованная литература

дальнейшее чтение