Элементарная арифметика - Elementary arithmetic

Основные элементарные арифметические символы.

Элементарная арифметика - это упрощенная часть арифметики, которая включает в себя операции сложения , вычитания , умножения и деления . Не следует путать с арифметикой элементарных функций .

Элементарная арифметика начинается с натуральных чисел и написанных символов ( цифр ), которые их представляют. Процесс объединения пары этих чисел с четырьмя основными операциями традиционно основан на запомненных результатах для небольших значений чисел, включая содержимое таблицы умножения, чтобы помочь при умножении и делении.

Элементарная арифметика также включает дроби и отрицательные числа , которые могут быть представлены в числовой строке .

Цифры

Цифры - это полный набор символов, используемых для представления чисел. В конкретной системе счисления одна цифра представляет собой сумму, отличную от любой другой цифры, хотя символы в одной и той же системе счисления могут различаться в зависимости от культуры.

В современном использовании арабские цифры являются наиболее распространенным набором символов, и наиболее часто используемой формой этих цифр является западный стиль. Каждая отдельная цифра, если используется как отдельное число, соответствует следующим числам:
0 , ноль . Используется при отсутствии объектов для подсчета. Например, можно по-другому сказать «здесь нет палочек», это сказать «количество палочек здесь равно 0».
1 , ед . Применяется к отдельному предмету. Например, вот одна палка: I
2 , две . Применяется к паре предметов. Вот две палки: II
3 , три . Применяется к трем предметам. Вот три палки: III
4 , четыре . Применяется к четырем предметам. Вот четыре палки: III I
5 , пять . Применяется к пяти предметам. Вот пять палочек: III II
6 , шесть . Применяется к шести предметам. Вот шесть палочек: III III
7 , семь . Применено к семи предметам. Вот семь палочек: III III I
8 , восемь . Применено к восьми предметам. Вот восемь палочек: III III II
9 , девять . Применяется к девяти позициям. Вот девять палочек: III III III

Любая система счисления определяет значение всех чисел, содержащих более одной цифры, чаще всего путем добавления значения для соседних цифр. Система счисления индо-арабская включает в себя позиционные обозначения , чтобы определить значение для любой цифры. В системе этого типа увеличение значения дополнительной цифры включает в себя одно или несколько умножений на значение системы счисления, а результат добавляется к значению соседней цифры. При использовании арабских цифр десятичная система счисления дает значение двадцати одного (равного 2 × 10 + 1 ) для числа «21». Дополнительное умножение на значение системы счисления происходит для каждой дополнительной цифры, поэтому цифра «201» представляет собой значение двести один (равное 2 × 10 × 10 + 0 × 10 + 1 ).

Элементарный уровень обучения обычно включает понимание значения отдельных целых чисел с использованием арабских цифр максимум из семи цифр и выполнение четырех основных операций с использованием арабских цифр максимум из четырех цифр каждая.

Добавление

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Когда два числа складываются, результат называется суммой . Два сложенных числа называются слагаемыми .

Что значит сложить два натуральных числа?

Предположим, у вас есть две сумки: одна сумка с пятью яблоками, а вторая - с тремя яблоками. Взяв третий пустой мешок, переместите все яблоки из первого и второго пакетов в третий. В третьем мешочке теперь восемь яблок. Это иллюстрирует сочетание трех яблок и пяти яблок - восемь яблок; или в более общем смысле: «три плюс пять равно восьми», или «три плюс пять равняются восьми», или «восемь - это сумма трех и пяти». Числа абстрактны, и добавление группы из трех вещей к группе из пяти даст группу из восьми вещей. Сложение - это перегруппировка: два набора объектов, которые были подсчитаны отдельно, помещаются в одну группу и считаются вместе: счет новой группы является «суммой» отдельных подсчетов двух исходных групп.

Эта операция объединения - лишь одно из нескольких возможных значений, которые может иметь математическая операция сложения. Другие значения для добавления включают:

  • сравнение («У Тома 5 яблок. У Джейн на 3 яблока больше, чем у Тома. Сколько яблок у Джейн?»),
  • присоединение («У Тома 5 яблок. Джейн дает ему еще 3 яблока. Сколько яблок сейчас у Тома?»),
  • измерения («Стол Тома 3 фута в ширину. У Джейн также 3 фута в ширину. Насколько широкими будут их столы, когда они будут собраны вместе?»),
  • и даже иногда разделяются («У Тома было несколько яблок. Он дал 3 Джейн. Теперь у него их 5. Со сколькими он начал?»).

Символически сложение обозначается знаком « плюс »: +. Таким образом, утверждение «три плюс пять равно восьми» можно символически записать как 3 + 5 = 8 . Порядок, в котором добавляются два числа, не имеет значения, поэтому 3 + 5 = 5 + 3 = 8 . Это коммутативное свойство сложения.

Чтобы сложить пару цифр с помощью таблицы, найдите пересечение строки первой цифры со столбцом второй цифры: строка и столбец пересекаются в квадрате, содержащем сумму двух цифр. Некоторые пары цифр в сумме дают двузначные числа, при этом цифра десятков всегда равна 1. В алгоритме сложения цифра десятков суммы пары цифр называется « цифрой переноса ».

Алгоритм сложения

Для простоты рассматривайте только числа, состоящие из трех или менее цифр. Чтобы сложить пару чисел (написанных арабскими цифрами), напишите второе число под первым так, чтобы цифры выстроились в столбцы: крайний правый столбец будет содержать однозначную цифру второго числа под однозначной цифрой числа. первый номер. Этот крайний правый столбец является столбцом с единицами. Столбец слева от него - столбец с десятками. В столбце десятков будет цифра десятков второго числа (если она есть) под цифрой десятков первого числа (если она есть). Столбец слева от столбца десятков - это столбец сотен. Столбец с сотнями выровнял бы разряды сотен второго числа (если они есть) под разрядами сотен первого числа (если оно есть).

После того, как второе число будет записано под первым так, чтобы цифры выстроились в правильные столбцы, проведите линию под вторым (нижним) числом. Начните со столбца с единицами: столбец с единицами должен содержать пару цифр: единичную цифру первого числа и под ним единичную цифру второго числа. Найдите сумму этих двух цифр: запишите эту сумму под чертой и в столбце единиц. Если в сумме две цифры, запишите только однозначную цифру суммы. Напишите «цифру переноса» над верхней цифрой следующего столбца: в этом случае следующий столбец - это столбец с десятками, поэтому напишите 1 над цифрой десятков первого числа.

Если и первое, и второе число имеют только одну цифру, их сумма указана в таблице сложения, и алгоритм сложения не нужен.

Затем идет столбец десятков. Столбец десятков может содержать две цифры: разряд десятков первого числа и разряд десятков второго числа. Если в одном из чисел отсутствует цифра десятков, то цифру десятков для этого числа можно рассматривать как 0. Сложите цифры десятков двух чисел. Затем, если есть цифра переноса, добавьте ее к этой сумме. Если сумма была 18, то добавление к ней цифры переноса даст 19. Если сумма разрядов десятков (плюс цифра переноса, если она есть) меньше десяти, запишите ее в столбец десятков под линией. Если сумма состоит из двух цифр, запишите ее последнюю цифру в столбце десятков под строкой и перенесите первую цифру (которая должна быть 1) в следующий столбец: в данном случае столбец с сотнями.

Если ни одно из двух чисел не имеет разряда сотен, то если нет цифры переноса, то алгоритм сложения завершен. Если есть цифра переноса (перенесенная из столбца десятков), запишите ее в столбце сотен под строкой, и алгоритм будет завершен. Когда алгоритм завершится, число под линией будет суммой двух чисел.

Если хотя бы одно из чисел состоит из сотен цифр, тогда, если в одном из чисел отсутствует сотня цифр, запишите вместо него цифру 0. Сложите две сотни цифр и к их сумме добавьте цифру переноса, если она есть. Затем запишите сумму в столбце сотен под линией, также в столбце сотен. Если сумма состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру суммы в столбце сотен и запишите цифру переноса слева: в столбце тысяч.

Пример

Чтобы найти сумму чисел 653 и 274, запишите второе число под первым, выровняв цифры по столбцам, как показано ниже:

6 5 3
2 7 4

Затем проведите линию под вторым числом и поставьте знак плюса. Сложение начинается с единицы-столбца. Однозначная цифра первого числа - 3, второго - 4. Сумма трех и четырех равна семи, поэтому напишите 7 в столбце единиц под строкой:

6 5 3
+ 2 7 4
7

Далее столбик десятков. Цифра десятков первого числа равна 5, а цифра десятков второго числа - 7. 5 плюс 7 равно 12, которое состоит из двух цифр, поэтому запишите его последнюю цифру, 2, в столбце десятков под строкой. , и напишите цифру переноса в столбце сотен над первым числом:

1
6 5 3
+ 2 7 4
2 7

Далее колонна сотен. Цифра сотен первого числа - 6, а разряда сотен второго числа - 2. Сумма шести и двух равна восьми, но есть цифра переноса, которая в сумме с восемью равна девяти. Напишите 9 под строкой в ​​столбце с сотнями:

1
6 5 3
+ 2 7 4
9 2 7

Никакие цифры (и никакие столбцы) не были оставлены без добавления, поэтому алгоритм завершается, давая в результате следующее уравнение:

653 + 274 = 927

Наследование и размер

Результат прибавления единицы к числу является преемником этого числа. Примеры:
преемник нуля - один,
преемник одного - два,
преемник двух - три,
преемник десяти - одиннадцать.
У каждого натурального числа есть преемник.

Предшественником преемника числа является само число. Например, пять является преемником четырех, поэтому четыре предшествует пяти. У каждого натурального числа, кроме нуля, есть предшественник.

Если число является преемником другого числа, то говорят, что первое число больше другого числа. Если число больше другого числа, и если другое число больше третьего числа, то первое число также больше третьего числа. Пример: пять больше четырех, а четыре больше трех, поэтому пять больше трех. Но шесть больше пяти, поэтому шесть больше трех. Но семь больше шести, поэтому семь также больше трех ... следовательно, восемь больше трех ... следовательно, девять больше трех и т. Д.

Если сложить два ненулевых натуральных числа, их сумма больше любого из них. Пример: три плюс пять равно восьми, поэтому восемь больше трех ( 8> 3 ), а восемь больше пяти ( 8> 5 ). Символ «больше чем» ->.

Если одно число больше другого, то второе меньше первого. Примеры: три меньше восьми ( 3 <8 ) и пять меньше восьми ( 5 <8 ). Символ «меньше чем» - <. Число не может быть одновременно больше и меньше другого числа. Также число не может быть одновременно больше и равным другому числу. Для пары натуральных чисел должен выполняться только один из следующих случаев:

  • первое число больше второго,
  • первое число равно второму,
  • первое число меньше второго.

Подсчет

Подсчет группы объектов означает присвоение натурального числа каждому из объектов, как если бы это была метка для этого объекта, так что натуральное число никогда не присваивается объекту, если его предшественник уже не был назначен другому объекту, за исключением того, что ноль не присваивается ни одному объекту: наименьшее натуральное число, которое должно быть присвоено, равно единице, а наибольшее присваиваемое натуральное число зависит от размера группы. Он называется счетчиком и равен количеству объектов в этой группе. Подсчет также можно рассматривать как процесс подсчета с использованием меток.

Процесс подсчета группы следующий:

  1. Пусть «счет» будет равен нулю. «Счетчик» - это переменная величина, значение которой, хотя и начинается с нуля, вскоре изменится несколько раз.
  2. Найдите хотя бы один объект в группе, который не имеет натурального числа. Если такой объект не может быть найден (если все они помечены), то подсчет завершен. В противном случае выберите один из непомеченных объектов.
  3. Увеличьте счет на единицу. То есть заменить значение счетчика его преемником.
  4. Назначьте новое значение счетчика в качестве метки для немаркированного объекта, выбранного на шаге 2.
  5. Вернитесь к шагу 2.

Когда счет закончен, последнее значение счета будет окончательным. Это количество равно количеству объектов в группе.

Часто при подсчете объектов не отслеживается, какая числовая метка соответствует какому объекту: отслеживается только подгруппа объектов, которые уже были помечены, чтобы иметь возможность идентифицировать немаркированные объекты, необходимые для шага 2. Однако , если кто-то считает людей, то можно попросить людей, которые подсчитываются для каждого, отслеживать номер, который был присвоен этому человеку. После завершения подсчета можно попросить группу людей выстроиться в линию в порядке увеличения числовой метки. То, что люди будут делать в процессе выстраивания, будет примерно таким: каждая пара людей, не уверенных в своем положении в очереди, спрашивает друг друга, каковы их числа: человек, чье число меньше, должен стоять с левой стороны. и тот, у которого номер больше, справа от другого человека. Таким образом, пары людей сравнивают свои числа и свои позиции и меняют свои позиции по мере необходимости, и посредством повторения таких условных коммутаций они становятся упорядоченными.

В высшей математике процесс подсчета также можно сравнить с построением взаимно однозначного соответствия (также известного как биекция) между элементами набора и набором {1, ..., n} (где n - это натуральное число). Как только такое соответствие установлено, первый набор называется размером n.

Вычитание

Вычитание - это математическая операция, описывающая уменьшенное количество. Результатом этой операции является разница между двумя числами, уменьшаемым и вычитаемым . Как и сложение, вычитание может иметь несколько интерпретаций, например:

  • разделение («У Тома 8 яблок. Он отдает 3 яблока. Сколько у него осталось?»)
  • сравнение («У Тома 8 яблок. У Джейн на 3 яблока меньше, чем у Тома. Сколько у Джейн?»)
  • объединение («У Тома 8 яблок. Три яблока зеленые, а остальные красные. Сколько красных?»)
  • и иногда присоединяется («У Тома было несколько яблок. Джейн дала ему еще 3 яблока, так что теперь у него 8 яблок. Со скольких он начал?»).

Как и в случае с дополнением, есть и другие возможные интерпретации, например движение .

Символически знак минус («-») представляет операцию вычитания. Таким образом, выражение «пять минус три равно двум» также записывается как 5 - 3 = 2 . В элементарной арифметике вычитание использует меньшие положительные числа для всех значений, чтобы получить более простые решения.

В отличие от сложения, вычитание не коммутативно, поэтому порядок чисел в операции может изменить результат. Поэтому каждому номеру присваивается свое отличительное имя. Первое число (5 в предыдущем примере) формально определяется как уменьшаемое, а второе число (3 в предыдущем примере) как вычитаемое . Значение minuend больше, чем значение subtrahend, поэтому результатом будет положительное число, но меньшее значение minuend приведет к отрицательным числам .

Есть несколько методов вычитания. Метод, который в США называют традиционной математикой, учит учеников начальной школы вычитать, используя методы, подходящие для ручного вычисления. Конкретный используемый метод варьируется от страны к стране, и внутри страны в разное время в моде разные методы. Реформа математики обычно отличается отсутствием предпочтения какой-либо конкретной техники, замененной руководством учеников 2-го класса изобретать свои собственные методы вычислений, такие как использование свойств отрицательных чисел в случае TERC .

В настоящее время в американских школах преподают метод вычитания с использованием заимствований и систему маркировки, называемую костылями. Хотя метод заимствования был известен и ранее публиковался в учебниках, очевидно, костыли - изобретение Уильяма А. Броуэлла, который использовал их в своем исследовании в ноябре 1937 года [1] . Эта система быстро прижилась, вытеснив другие методы вычитания, использовавшиеся в то время в Америке.

Студенты в некоторых европейских странах обучаются, а некоторые пожилые американцы используют метод вычитания, называемый австрийским методом, также известный как метод сложения. В этом методе нет заимствования. Есть также костыли (маркировка, помогающая запоминать), которые [вероятно] различаются в зависимости от страны.

В методе заимствования вычитание, такое как 86 - 39 , выполнит вычитание одной позиции 9 из 6 путем заимствования 10 из 80 и прибавления его к 6. Таким образом, задача преобразуется в (70 + 16) - 39 , эффективно. На это указывает проставление черточки через цифру 8, написание маленькой цифры 7 над ней и написание маленькой цифры 1 над цифрой 6. Эти отметки называются костылями . Затем 9 вычитается из 16, оставляя 7, а 30 из 70, в результате остается 40 или 47.

В методе сложений заимствуется 10, чтобы превратить 6 в 16, при подготовке к вычитанию 9, как и в методе заимствования. Однако 10 не берется за счет уменьшения уменьшаемого, а увеличивается вычитаемое. Фактически задача трансформируется в (80 + 16) - (39 + 10) . Обычно костыль маленького размера отмечается чуть ниже вычитаемой цифры в качестве напоминания. Затем операции продолжаются: 9 из 16 - 7; и 40 (то есть 30 + 10 ) из 80 будет 40, или 47 в результате.

Кажется, что метод сложений преподается в двух вариантах, которые различаются только психологией. Продолжая пример 86 - 39 , первая вариация пытается вычесть 9 из 6, а затем 9 из 16, заимствуя 10, отмечая рядом с цифрой вычитаемого значения в следующем столбце. Второй вариант пытается найти цифру, которая при добавлении к 9 дает 6, и, признавая, что это невозможно, дает 16 и переносит 10 из 16 как единицу, отмечая ту же цифру, что и в первом методе. Маркировка такая же; это просто вопрос предпочтения того, как объяснить его появление.

В качестве последнего предостережения, метод заимствования становится немного сложнее в таких случаях, как 100–87 , когда заимствование не может быть получено немедленно и должно быть получено путем охвата нескольких столбцов. В этом случае minuend эффективно переписывается как 90 + 10 , беря 100 из сотен, делая из них десять десятков, сразу же заимствуя это до девяти десятков в столбце десятков и, наконец, помещая 10 в столбец единиц.

Умножение

× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 год 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 год 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 год 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 год 28 год 35 год 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 год

Когда два числа умножаются, результат называется произведением . Два умножаемых числа называются множителями , также используются множимое и множитель .

Что значит умножить два натуральных числа?

Предположим, есть пять красных мешков, в каждом по три яблока. Теперь, взяв пустой зеленый мешок, переместите все яблоки из всех пяти красных мешков в зеленый мешок. Теперь в зеленом мешочке будет пятнадцать яблок.
Таким образом, произведение пяти на три равно пятнадцати.
Это также можно сформулировать как «пять умножить на три равно пятнадцать», или «пять умножить на три равно пятнадцать», или «пятнадцать - это произведение пяти и трех». Умножение можно рассматривать как форму повторного сложения : первый множитель указывает, сколько раз второй множитель встречается при повторном сложении; конечная сумма - продукт.

Символически умножение обозначается знаком умножения : ×. Таким образом, выражение «пять умножить на три равно пятнадцать» можно символически записать как

В некоторых странах и в более продвинутой арифметике используются другие знаки умножения, например 5 3 . В некоторых ситуациях, особенно в алгебре , где числа могут быть обозначены буквами, символ умножения может быть опущен; например, xy означает x × y . Порядок, в котором умножаются два числа, не имеет значения, так что, например, три умножения на четыре равно четырем умноженным на три. Это коммутативное свойство умножения.

Чтобы умножить пару цифр с помощью таблицы, найдите пересечение строки первой цифры со столбцом второй цифры: строка и столбец пересекаются в квадрате, содержащем произведение двух цифр. Большинство пар цифр дают двузначные числа. В алгоритме умножения цифра, состоящая из десятков произведений пары цифр, называется « цифрой переноса ».

Алгоритм умножения на однозначный множитель

Рассмотрим умножение, в котором один из множителей состоит из нескольких цифр, а другой множитель - только из одной цифры. Запишите множитель из нескольких цифр, затем укажите множитель из одной цифры под самой правой цифрой множителя из нескольких цифр. Проведите горизонтальную линию под однозначным множителем. В дальнейшем множитель с несколькими цифрами будет называться множимым , а множитель с одной цифрой - множителем .

Предположим для простоты, что множимое состоит из трех цифр. Самая левая цифра - это сотня, средняя цифра - это десятки, а самая правая цифра - это единицы. Множитель состоит только из одной цифры. Единичные цифры множимого и множителя образуют столбец: единицы-столбец.

Начните со столбца с единицами: столбец с единицами должен содержать пару цифр: единичную цифру множимого и под ней единичную цифру множителя. Найдите произведение этих двух цифр: напишите это произведение под чертой и в столбце единиц. Если в продукте две цифры, запишите только одну цифру продукта. Запишите «цифру переноса» как верхний индекс еще не записанной цифры в следующем столбце и под строкой: в этом случае следующий столбец - это столбец десятков, поэтому запишите цифру переноса как верхний индекс еще не записанных десятков. -цифра продукта (под линией).

Если и первое, и второе число имеют только одну цифру, то их произведение указывается в таблице умножения, что делает алгоритм умножения ненужным.

Затем идет столбец десятков. Столбец десятков пока содержит только одну цифру: цифру десятков множимого (хотя он может содержать цифру переноса под линией). Найдите произведение множителя и разряда десятков множимого. Затем, если есть цифра переноса (надстрочная, под линией и в столбце десятков), добавьте ее к этому продукту. Если полученная сумма меньше десяти, запишите ее в столбце с десятками под строкой. Если сумма состоит из двух цифр, запишите ее последнюю цифру в столбце десятков под строкой и перенесите первую цифру в следующий столбец: в данном случае столбец сотен.

Если в множимом нет сотен цифр, то если нет цифры переноса, то алгоритм умножения завершен. Если есть цифра переноса (перенесенная из столбца десятков), запишите ее в столбце сотен под строкой, и алгоритм будет завершен. Когда алгоритм завершится, число под линией будет произведением двух чисел.

Если множимое состоит из сотен цифр, найдите произведение множителя и сотен цифр множимого и добавьте к этому произведению цифру переноса, если она есть. Затем запишите итоговую сумму в столбце сотен под линией, также в столбце сотен. Если сумма состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру суммы в столбце сотен и запишите цифру переноса слева: в столбце тысяч.

Пример

Чтобы найти произведение чисел 3 и 729, запишите однозначный множитель под многозначным множимым, а множитель под однозначным множителем, как показано ниже:

7 2 9
3

Затем проведите линию под множителем и поставьте символ умножения. Умножение начинается со столбца единиц. Единичная цифра множимого - 9, а множитель - 3. Произведение 3 и 9 равно 27, поэтому напишите 7 в столбце с единицами под строкой и запишите цифру переноса 2 как верхний индекс еще - неписаные десятки продукта под линией:

7 2 9
× 3
2 7

Далее столбик десятков. Разряд десятков множимого - 2, множитель - 3, а трижды два - шесть. Добавьте цифру переноса 2 к произведению 6, чтобы получить 8. В восьмерке всего одна цифра: цифра переноса отсутствует, поэтому напишите в столбце десятков под линией. Теперь вы можете стереть два.

7 2 9
× 3
8 7

Далее колонна сотен. Сотни цифр множимого - 7, а множитель - 3. Произведение 3 и 7 равно 21, и предыдущей цифры переноса (перенесенной из столбца десятков) нет. У продукта 21 две цифры: запишите последнюю цифру в столбце сотен под строкой, затем перенесите первую цифру в столбец тысяч. Поскольку множимое не имеет разряда тысяч, запишите эту цифру переноса в столбец тысяч под линией (без надстрочного индекса):

7 2 9
× 3
2 1 8 7

Ни одна из цифр множимого не осталась не умноженной, поэтому алгоритм завершается, давая в результате следующее уравнение:

Алгоритм умножения многозначных множителей

Для пары факторов, каждый из которых состоит из двух или более цифр, запишите оба фактора, один под другим, чтобы цифры выстроились в столбцы.

Для простоты рассмотрим пару трехзначных чисел. Запишите последнюю цифру второго числа под последней цифрой первого числа, образуя столбец единиц. Сразу слева от столбца единиц будет столбец десятков: вверху этого столбца будет вторая цифра первого числа, а под ним будет вторая цифра второго числа. Сразу слева от столбца десятков будет столбец сотен: вверху этого столбца будет первая цифра первого числа, а под ним будет первая цифра второго числа. Записав оба фактора, проведите линию под вторым фактором.

Умножение будет состоять из двух частей. Первая часть будет состоять из нескольких умножений с использованием однозначных множителей. Работа каждого из таких умножений уже была описана в предыдущем алгоритме умножения, поэтому этот алгоритм не будет описывать каждое из них по отдельности, а будет описывать только то, как несколько умножений с однозначными множителями должны быть скоординированы. Вторая часть суммирует все промежуточные продукты первой части, и полученная сумма будет произведением.

Часть первая . Назовем первый множитель множимым. Назовем каждую цифру второго множителя множителем. Назовем единичную цифру второго множителя «множителем единиц». Назовем цифру десятков второго множителя «множителем десятков». Назовем сотню разряда второго множителя «множителем сотен».

Начнем с одинарного столбца. Найдите произведение множителя единиц и множимого и запишите его в строке под линией, выровняв цифры произведения в ранее определенных столбцах. Если в продукте четыре цифры, то первая цифра будет началом столбца тысяч. Назовем этот продукт «однорядным».

Потом десятки-столбец. Найдите произведение множителя десятков и множимого и запишите его в строку - назовите ее «строкой десятков» - под строкой единиц, но со сдвигом на один столбец влево . То есть, единица разряда десятков будет в столбце десятков строки единиц; цифра десятков в строке десятков будет ниже цифры сотен в строке единиц; цифра сотен разряда десятков будет меньше разряда тысяч в ряду единиц. Если в строке с десятками четыре цифры, то первая цифра будет началом столбца с десятками тысяч.

Далее колонна сотен. Найдите произведение множителя сотен и множимого и запишите его в ряд - назовите это «строкой сотен» - под строкой десятков, но со смещением еще на один столбец влево. То есть единичная цифра в строке сотен будет в столбце сотен; цифра десятков в строке сотен будет в столбце тысяч; цифра сотен в строке сотен будет в столбце десятков тысяч. Если строка сотен состоит из четырех цифр, то первая цифра будет началом столбца сотен тысяч.

После того, как вы опустили ряды единиц, ряд десятков и ряд сотен, проведите горизонтальную линию под рядом сотен. Умножения окончены.

Вторая часть . Теперь умножение состоит из пары линий. Первый - по паре факторов, а второй - по трем рядам субпродуктов. Под второй строкой будет шесть столбцов, которые будут следующими справа налево: столбец с единицами, столбец с десятками, столбец с сотнями, столбец с тысячами, столбец с десятками тысяч и столбец с сотнями тысяч.

Между первой и второй строками столбец из единиц будет содержать только одну цифру, расположенную в строке из единиц: это цифра из единиц строки из единиц. Скопируйте эту цифру, переписав ее в столбце единиц под второй строкой.

Между первой и второй строками столбец десятков будет содержать пару цифр, расположенных в строке единиц и строке десятков: цифра десятков в строке единиц и цифра единиц в строке десятков. Сложите эти цифры и, если в сумме всего одна цифра, запишите эту цифру в столбце десятков под второй строкой. Если сумма состоит из двух цифр, то первая цифра является переносимой: запишите последнюю цифру в столбце десятков под второй строкой и перенесите первую цифру в столбец сотен, записав ее как верхний индекс до - неписаные сотни цифр под второй строкой.

Между первой и второй строками столбец сотен будет содержать три цифры: цифру сотен в строке единиц, цифру десятков в строке десятков и цифру из единиц в строке сотен. Найдите сумму этих трех цифр, затем, если есть цифра переноса из столбца десятков (написанная надстрочным индексом под второй строкой в ​​столбце сотен), затем добавьте эту цифру переноса. Если полученная сумма состоит из одной цифры, запишите ее под второй строкой в ​​столбце сотен; если в нем две цифры, запишите последнюю цифру под строкой в ​​столбце с сотнями и перенесите первую цифру в столбец с тысячами, записав ее как надстрочный индекс к еще не записанной цифре тысяч под строкой.

Между первой и второй строками столбец тысяч будет содержать две или три цифры: цифру сотен в десятках, десятки в сотнях и (возможно) тысячи единиц. -ряд. Найдите сумму этих цифр, затем, если есть цифра переноса из столбца сотен (написана надстрочным индексом под второй строкой в ​​столбце тысяч), затем добавьте эту цифру переноса. Если полученная сумма состоит из одной цифры, запишите ее под второй строкой в ​​столбце тысяч; если он состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру под строкой в ​​столбце с тысячами и перенесите первую цифру в столбец с десятью тысячами, записав ее как надстрочный индекс к еще не записанным десяти тысячным цифрам под линия.

Между первой и второй строками столбец с десятками тысяч будет содержать одну или две цифры: цифру сотен столбца сотен и (возможно) цифру тысяч столбца десятков. Найдите сумму этих цифр (если отсутствует цифра в строке десятков, представьте ее как 0), и если есть цифра переноса из столбца тысяч (написанная надстрочным индексом под второй строкой в ​​десятичной строке). столбец тысяч), затем добавьте эту цифру переноса. Если полученная сумма состоит из одной цифры, запишите ее под второй строкой в ​​столбце десяти тысяч; если он состоит из двух цифр, запишите последнюю цифру под строкой в ​​столбце с десятью тысячами и перенесите первую цифру в столбец с сотнями тысяч, записав ее как надстрочный индекс к еще не записанной цифре в сто тысяч. под линией. Однако, если в сотне-строке нет тысячных цифр, тогда не записывайте эту переносимую цифру как надстрочный индекс, а записывайте ее в нормальном размере в позиции сотен тысяч цифр под второй строкой, и алгоритм умножения завершится. .

Если в строке сотен есть тысяча цифр, добавьте к ней цифру переноса из предыдущей строки (если цифры переноса нет, подумайте о ней как о 0) и запишите однозначную сумму в сотню. -тысячный столбец под второй строкой.

Число под второй строкой - это искомое произведение пары факторов над первой строкой.

Пример

Наша цель - найти произведение 789 и 345. Напишите 345 под 789 в трех столбцах и проведите под ними горизонтальную линию:

7 8 9
3 4 5

Часть первая . Начнем с одинарного столбца. Множаемое равно 789, а множитель единиц - 5. Произведите умножение подряд под линией:

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5

Потом десятки-столбец. Множаемое равно 789, а множитель десятков - 4. Произведите умножение в строке с десятками под предыдущим подпродуктом в строке с единицами, но со смещением на один столбец влево:

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6

Далее колонна сотен. Множаемое снова равно 789, а множитель сотен равно 3. Произведите умножение в строке сотен под предыдущим промежуточным произведением в строке десятков, но со смещением на один (более) столбец влево. Затем проведите горизонтальную линию под сотнями рядов:

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6
+ 2 3 2 6 2 7

Вторая часть. Теперь добавьте промежуточные продукты между первой и второй строками, игнорируя любые цифры переноса с надстрочным индексом, расположенные между первой и второй строками.

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6
+ 2 3 2 6 2 7      
2 7 1 2 2 2 1 0 5

Ответ

.

Разделение

В математике , особенно в элементарной арифметике , деление - это арифметическая операция, обратная умножению .

В частности, с учетом числа a и ненулевого числа b , если другое число c, умноженное на b, равно a , то есть:

тогда a, деленное на b, равно c . То есть:

Например,

поскольку

.

В приведенном выше выражении, называется дивиденды , б в делитель и с на фактор . Деление на ноль, когда делитель равен нулю, обычно не определяется в элементарной арифметике.

Обозначение деления

Чаще всего деление отображается путем размещения делимого над делителем с горизонтальной линией, также называемой винкулумом , между ними. Например, делится на Ь записывается в виде:

Это можно прочесть вслух как « a разделить на b » или « a над b ». Чтобы выразить деление в одной строке, нужно написать делимое , затем косую черту , а затем делитель , как показано ниже:

Это обычный способ указания деления в большинстве языков программирования, поскольку его можно легко ввести как простую последовательность символов.

Рукописный или типографский вариант, который находится на полпути между этими двумя формами, использует солидус (дробную косую черту), но увеличивает делимое и понижает делитель, как показано ниже:

а б

Любая из этих форм может использоваться для отображения дроби . Общая доля является выражением деления , где оба делимого и делителя являются целыми числами (хотя обычно называют числитель и знаменатель ), и нет Подразумевается , что потребности разделение будет оцениваться дальше.

Более простой способ показать деление - использовать обелус (или знак деления) следующим образом:

Эта форма встречается нечасто, за исключением основной арифметики. Обелус также используется отдельно для представления самой операции деления, например, как метка на клавише калькулятора .

В некоторых не- английский -speaking культур « деленная на Ь » написана на  : б . Однако в английском использовании двоеточие ограничивается выражением связанной концепции соотношений (тогда « a is to b »).

С знанием умножения таблиц , два целых число может быть разделено на бумаге , используя метод деления столбика . Сокращенная версия длинного деления, короткого деления , также может использоваться для меньших делителей.

Менее систематический метод - но который приводит к более целостному пониманию деления в целом - включает концепцию разбиения на части . Допуская вычитание большего количества кратных из частичного остатка на каждом этапе, можно разработать и другие методы произвольной формы.

В качестве альтернативы, если дивиденд имеет дробную часть (выраженную в виде десятичной дроби ), можно продолжить алгоритм, минуя место единиц, сколько угодно. Если делитель имеет десятичную дробную часть, можно повторить проблему, переместив десятичную дробь вправо в обоих числах, пока в делителе не будет дробной части.

Чтобы разделить на дробь, можно просто умножить на обратную (меняя положение верхней и нижней частей) этой дроби, например:

Образовательные стандарты

Местные стандарты обычно определяют методы обучения и содержание начального уровня обучения. В Соединенных Штатах и ​​Канаде спорные темы включают количество использования калькулятора по сравнению с ручными вычислениями и более широкие дебаты между традиционной математикой и математикой реформ .

В Соединенных Штатах стандарты NCTM 1989 года привели к появлению учебных программ, в которых не акцентировалось внимание на том, что считалось элементарной арифметикой в ​​начальной школе, или упускалось из нее, а вместо нее делался упор на темы, традиционно изучаемые в колледже, такие как алгебра, статистика и решение проблем. , а также нестандартные методы вычислений, незнакомые большинству взрослых.

Инструменты

Счеты является ранним механическим устройством для выполнения элементарной арифметики, которая до сих пор используется во многих частях Азии. Современные вычислительные инструменты, которые выполняют элементарные арифметические операции, включают кассовые аппараты , электронные калькуляторы и компьютеры .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки