Расширение Галуа - Galois extension

В математике , А расширение Галуа является алгебраическим расширением поля Е / Р , что является нормальным и разъемным ; или , что эквивалентно, Е / Р является алгебраическим, а поле фиксированного в группе автоморфизмов Aut ( Е / F ) именно базовое поле F . Значение того, чтобы быть расширением Галуа, состоит в том, что расширение имеет группу Галуа и подчиняется фундаментальной теореме теории Галуа .

Результат Эмиля Артина позволяет строить расширения Галуа следующим образом: если E - данное поле, а G - конечная группа автоморфизмов E с фиксированным полем F , то E / F является расширением Галуа.

Описание расширений Галуа

Важная теорема Эмиля Артина утверждает, что для конечного расширения каждое из следующих утверждений эквивалентно утверждению Галуа:

Другие эквивалентные утверждения:

  • Каждый неприводимый многочлен от, по крайней мере, с одним корнем из разбивается над и сепарабелен.
  • то есть количество автоморфизмов не меньше степени расширения.
  • фиксированное поле подгруппы
  • фиксированное поле
  • Между подполями и подгруппами группы существует взаимно однозначное соответствие.

Примеры

Есть два основных способа построить примеры расширений Галуа.

  • Возьмите любое поле , любую подгруппу и пусть будет фиксированным полем.
  • Возьмем любое поле , любой отделимый многочлен от и пусть будет его полем расщепления .

Прилегающая к полю рациональных чисел квадратный корень из 2 дает расширение Галуа, а прилегающая кубическую корень из 2 дает расширение без Галуа. Оба этих расширения отделимы, поскольку имеют нулевую характеристику . Первый из них - это поле расщепления ; вторая имеет нормальное замыкание, которое включает комплексные кубические корни из единицы , и поэтому не является полем расщепления. Фактически, у него нет другого автоморфизма, кроме тождества, потому что он содержится в действительных числах и имеет только один действительный корень. Более подробные примеры см. На странице, посвященной фундаментальной теореме теории Галуа .

Алгебраическое замыкание произвольного поля является Галуа над тогда и только тогда , когда это идеальное поле .

Примечания

Цитаты

использованная литература

  • Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556

дальнейшее чтение