Топологическое векторное пространство - Topological vector space

В математике , А топологическое векторное пространство (также называется линейным топологическим пространством и обычно сокращенно TVS или телевизоры ) является одним из основных структур , исследованных в функциональном анализе . Топологическое векторное пространство - это векторное пространство ( алгебраическая структура), которое также является топологическим пространством , это означает, что операции в векторном пространстве являются непрерывными функциями . В частности, его топологическое пространство имеет однородную топологическую структуру , что позволяет использовать понятие равномерной сходимости .

Элементами топологических векторных пространств обычно являются функции или линейные операторы, действующие в топологических векторных пространствах, и топология часто определяется так, чтобы уловить конкретное понятие сходимости последовательностей функций.

Банаховы пространства , гильбертовы пространства и пространства Соболева являются хорошо известными примерами.

Если не указано иное, предполагается, что основным полем топологического векторного пространства являются комплексные числа или действительные числа. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Мотивация

Нормированные пространства

Каждое нормированное векторное пространство имеет естественную топологическую структуру : норма индуцирует метрику, а метрика индуцирует топологию. Это топологическое векторное пространство, потому что:

Сложение векторов совместно непрерывно относительно этой топологии. Это непосредственно следует из неравенства треугольника, которому подчиняется норма. ${\ displaystyle \ cdot \, + \, \ cdot \ ;: X \ times X \ to X}$
Скалярное умножение, где - лежащее в основе скалярное поле, совместно непрерывно. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы. ${\ displaystyle \ cdot: \ mathbb {K} \ times X \ to X,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X,}$

Таким образом, все банаховы пространства и гильбертовы пространства являются примерами топологических векторных пространств.

Ненормированные пространства

Существуют топологические векторные пространства, топология которых не индуцируется нормой, но все еще представляет интерес для анализа. Примерами таких пространств являются пространства голоморфных функций на открытой области, пространства бесконечно дифференцируемых функций , пространства Шварца , пространства пробных функций и пространства распределений на них. Все это примеры пространств Монтель . Бесконечномерное пространство Монтеля никогда не нормируемо. Существование нормы для данного топологического векторного пространства характеризуется критерием нормируемости Колмогорова .

Топологическое поле является топологическим векторным пространством над каждым из своих подполей .

Определение

Семейство окрестностей начала координат с двумя указанными выше свойствами однозначно определяет топологическое векторное пространство. Система окрестностей любой другой точки векторного пространства получается трансляцией .

Топологическое векторное пространство ( TVS ) представляет собой векторное пространство над топологическим полем (чаще всего реальные или сложные номера с их стандартными топологий) , который наделенное топологией такой , что векторное сложение и умножение являются непрерывными функциями (где домены этих функции наделены топологиями продуктов ). Такая топология называется векторной топологией или топологией TVS на ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ cdot \, + \, \ cdot \ ;: X \ times X \ to X}$ ${\ Displaystyle \ cdot: \ mathbb {K} \ times X \ to X}$ ${\ displaystyle X.}$

Каждое топологическое векторное пространство также является коммутативной топологической группой относительно сложения.

Предположение Хаусдорфа

Некоторые авторы (например, Вальтер Рудин ) требуют, чтобы топология была T ₁ ; из этого следует, что это пространство хаусдорфово и даже тихоновское . Топологическое векторное пространство называется разделенным, если оно хаусдорфово; что важно, «отделенный» не означает отделимый . Топологические и линейные алгебраические структуры могут быть связаны друг с другом еще более тесно с помощью дополнительных предположений, наиболее общие из которых перечислены ниже . ${\ displaystyle X}$

Категория и морфизмы

Категории топологических векторных пространств над топологическим полем обычно обозначаются TVS или TVect . Эти объектами являются топологическими векторными пространствами над и морфизмами являются непрерывными -линейными картами от одного объекта к другому. ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ _{${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$}_{${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$} ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

А TVS гомоморфизм или топологическое гомоморфизм являетсянепрерывным линейным отображением топологических векторных пространств (TVSS) такихчто индуцированное отображениемявляетсяоткрытым отображениемкогдакоторый является диапазоном или изображениядаютсятопология подпространстваиндуцированноеY. ${\ displaystyle u: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle u: X \ to \ operatorname {Im} u}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Im} u: = u (X),}$ ${\ displaystyle u,}$

А TVS-вложение илитопологический мономорфизм - этоинъективныйтопологический гомоморфизм. Эквивалентно TVS-вложение - это линейное отображение, которое также являетсятопологическим вложением.

А Изоморфизм TVS илиизоморфизм в категории TVSявляется биективнымлинейным гомеоморфизмом. Эквивалентно, этосюръективноевложение TVS

Многие изучаемые свойства TVS, такие как локальная выпуклость , метризуемость , полнота и нормируемость , инвариантны относительно изоморфизмов TVS.

Необходимое условие векторной топологии

Набор подмножеств векторного пространства называется аддитивным, если для каждого существует такое, что ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ displaystyle N \ in {\ mathcal {N}},}$ ${\ displaystyle U \ in {\ mathcal {N}}}$ ${\ Displaystyle U + U \ substeq N.}$

Характеристика непрерывности сложения в ${\ displaystyle 0}$ - Если это группа (как и все векторные пространства), является топологией на и наделена топологией произведения , то карта сложения (определяемая ) непрерывна в начале координат тогда и только тогда, когда множество окрестностей начала координат аддитивно. Это утверждение остается верным, если слово «соседство» заменить словом «открытое соседство». ${\ displaystyle (X, +)}$ ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle X \ раз X}$ ${\ displaystyle X \ times X \ to X}$ ${\ Displaystyle (х, у) \ mapsto х + у}$ ${\ Displaystyle X \ раз X}$ ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$

Следовательно, все вышеперечисленные условия необходимы для формирования топологии векторной топологии.

Определение топологий с использованием окрестностей начала координат

Поскольку каждая векторная топология инвариантна относительно сдвига (что означает, что для всех отображений, определенных как гомеоморфизм ), для определения векторной топологии достаточно определить базис (или подбазис) окрестности в начале координат. ${\ displaystyle x_ {0} \ in X,}$ ${\ displaystyle X \ to X}$ ${\ Displaystyle х \ mapsto x_ {0} + x}$

Теорема (Район фильтр происхождения) - Предположим , что это вещественное или комплексное векторное пространство. Если это непустая добавка совокупности сбалансированных и поглощающих подмножеств , то представляет собой базу окрестностей в течение векторной топологии То есть предположения , что это базис фильтра , который удовлетворяет следующие условия: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$

Каждый будет сбалансирован и поглощающий , ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}$
${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ является аддитивным: для каждого существует такое, что ${\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}$ ${\ Displaystyle U \ in {\ mathcal {B}}}$ ${\ Displaystyle U + U \ substeq B,}$

Если удовлетворяет двум условиям выше , но это не фильтр базы , то она образует окрестность югу базис в (а не окрестности основе) для векторной топологии ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle X.}$

В общем, множество всех сбалансированных и поглощающих подмножеств векторного пространства не удовлетворяет условиям этой теоремы и не образует базис окрестностей в начале координат для любой векторной топологии.

Определение топологий с использованием строк

Пусть векторное пространство и пусть будет последовательность подмножеств каждого набора в последовательности называются узлом из и для каждого индекса называется ^й узлом из Множества называется началом из Последовательности является / является: ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U _ {\ bullet} = \ left (U_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle U _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle U _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle i,}$ ${\ displaystyle U_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle U _ {\ bullet}.}$ ${\ displaystyle U_ {1}}$ ${\ displaystyle U _ {\ bullet}.}$ ${\ displaystyle U _ {\ bullet}}$

Суммативно, если для каждого индекса ${\ Displaystyle U_ {я + 1} + U_ {я + 1} \ substeq U_ {я}}$ ${\ displaystyle i.}$
Сбалансированное (соотва. Поглощая , закрыто , выпуклый , открытый , симметричное , ствол , абсолютно выпуклого / disked и т.д.)если это верноотношении каждого ${\ displaystyle U_ {i}.}$
Строка if является суммативной, поглощающей и сбалансированной. ${\ displaystyle U _ {\ bullet}}$
Топологическая строка или строка окрестности в TVS, если это строка, и каждый из ее узлов является окрестностью начала координат в ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle X.}$

Если это поглощающий диск в векторном пространстве, то последовательность, определенная с помощью, образует строку, начинающуюся с This, называется естественной строкой. Более того, если векторное пространство имеет счетную размерность, то каждая строка содержит абсолютно выпуклую строку. ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U_ {i}: = 2 ^ {1-i} U}$ ${\ displaystyle U_ {1} = U.}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$

Суммативные последовательности множеств обладают тем особенно приятным свойством, что они определяют неотрицательные непрерывные вещественнозначные субаддитивные функции. Затем эти функции можно использовать для доказательства многих основных свойств топологических векторных пространств.

Теорема ( -значная функция, индуцированная строкой) ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ - Пусть будет набор подмножеств векторного пространства такой, что и для всех Для всех пусть ${\ displaystyle U _ {\ bullet} = \ left (U_ {i} \ right) _ {i = 0} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle 0 \ в U_ {i}}$ ${\ Displaystyle U_ {я + 1} + U_ {я + 1} \ substeq U_ {я}}$ ${\ displaystyle i \ geq 0.}$ ${\ displaystyle u \ in U_ {0},}$

{\ Displaystyle \ mathbb {S} (u): = \ left \ {n _ {\ bullet} = \ left (n_ {1}, \ ldots, n_ {k} \ right) ~: ~ k \ geq 1, n_ {i} \ geq 0 {\ text {для всех}} i, {\ text {и}} u \ in U_ {n_ {1}} + \ cdots + U_ {n_ {k}} \ right \}.}

Определить , если и иначе пусть ${\ displaystyle f: X \ до [0,1]}$ ${\ displaystyle f (x) = 1}$ ${\ displaystyle x \ not \ in U_ {0}}$

{\ displaystyle f (x): = \ inf _ {} \ left \ {2 ^ {- n_ {1}} + \ cdots 2 ^ {- n_ {k}} ~: ~ n _ {\ bullet} = \ left (n_ {1}, \ ldots, n_ {k} \ right) \ in \ mathbb {S} (x) \ right \}.}

Тогда субаддитивен (то есть для всех ) и на так , в частности , если все являются симметричными множества , то и если все сбалансированы , то для всех скаляров , таких , что и все Если есть топологическое векторное пространство , и если все являются окрестностями нуля , то непрерывно, где если вдобавок хаусдорфова и образует основу уравновешенных окрестностей начала координат, то является метрикой, определяющей векторную топологию на ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle е (х + у) \ Leq е (х) + е (у)}$ ${\ displaystyle x, y \ in X}$ ${\ displaystyle f = 0}$ ${\ Displaystyle \ bigcap _ {я \ geq 0} U_ {я},}$ ${\ displaystyle f (0) = 0.}$ ${\ displaystyle U_ {i}}$ ${\ Displaystyle f (-x) = f (x)}$ ${\ displaystyle U_ {i}}$ ${\ Displaystyle f (sx) \ leq f (x)}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle | s | \ leq 1}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U_ {i}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle д (х, у): = е (ху)}$ ${\ displaystyle X.}$

Доказательство указанной теоремы приведено в статье о метризуемых ТВП .

Если и - два набора подмножеств векторного пространства и если - скаляр, то по определению: ${\ Displaystyle U _ {\ bullet} = \ left (U_ {i} \ right) _ {я \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle V _ {\ bullet} = \ left (V_ {i} \ right) _ {я \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle s}$

${\ displaystyle V _ {\ bullet}}$ содержит : тогда и только тогда, когда для каждого индекса ${\ displaystyle U _ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle \ U _ {\ bullet} \ substeq V _ {\ bullet}}$ ${\ displaystyle U_ {i} \ substeq V_ {i}}$ ${\ displaystyle i.}$
Набор узлов : ${\ displaystyle \ \ operatorname {Knots} U _ {\ bullet}: = \ left \ {U_ {i}: i \ in \ mathbb {N} \ right \}.}$
Ядро : ${\ displaystyle \ \ ker U _ {\ bullet}: = \ bigcap _ {i \ in \ mathbb {N}} U_ {i}.}$
Скалярное множественное : ${\ displaystyle \ sU _ {\ bullet}: = \ left (sU_ {i} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}}.}$
Сумма : ${\ displaystyle \ U _ {\ bullet} + V _ {\ bullet}: = \ left (U_ {i} + V_ {i} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}}.}$
Пересечение : ${\ displaystyle \ U _ {\ bullet} \ cap V _ {\ bullet}: = \ left (U_ {i} \ cap V_ {i} \ right) _ {i \ in \ mathbb {N}} ..}$

Если является набором последовательностей подмножеств, то говорят, что они направлены ( вниз ) при включении или просто направлены, если не пусто и для всех существует такое, что и (иначе говоря, если и только если является предварительным фильтром по отношению к сдерживание, определенное выше). ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle U _ {\ bullet}, V _ {\ bullet} \ in \ mathbb {S},}$ ${\ displaystyle W _ {\ bullet} \ in \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle W _ {\ bullet} \ substeq U _ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle W _ {\ bullet} \ substeq V _ {\ bullet}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \, \ substeq \,}$

Обозначение : Позвольте быть набор всех узлов всех строк в ${\ displaystyle \ operatorname {Knots} \ mathbb {S}: = \ bigcup _ {U _ {\ bullet} \ in \ mathbb {S}} \ operatorname {Knots} U _ {\ bullet}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {S}.}$

Определение векторных топологий с использованием наборов строк особенно полезно для определения классов TVS, которые не обязательно являются локально выпуклыми.

Теорема (топология , индуцированная строк) - Если это топологическое векторное пространство , то существует множество соседских строк в который направлен вниз и таким образом, что множество всех узлов всех строк в это база окрестностей в нуле для такого набора строк считается фундаментальным . ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle (X, \ tau).}$ ${\ Displaystyle \ тау}$

И наоборот, если это векторное пространство и если это набор строк, в котором направлено вниз, то набор всех узлов всех строк в образует базис окрестности в начале координат для векторной топологии на В этом случае эта топология обозначается by и называется топологией, порожденной . ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Узлы} \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ Displaystyle \ тау _ {\ mathbb {S}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$

Если - множество всех топологических цепочек в TVS, то TVS Хаусдорфа метризуемо тогда и только тогда, когда ее топология может быть индуцирована одной топологической цепочкой. ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$ ${\ displaystyle \ tau _ {\ mathbb {S}} = \ tau.}$

Топологическая структура

Векторное пространство - это абелева группа по отношению к операции сложения, а в топологическом векторном пространстве обратная операция всегда непрерывна (так как это то же самое, что и умножение на -1). Следовательно, каждое топологическое векторное пространство является абелевой топологической группой . Каждый TVS полностью исправен, но TVS не обязательно должен быть нормальным .

Позвольте быть топологическим векторным пространством. Для данного подпространства фактор-пространство с обычной фактор-топологией является хаусдорфовым топологическим векторным пространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто. Это позволяет следующую конструкцию: заданное топологическое векторное пространство (которое, вероятно, не является хаусдорфовым), сформировать фактор-пространство, где является замыканием, тогда хаусдорфово топологическое векторное пространство, которое можно изучать вместо ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle M \ substeq X,}$ ${\ Displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ {0 \}.}$ ${\ Displaystyle X / M}$ ${\ displaystyle X.}$

Инвариантность векторных топологий

Одним из наиболее часто используемых свойств векторных топологий является то, что каждая векторная топология инвариантна к трансляции :

для всех отображение, определенное с помощью, является гомеоморфизмом , но если тогда оно не является линейным и, следовательно, не является TVS-изоморфизмом.

{\ displaystyle x_ {0} \ in X,}

{\ displaystyle X \ to X}

{\ Displaystyle х \ mapsto x_ {0} + x}

{\ displaystyle x_ {0} \ neq 0}

Скалярное умножение на ненулевой скаляр - это TVS-изоморфизм. Это означает, что если тогда линейное отображение, определенное с помощью, является гомеоморфизмом. Использование дает отображение отрицания, определяемое, следовательно, линейным гомеоморфизмом и, следовательно, TVS-изоморфизмом. ${\ displaystyle s \ neq 0}$ ${\ displaystyle X \ to X}$ ${\ Displaystyle х \ mapsto sx}$ ${\ displaystyle s = -1}$ ${\ displaystyle X \ to X}$ ${\ Displaystyle х \ mapsto -x,}$

Если и любое подмножество, то и, кроме того, если then является окрестностью (соответственно открытая окрестность, замкнутая окрестность) в, тогда и только тогда, когда то же самое верно для начала координат. ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ Displaystyle S \ substeq X,}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (x + S) = x + \ operatorname {cl} _ {X} S}$ ${\ displaystyle 0 \ in S}$ ${\ displaystyle x + S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S}$

Местные представления

Подмножество векторного пространства называется ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle X}$

поглощающий (in): если для каждогосуществует вещественное число,такое чтодля любого скаляра,удовлетворяющего ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ displaystyle r> 0}$ ${\ displaystyle cx \ in E}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle | c | \ leq r.}$
сбалансированный или обведенный : еслидля каждого скаляра ${\ displaystyle tE \ substeq E}$ ${\ Displaystyle | т | \ leq 1.}$
выпуклый : еслидля каждого реального ${\ displaystyle tE + (1-t) E \ substeq E}$ ${\ Displaystyle 0 \ Leq т \ Leq 1.}$
диск или абсолютно выпукло : если выпукло и сбалансировано. ${\ displaystyle E}$
симметричный : еслиили эквивалентно, если ${\ displaystyle -E \ substeq E,}$ ${\ displaystyle -E = E.}$

Каждая окрестность 0 является поглощающим множеством и содержит открытую сбалансированную окрестность, поэтому каждое топологическое векторное пространство имеет локальную базу поглощающих и сбалансированных множеств . Начало координат даже имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых уравновешенных окрестностей 0; если пространство локально выпукло, то оно также имеет базис окрестностей, состоящий из замкнутых выпуклых уравновешенных окрестностей нуля. ${\ displaystyle 0}$

Ограниченные подмножества

Подмножество топологического векторного пространства является ограниченным , если для любых окрестностей начала координат, то при достаточно велико. ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle E \ substeq tV}$ ${\ displaystyle t}$

Определение ограниченности можно немного ослабить; ограничен тогда и только тогда, когда каждое его счетное подмножество ограничено. Множество ограничено тогда и только тогда, когда каждая из его подпоследовательностей является ограниченным множеством. Кроме того, ограничено тогда и только тогда, когда для каждой уравновешенной окрестности 0 существует такое, что Более того, когда локально выпуклая ограниченность может быть охарактеризована полунормами : это подмножество ограничено тогда и только тогда, когда каждая непрерывная полунорма ограничена на ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle E \ substeq tV.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle E.}$

Всякое вполне ограниченное множество ограничено. Если - векторное подпространство ТВП, то подмножество ограничено в том и только в том случае, если оно ограничено в ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X.}$

Метризуемость

Теорема Биркгофа – Какутани - Еслиэто топологическое векторное пространство, то следующие три условия эквивалентны: ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$

Начало координат замкнуто в, и существует счетный базис окрестностей для 0 в ${\ displaystyle \ {0 \}}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X.}$
${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$ является метризуемый (как топологическое пространство).
Существует перевод-инвариантной метрики на который индуцирует на топологии , которая является данная топология ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ tau,}$ ${\ displaystyle X.}$
${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$ является метризуемым топологическим векторным пространством .

По теореме Биркгофа – Какутани следует, что существует эквивалентная метрика , инвариантная относительно сдвигов.

TVS псевдометризуема тогда и только тогда, когда у нее есть счетный базис окрестностей в начале координат, или эквивалентно тогда и только тогда, когда ее топология порождается F -полунормой . TVS метризуема тогда и только тогда, когда она хаусдорфова и псевдометризуема.

Более строго: топологическое векторное пространство называется нормируемым, если его топология может быть индуцирована нормой. Топологическое векторное пространство нормируемо тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово и имеет выпуклую ограниченную окрестность ${\ displaystyle 0.}$

Позвольте быть недискретным локально компактным топологическим полем, например действительными или комплексными числами. Хаусдорфа топологическое векторное пространство над локально компактно тогда и только тогда , когда оно конечномерно , то есть изоморфна для некоторого натурального числа ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {п}}$ ${\ displaystyle n.}$

Полнота и единообразие конструкции

Каноническое единообразие на TVS является единственным трансляционно инвариантной равномерностью , который индуцирует топологию на ${\ Displaystyle (Х, \ тау)}$ ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle X.}$

Предполагается, что каждая TVS наделена канонической однородностью, которая превращает все TVS в однородные пространства . Это позволяет узнать о связанных понятиях, таких как полнота , равномерная сходимость , сети Коши и равномерная непрерывность . и т. д., которые всегда предполагаются в отношении этого единообразия (если не указано иное). Отсюда следует, что всякое хаусдорфово топологическое векторное пространство тихоновское . Подпространство ТВП компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено (для ТВП Хаусдорфа вполне ограниченное множество эквивалентно его предкомпактности ). Но если TVS не хаусдорфова, то существуют незамкнутые компактные подмножества. Однако замыкание компактного подмножества нехаусдорфовой TVS снова компактно (поэтому компактные подмножества относительно компактны ).

Что касается этой однородности, нетто (или последовательность) является Коши , если и только если для любой окрестности из существует некоторый индекс таким образом, что всякий раз , когда и ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle 0,}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle x_ {m} -x_ {n} \ in V}$ ${\ displaystyle j \ geq i}$ ${\ Displaystyle к \ GEQ я.}$

Каждая последовательность Коши ограничена, хотя сети Коши и фильтры Коши не могут быть ограниченными. Топологическое векторное пространство, в котором сходится каждая последовательность Коши, называется последовательно полным ; в общем, он может быть неполным (в том смысле, что все фильтры Коши сходятся).

Операция сложения в векторном пространстве является равномерно непрерывной и открытой картой . Скалярное умножение непрерывно по Коши, но в целом оно почти никогда не бывает равномерно непрерывным. Из - за этого, каждое топологическое векторное пространство может быть завершено , и, таким образом, плотное линейное подпространство из полного топологического векторного пространства .

Каждая TVS имеет завершение, и каждая TVS Хаусдорфа имеет завершение Хаусдорфа. Каждая TVS (даже хаусдорфова и / или полная) имеет бесконечно много неизоморфных нехаусдорфовых пополнений.
Компактное подмножество TVS (не обязательно по Хаусдорфу) полно. Полное подмножество ТВС Хаусдорфа замкнуто.
Если это полное подмножество TVS, то любое закрытое подмножество является полным. ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$
Последовательность Коши в Хаусдорфовой ТВП не обязательно относительно компактна (то есть ее замыкание в не обязательно компактно). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$
Если фильтр Коши в TVS имеет точку накопления, он сходится к ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x.}$
Если ряд сходится в ТВС, то в ${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {\ infty} х_ {я}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ to 0}$ ${\ displaystyle X.}$

Примеры

Самая точная и грубая векторная топология

Позвольте быть реальным или комплексным векторным пространством. ${\ displaystyle X}$

Тривиальная топология

Тривиальная топология или антидискретная топология всегда топология TVS на любом векторном пространстве , и это грубейшие TVS топология возможно. Важным следствием этого является то, что пересечение любого набора топологий TVS всегда содержит топологию TVS. Любое векторное пространство (в том числе бесконечномерное) с тривиальной топологией является компактным (и, следовательно, локально компактным ) полным псевдометризуемым полунормируемым локально выпуклым топологическим векторным пространством. Оно хаусдорфово тогда и только тогда, когда ${\ displaystyle \ {X, \ varnothing \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} X = 0.}$

Лучшая векторная топология

Там существует топология TVS на том , что тоньше , чем любой другой TVS-топологии (то есть, любая TVS-топология обязательно является подмножеством ). Любое линейное отображение из в другую TVS обязательно непрерывно. Если имеет несчетный базис Гамеля, то не является локально выпуклым и не метризуемым . ${\ displaystyle \ tau _ {f}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ tau _ {f}}$ ${\ Displaystyle \ влево (Х, \ тау _ {е} \ вправо)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ tau _ {f}}$

Векторные пространства продукта

Декартово произведение семейства топологических векторных пространств, когда наделенное топологией произведения , является топологическим векторным пространством. Рассмотрим, например, множество всех функций, в которых есть обычная евклидова топология . Этот набор представляет собой реальное векторное пространство (где сложение и скалярное умножение, как обычно, определяются поточечно), которое можно отождествить с декартовым произведением, которое несет в себе топологию натурального произведения (и действительно, часто определяется как) . С этой топологией продукта становится топологическим векторным пространством, топология которого называется топологией поточечной сходимости на . Причина этого имени заключается в следующем: если - это последовательность (или, в более общем смысле, сеть ) элементов в, и если затем сходится к в, если и только если для каждого действительного числа сходится к в. Эта TVS является полной , хаусдорфовой и локально выпуклый, но не метризуемый и, следовательно, не нормируемый ; действительно, каждая окрестность начала координат в топологии продукта содержит прямые (то есть одномерные векторные подпространства, которые являются подмножествами формы с ). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}} ,,}$ ${\ Displaystyle X: = \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {R}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ влево (е_ {п} \ вправо) _ {п = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ in X}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} f: = \ {rf: r \ in \ mathbb {R} \}}$ ${\ displaystyle f \ neq 0}$

Конечномерные пространства

По теореме Ф. Рисса топологическое векторное пространство Хаусдорфа конечномерно тогда и только тогда, когда оно локально компактно , что происходит тогда и только тогда, когда оно имеет компактную окрестность начала координат.

Обозначим через или и снабдим его обычной хаусдорфовой нормированной евклидовой топологией . Позвольте быть векторным пространством над конечной размерностью и таким образом, это векторное пространство изоморфно (явно это означает, что существует линейный изоморфизм между векторными пространствами и ). Это конечномерное векторное пространство всегда имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа , что делает его TVS-изоморфным, где наделено обычной евклидовой топологией (которая совпадает с топологией произведения ). Эта векторная топология Хаусдорфа также является (уникальной) лучшей векторной топологией, если и только если Если, то хотя и не имеет уникальной векторной топологии, она имеет уникальную векторную топологию Хаусдорфа . ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle n: = \ operatorname {dim} X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {п}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {п}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {п}}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} X = 0.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} X \ neq 0}$ ${\ displaystyle X}$

Если then имеет ровно одну векторную топологию: тривиальную топологию , которая в этом случае (и только в этом случае) является хаусдорфовой. Тривиальная топология векторного пространства хаусдорфова тогда и только тогда, когда векторное пространство имеет размерность ${\ displaystyle \ operatorname {dim} X = 0}$ ${\ Displaystyle X = \ {0 \}}$ ${\ displaystyle 0.}$
If then имеет две векторные топологии: обычную евклидову топологию
и (не хаусдорфовую) тривиальную топологию. ${\ displaystyle \ operatorname {dim} X = 1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} X = 1}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$
- Поскольку само поле является одномерным топологическим векторным пространством и поскольку оно играет важную роль в определении топологических векторных пространств, эта дихотомия играет важную роль в определении
поглощающего множества и имеет последствия, которые отражаются во всем функциональном анализе . ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$

Схема доказательства

Доказательство этой дихотомии несложно, поэтому дается только набросок с важными наблюдениями. Как обычно, предполагается наличие (нормированной) евклидовой топологии. Позвольте быть 1-мерным векторным пространством над. Заметьте, что если это шар с центром в 0, и если это подмножество, содержащее «неограниченную последовательность», то где «неограниченная последовательность» означает последовательность вида, где и не ограничена в нормированном пространстве Любое векторная топология на будет инвариантной относительно сдвига и инвариантной относительно ненулевого скалярного умножения, и для каждого отображение, заданное посредством, является непрерывной линейной биекцией. В частности, для любого такого подмножества каждое подмножество может быть записано как для некоторого уникального подмножества И если эта векторная топология на имеет окрестность 0, которая должным образом содержится в, то непрерывность скалярного умножения в начале координат вынуждает существование открытой окрестности происхождения в том, что не содержит никакой «неограниченной последовательности». Отсюда следует, что if не несет тривиальной топологии, а if then для любого центра шара в 0 in содержит открытую окрестность начала координат в , таким образом, это является линейным гомеоморфизмом . ${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$ ${\ Displaystyle B \ substeq \ mathbb {K}}$ ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ Displaystyle B \ cdot S = X,}$ ${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle 0 \ neq x \ in X}$ ${\ displaystyle \ left (s_ {i} \ right) _ {i = 1} ^ {\ infty} \ substeq \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle 0 \ neq x \ in X,}$ ${\ displaystyle M_ {x}: \ mathbb {K} \ to X}$ ${\ displaystyle M_ {x} (s): = sx}$ ${\ displaystyle x,}$ ${\ Displaystyle X = \ mathbb {K} x}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle Fx = M_ {x} (F)}$ ${\ Displaystyle F \ substeq \ mathbb {K}.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} \ times X \ to X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle 0 \ neq x \ in X,}$ ${\ Displaystyle B \ substeq \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ displaystyle M_ {x} (B) = Bx}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle M_ {x}}$ ${\ displaystyle \ blacksquare}$

Если then имеет бесконечно много
различных векторных топологий: ${\ displaystyle \ operatorname {dim} X = n \ geq 2}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} X = n \ geq 2}$ ${\ displaystyle X}$ $Икс$
- Некоторые из этих топологий теперь описаны: каждый линейный функционал, на котором векторное пространство, изоморфное пространству, индуцирует
полунорму, определяемую формулой где Каждая полунорма индуцирует ( псевдометризуемую локально выпуклую ) векторную топологию на, а полунормы с различными ядрами индуцируют различные топологии, так что, в частности, полунормы на которых индуцированы линейными функционалами с различным ядром, будет индуцировать различные векторные топологии на ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {n} ,,}$ ${\ Displaystyle | е |: Х \ к \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle | е | (х) = | е (х) |}$ ${\ Displaystyle \ ker f = \ ker | f |.}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X.}$
Однако, несмотря на то, что существует бесконечно много векторных топологий на, когда есть, с точностью до TVS-изоморфизма только векторные топологии на. Например, если тогда векторные топологии на состоят из тривиальной топологии, евклидовой топологии Хаусдорфа, а затем бесконечно много остающихся нестандартных топологий. -тривиальные неевклидовы векторные топологии на TVS-изоморфны друг другу. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ operatorname {dim} X \ geq 2,}$ ${\ displaystyle 1+ \ operatorname {dim} X}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle n: = \ operatorname {dim} X = 2}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Невекторные топологии

Дискретные и конфинитные топологии

Если это нетривиальное векторное пространство (то есть ненулевой размерности), то дискретная топология на (которая всегда метризуема ) не является топологией TVS, потому что, несмотря на непрерывность сложения и отрицания (что превращает ее в топологическую группу под сложение), это не может сделать скалярное умножение непрерывным. Коконечна топология на (где подмножество открыто тогда и только тогда , когда его дополнение конечно) также не топология TVS на ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X.}$

Линейные карты

Линейный оператор между двумя топологическими векторными пространствами, непрерывный в одной точке, непрерывен во всей области. Более того, линейный оператор является непрерывным, если он ограничен (как определено ниже) для некоторой окрестности начала координат. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (X)}$ ${\ displaystyle X}$

Гиперплоскость на топологическом векторном пространстве либо плотная или закрытый. Линейный функционал на топологическом векторном пространстве имеет либо плотный или закрытое ядро. Кроме того, непрерывно тогда и только тогда , когда его ядро будет закрыто . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f}$

Типы

В зависимости от приложения обычно накладываются дополнительные ограничения на топологическую структуру пространства. Фактически, несколько основных результатов функционального анализа не верны в целом для топологических векторных пространств: теорема о замкнутом графике, теорема об открытом отображении и тот факт, что двойственное пространство пространства разделяет точки в пространстве.

Ниже приведены некоторые общие топологические векторные пространства, примерно в порядке возрастания «привлекательности».

F-пространства - это полные топологические векторные пространства с трансляционно-инвариантной метрикой. Сюда входят места для всех ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle p> 0.}$
Локально выпуклые топологические векторные пространства : здесь каждая точка имеет локальную базу, состоящую из выпуклых множеств . С помощью техники, известной как функционалы Минковского, можно показать, что пространство является локально выпуклым тогда и только тогда, когда его топология может быть определена семейством полунорм. Локальная выпуклость - это минимальное требование для «геометрических» аргументов, подобных теореме Хана – Банаха . В пространствах локально выпуклые (на самом деле, банаховы пространства) для всех , но не для ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle p \ geq 1,}$ ${\ displaystyle 0 <p <1.}$
Бочкообразные пространства : локально выпуклые пространства, в которых верна теорема Банаха – Штейнгауза .
Борнологическое пространство : локально выпуклое пространство, в котором непрерывные линейные операторы для любого локально выпуклого пространства являются в точности ограниченными линейными операторами .
Пространство стереотипов : локально выпуклое пространство, удовлетворяющее варианту условия рефлексивности , где двойственное пространство наделено топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах .
Монтелевские : бочечное пространство , где каждый замкнутый и ограниченный набор является компактным
Пространства Фреше : это полные локально выпуклые пространства, топология которых исходит из трансляционно-инвариантной метрики или, что эквивалентно: из счетного семейства полунорм. Многие интересные пространства функций попадают в этот класс - это пространство Фреше под полунормами . Локально выпуклое F-пространство - это пространство Фреше. ${\ Displaystyle С ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$ ${\ textstyle \ | е \ | _ {к, \ ell} = \ sup _ {x \ in [-k, k]} | f ^ {(\ ell)} (x) |}$
LF-пространства являются ограничения по Фреше . Пространства ILH являются обратными пределами гильбертовых пространств.
Ядерные пространства : это локально выпуклые пространства, обладающие тем свойством, что любое ограниченное отображение ядерного пространства в произвольное банахово пространство является ядерным оператором .
Нормированные пространства и полунормированные пространства : локально выпуклые пространства, в которых топология может быть описана одной нормой или полунормой . В нормированных пространствах линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Банаховы пространства : полные нормированные векторные пространства . Большая часть функционального анализа сформулирована для банаховых пространств. Этот класс включает в себя пространство с , пространством от функций ограниченной вариации и некоторых пространства мер. ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle BV}$
Рефлексивные банаховы пространства : банаховы пространства, естественно, изоморфные своему двойному двойному (см. Ниже), что гарантирует, что некоторые геометрические аргументы могут быть выполнены. Важным примером, который не является рефлексивным, является то , что дуальный есть, но строго содержится в двойственном к ${\ displaystyle L ^ {1}}$ ${\ Displaystyle L ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle L ^ {\ infty}.}$
Гильбертовы пространства : у них есть внутренний продукт ; хотя эти пространства могут быть бесконечномерными, большинство геометрических рассуждений, знакомых по конечным измерениям, можно проводить в них. Они включают в себя пробелы, пространства Соболева и пространства Харди . ${\ displaystyle L ^ {2}}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ ${\ displaystyle W ^ {2, k}}$
Евклидовы пространства : или с топологией, индуцированной стандартным внутренним произведением. Как указывалось в предыдущем разделе, для данного конечного существует только одномерное топологическое векторное пространство с точностью до изоморфизма. Отсюда следует, что любое конечномерное подпространство ТВП замкнуто. Характеризация конечномерности состоит в том, что Хаусдорфова TVS локально компактна тогда и только тогда, когда она конечномерна (следовательно, изоморфна некоторому евклидову пространству). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle n,}$ ${\ displaystyle n}$

Двойное пространство

Каждое топологическое векторное пространство имеет непрерывное двойственное пространство -The множество всех непрерывные линейных функционалов, то есть непрерывный линейные отображения из пространства в основном поле топологии А на двойственном может быть определенно как топология такими грубой , что двойное сопряжение каждое балльная оценка ведется непрерывно. Это превращает двойственное в локально выпуклое топологическое векторное пространство. Эта топология называется слабой * топологией . Возможно, это не единственная естественная топология двойственного пространства; например, двойственное к нормированному пространству имеет определенную естественную норму. Однако он очень важен для приложений из-за его свойств компактности (см. Теорему Банаха – Алаоглу ). Предостережение: если это ненормируемое локально выпуклое пространство, то карта спаривания никогда не будет непрерывной, независимо от того, какую топологию векторного пространства выбрать на ${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime} \ to \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X ^ {\ prime} \ times X \ to \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$

Характеристики

Для любого из ТВС с выпуклой (соотв. Сбалансировано , disked , замкнутое выпуклое, замкнутое сбалансирован, замкнутое disked ) оболочка из наименьшее подмножество , что обладает этим свойством и содержит ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S.}$

Замыкание (соответственно внутренность, выпуклая оболочка , сбалансированная оболочка, дисковая оболочка) множества иногда обозначается (соответственно ). ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Int} _ {X} S, \ operatorname {co} S, \ operatorname {bal} S, \ operatorname {cobal} S}$

Окрестности и открытые наборы

Свойства окрестностей и открытых множеств

Каждая TVS подключена и подключена локально, а любое подключенное открытое подмножество TVS связано линейно . Если и является открытым подмножеством, то является открытым множеством в, а если имеет непустую внутреннюю часть, то является окрестностью начала координат. ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle S + U}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ displaystyle SS}$

Открытые выпуклые подмножества TVS (не обязательно хаусдорфовы или локально выпуклые) - это в точности те, которые имеют вид ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle z + \ {x \ in X: p (x) <1 \} ~ = ~ \ {x \ in X: p (xz) <1 \}}

для некоторого и некоторого положительного непрерывного сублинейного функционала на

{\ displaystyle z \ in X}

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle X.}

Если это

поглощающие диск в ТВС и если это функционал Минковского из затем

{\ displaystyle K}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle p: = p_ {K}}

{\ displaystyle K}

{\ displaystyle \ operatorname {Int} _ {X} K ~ \ substeq ~ \ {x \ in X: p (x) <1 \} ~ \ substeq ~ K ~ \ substeq ~ \ {x \ in X: p ( x) \ leq 1 \} ~ \ substeq ~ \ operatorname {cl} _ {X} K}

где, что важно, не предполагалось, что он имеет какие-либо топологические свойства или что он был непрерывным (что происходит тогда и только тогда, когда является окрестностью 0).

{\ displaystyle K}

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle K}

Позвольте и быть двумя векторными топологиями на Then тогда и только тогда, когда всякий раз, когда сеть в сходится в then в ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle \ nu}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ Displaystyle \ тау \ субстек \ ню}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ Displaystyle (Х, \ ню)}$ ${\ displaystyle x _ {\ bullet} \ to 0}$ ${\ displaystyle (X, \ tau).}$

Позвольте быть базисом окрестности начала координат в let и пусть Then тогда и только тогда, когда существует сеть в (индексированная ) такая, что в This показывает, в частности, что часто бывает достаточно рассматривать сети, индексированные базисом соседства origin, а не сети на произвольно направленных множествах. ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle S \ substeq X,}$ ${\ displaystyle x \ in X.}$ ${\ displaystyle x \ in \ operatorname {cl} _ {X} S}$ ${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {N} \ right) _ {N \ in {\ mathcal {N}}}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$ ${\ displaystyle s _ {\ bullet} \ to x}$ ${\ displaystyle X.}$

Интерьер

Если и имеет непустую внутреннюю часть, то ${\ Displaystyle R, S \ substeq X}$ ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle \ operatorname {Int} _ {X} S ~ = ~ \ operatorname {Int} _ {X} \ left (\ operatorname {cl} _ {X} S \ right) ~ {\ text {and}} ~ \ operatorname {cl} _ {X} S ~ = ~ \ operatorname {cl} _ {X} \ left (\ operatorname {Int} _ {X} S \ right)}

а также

{\ displaystyle \ operatorname {Int} _ {X} (R) + \ operatorname {Int} _ {X} (S) ~ \ substeq ~ R + \ operatorname {Int} _ {X} S \ substeq \ operatorname {Int} _ {X} (R + S).}

Если это

диск в том , что имеет непустое интерьер , то происхождение принадлежит к внутренней части Однако замкнутое сбалансированными подмножество с непустой внутренностью может не содержать его происхождение в интерьере.

{\ displaystyle S}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle S.}

{\ displaystyle X}

Если является

сбалансированным подмножеством с непустой внутренней частью, то является сбалансированным; в частности, если внутренность сбалансированного множества содержит начало координат, то оно сбалансировано.

{\ displaystyle S}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ {0 \} \ cup \ operatorname {Int} _ {X} S}

{\ displaystyle \ operatorname {Int} _ {X} S}

Если выпукло, а затем ${\ displaystyle C}$ ${\ Displaystyle 0 <т \ Leq 1,}$ ${\ displaystyle t \ operatorname {Int} C + (1-t) \ operatorname {cl} C ~ \ substeq ~ \ operatorname {Int} C.}$

If принадлежит внутренней части выпуклого множества, а затем полуоткрытый отрезок прямой и If является

сбалансированной окрестностью in, а затем, рассматривая пересечения формы (которые являются выпуклыми симметричными окрестностями в реальной TVS ), следует, что: и кроме того, если тогда и если то

{\ displaystyle x}

{\ Displaystyle S \ substeq X}

{\ displaystyle y \ in \ operatorname {cl} _ {X} S,}

{\ displaystyle [x, y): = \ {tx + (1-t) y: 0 <t \ leq 1 \} \ substeq \ operatorname {Int} _ {X} {\ text {if}} x \ neq y }

{\ displaystyle [x, x) = \ varnothing {\ text {if}} x = y.}

{\ displaystyle N}

{\ displaystyle 0}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle B_ {1}: = \ {a \ in \ mathbb {K}: | a | <1 \},}

{\ Displaystyle N \ cap \ mathbb {R} x}

{\ displaystyle 0}

{\ Displaystyle \ mathbb {R} х}

{\ Displaystyle \ OperatorName {Int} N = [0,1) \ Operatorname {Int} N = (- 1,1) N = B_ {1} N,}

{\ displaystyle x \ in \ operatorname {Int} N {\ text {and}} r: = \ sup _ {} \ {r> 0: [0, r) x \ substeq N \}}

{\ displaystyle r> 1 {\ text {and}} [0, r) x \ substeq \ operatorname {Int} N,}

{\ Displaystyle г \ neq \ infty}

{\ displaystyle rx \ in \ operatorname {cl} N \ setminus \ operatorname {Int} N.}

Нехаусдорфовы пространства и замыкание начала координат

Топологическое векторное пространство отделимо тогда и только тогда , когда есть замкнутое подмножество или , что эквивалентно, тогда и только тогда Поскольку это векторное подпространство в то же самое можно сказать и о его закрытии , которая упоминается как

закрытие начала координат в этом векторном пространстве удовлетворяет

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ {0 \}}

{\ displaystyle X,}

{\ displaystyle \ {0 \} = \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}.}

{\ displaystyle \ {0 \}}

{\ displaystyle X,}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \},}

{\ displaystyle X.}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \} = \ bigcap _ {N \ in {\ mathcal {N}} (0)} N}

так что, в частности, каждая окрестность начала координат в содержит векторное пространство как подмножество. Топология подпространства на всегда тривиальной топологии , которая , в частности , следует , что в топологическом векторном пространстве компактного пространства (даже если ее размер не равен нулю , или даже бесконечной) и , следовательно , также ограниченное подмножество из В самом деле, векторное подпространство TVS ограничен тогда и только тогда, когда он содержится в замыкании. Каждое подмножество также несет тривиальную топологию и, таким образом, само является компактным и, следовательно, также полным подпространством (см. Сноску для доказательства). В частности, если не хаусдорфово, то существуют подмножества, которые и компактны, и полны, но не замкнуты в ; например, это будет верно для любого непустого собственного подмножества

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ displaystyle X.}

{\ displaystyle \ {0 \}.}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}.}

Если компактно, то и это множество компактно. Таким образом, замыкание компактного подмножества TVS компактно (иначе говоря, все компактные множества

относительно компактны ), что не гарантируется для произвольных нехаусдорфовых топологических пространств .

{\ Displaystyle S \ substeq X}

{\ Displaystyle \ OperatorName {cl} _ {X} S = S + \ OperatorName {cl} _ {X} \ {0 \}}

Для каждого подмножества ${\ Displaystyle S \ substeq X,}$

{\ displaystyle S + \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \} \ substeq \ operatorname {cl} _ {X} S}

и, следовательно, if открыто или закрыто в then (так что это произвольное открытое или замкнутое подмножество может быть описано как «трубка» , вертикальная сторона которой является векторным пространством ). Для любого подмножества этого TVS следующее эквивалентно:

{\ Displaystyle S \ substeq X}

{\ displaystyle X}

{\ Displaystyle S + \ OperatorName {cl} _ {X} \ {0 \} = S}

{\ displaystyle S}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ Displaystyle S \ substeq X}

{\ displaystyle X,}

${\ displaystyle S}$ является вполне ограниченным .
${\ Displaystyle S + \ OperatorName {cl} _ {X} \ {0 \}}$ вполне ограничено.
${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}$ вполне ограничено.
Изображение if при каноническом фактор-отображении полностью ограничено. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X \ to X / \ operatorname {cl} _ {X} (\ {0 \})}$

Если является векторным подпространством TVS, то является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда оно замкнуто в Более того,

фактор-отображение всегда является замкнутым отображением на (обязательно) Hausdorff TVS.

{\ displaystyle M}

{\ displaystyle X}

{\ Displaystyle X / M}

{\ displaystyle M}

{\ displaystyle X.}

{\ displaystyle q: X \ to X / \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

Каждое векторное подпространство , что является алгебраическим дополнением (то есть, векторным подпространство , удовлетворяющее условию и ) является

топологическим дополнением в Следовательно, если алгебраическое дополнение в том отображение прибавления определяется является TVS-изоморфизм, где обязательно Хаусдорфа и имеет недискретную топологию . Кроме того, если это Хаусдорфово завершением из затем является завершением

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ displaystyle H}

{\ displaystyle \ {0 \} = H \ cap \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ Displaystyle Х = Н + \ OperatorName {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}.}

{\ displaystyle H}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle H \ times \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \} \ to X,}

{\ Displaystyle (ч, п) \ mapsto ч + п}

{\ displaystyle H}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ displaystyle C}

{\ displaystyle H}

{\ displaystyle C \ times \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}

{\ displaystyle X \ cong H \ times \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}.}

Закрытые и компактные наборы

Компактные и вполне ограниченные множества

Подмножество TVS компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено . Таким образом, в полном топологическом векторном пространстве замкнутое и вполне ограниченное подмножество компактно. Подмножество из TVS является

вполне ограничено тогда и только тогда , когда вполне ограничено, тогда и только тогда , когда ее образ при канонической факторизации

{\ displaystyle S}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}

{\ displaystyle X \ to X / \ operatorname {cl} _ {X} (\ {0 \})}

вполне ограничено.

Каждый относительно компактный набор вполне ограничен, и замыкание вполне ограниченного множества вполне ограничено. Образ вполне ограниченного множества при равномерно непрерывном отображении (например, непрерывном линейном отображении) полностью ограничен. Если это подмножество TVS , в котором каждая последовательность имеет точку кластера, то это полностью ограничено. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$

Если - компактное подмножество TVS и является открытым подмножеством содержащего, то существует окрестность 0 такая, что ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle К + N \ substeq U.}$

Закрытие и закрытый комплект

Замыкание векторного подпространства TVS - это векторное подпространство. Каждое конечномерное векторное подпространство Хаусдорфовой ТВП замкнуто. Сумма замкнутого векторного подпространства и конечномерного векторного подпространства замкнута. Если является векторным подпространством и является замкнутой окрестностью начала координат в такой, что замкнута в, то замкнута в . Сумма компакта и замкнутого множества замкнута. Однако сумма двух замкнутых подмножеств может не быть замкнутой (см. Примеры в этой сноске). ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle U \ cap N}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle X.}$

Если и - скаляр, то ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle a \ operatorname {cl} _ {X} S \ substeq \ operatorname {cl} _ {X} (aS),}

где if - Хаусдорф, то равенство выполняется: в частности, каждое ненулевое скалярное кратное замкнутого множества замкнуто. Если и если - это набор скаляров, ни один из которых не содержит ноль, то

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle a \ neq 0, {\ text {или}} S = \ varnothing}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (aS) = a \ operatorname {cl} _ {X} S.}

{\ Displaystyle S \ substeq X}

{\ displaystyle A}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} S {\ text {nor}} \ operatorname {cl} A}

{\ displaystyle \ left (\ operatorname {cl} A \ right) \ left (\ operatorname {cl} _ {X} S \ right) = \ operatorname {cl} _ {X} (AS).}

Если тогда выпуклый. ${\ displaystyle S \ substeq X {\ text {and}} S + S \ substeq 2 \ operatorname {cl} _ {X} S}$ ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}$

Если тогда ${\ Displaystyle R, S \ substeq X}$

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (R) + \ operatorname {cl} _ {X} (S) ~ \ substeq ~ \ operatorname {cl} _ {X} (R + S) ~ {\ text {и}} ~ \ operatorname {cl} _ {X} \ left [\ operatorname {cl} _ {X} (R) + \ operatorname {cl} _ {X} (S) \ right] ~ = ~ \ operatorname {cl} _ {X} (R + S)}

и, следовательно, если закрыто, то так же и

{\ displaystyle R + S}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (R) + \ operatorname {cl} _ {X} (S).}

Если это настоящий ТВС, а затем ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle S \ substeq X,}$

{\ displaystyle \ bigcap _ {r> 1} rS \ substeq \ operatorname {cl} _ {X} S}

где левая часть не зависит от топологии, кроме того, если - выпуклая окрестность начала координат, то равенство выполняется.

{\ Displaystyle X;}

{\ displaystyle S}

Для любого подмножества ${\ Displaystyle S \ substeq X,}$

{\ Displaystyle \ OperatorName {cl} _ {X} S ~ = ~ \ bigcap _ {N \ in {\ mathcal {N}}} (S + N)}

где любой базис соседства в нуле для Однако,

{\ displaystyle {\ mathcal {N}}}

{\ displaystyle X.}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} U ~ \ supseteq ~ \ bigcap \ {U: S \ substeq U, U {\ text {открыт в}} X \}}

и это может быть правильным (например, если и - рациональные числа). Отсюда следует, что для любой окрестности начала координат в

{\ Displaystyle X = \ mathbb {R}}

{\ displaystyle S}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} U \ substeq U + U}

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle X.}

Закрытые корпуса

В локально выпуклом пространстве выпуклые оболочки ограниченных множеств ограничены. Это не относится к TVS в целом.

Замкнутая выпуклая оболочка множества равна замыканию выпуклой оболочки этого множества; то есть равно ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {co} S).}$
Закрытый уравновешенный корпус набора равен закрытию сбалансированного корпуса этого набора; то есть равно ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {bal} S).}$
Закрытый дисковый корпус набора равен закрытию дискового корпуса этого набора; то есть равно ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {cobal} S).}$

Если и замкнутая выпуклая оболочка одного из множеств или компактна, то ${\ Displaystyle R, S \ substeq X}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle R}$

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {co} (R + S)) ~ = ~ \ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {co} R) + \ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {co} S).}

Если каждый имеет замкнутую выпуклую оболочку, которая компактно (то есть, и компактны) , то

{\ Displaystyle R, S \ substeq X}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {co} R)}

{\ Displaystyle \ OperatorName {cl} _ {X} (\ Operatorname {co} S)}

{\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {co} (R \ cup S)) ~ = ~ \ operatorname {co} \ left [\ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {co } R) \ cup \ operatorname {cl} _ {X} (\ operatorname {co} S) \ right].}

Корпуса и компактность

В общем TVS замкнутая выпуклая оболочка компакта может не быть компактной. Уравновешенная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного ) множества обладает тем же свойством. Выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств снова компактна и выпукла.

Прочие свойства

Скудный, нигде не плотный, и Бэр

Диск в ТВС не является нигде не плотным тогда и только тогда , когда его замыкание есть окрестность начала координат. Векторное подпространство ТВП, которое закрыто, но не открыто, нигде не плотно .

Предположим, есть TVS, не несущая

недискретной топологии . Тогда является бэровским пространством тогда и только тогда, когда у него нет сбалансированного поглощающего нигде не плотного подмножества.

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

TVS является бэровским пространством тогда и только тогда, когда не является

ограниченным , что происходит тогда и только тогда, когда не существует нигде не плотного множества, такого что каждое немедельное локально выпуклое TVS является бочкообразным пространством .

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle D}

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N}} nD.}

Важные алгебраические факты и распространенные заблуждения

Если тогда ; если выпукло, то имеет место равенство. Для примера, где равенство

не выполняется, пусть будет отличным от нуля, и set также работает.

{\ Displaystyle S \ substeq X}

{\ Displaystyle 2S \ Substeq S + S}

{\ displaystyle S}

{\ displaystyle x}

{\ Displaystyle S = \ {- х, х \};}

{\ Displaystyle S = \ {х, 2х \}}

Подмножество выпукло тогда и только тогда, когда для всех положительных вещественных ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle (s + t) C = sC + tC}$ ${\ displaystyle s {\ text {и}} т.}$

Дисковая оболочка набора равна выпуклой оболочке сбалансированной оболочки, которая равна Однако в общем случае ${\ Displaystyle S \ substeq X}$ ${\ Displaystyle S;}$ ${\ displaystyle \ operatorname {co} (\ operatorname {bal} S).}$

{\ displaystyle \ operatorname {co} (\ operatorname {bal} S) ~ \ neq ~ \ operatorname {bal} (\ operatorname {co} S).}

Если и - скаляр, то ${\ Displaystyle R, S \ substeq X}$ ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle a (R + S) = aR + aS, ~ {\ text {and}} ~ \ operatorname {co} (R + S) = \ operatorname {co} R + \ operatorname {co} S, ~ {\ текст {и}} ~ \ operatorname {co} (aS) = a \ operatorname {co} S.}

Если - выпуклые непустые непересекающиеся множества и тогда

{\ Displaystyle R, S \ substeq X}

{\ displaystyle x \ not \ in R \ cup S,}

{\ displaystyle S \ cap \ operatorname {co} (R \ cup \ {x \}) = \ varnothing ~ {\ text {или}} ~ R \ cap \ operatorname {co} (S \ cup \ {x \} ) = \ varnothing.}

В любом нетривиальном векторном пространстве существуют два непересекающихся непустых выпуклых подмножества, объединение которых равно ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle X.}$

Прочие свойства

Каждая TVS топология может быть порождена семьей из F -seminorms.

Свойства, сохраняемые операторами множества

Уравновешенная оболочка компактного (соответственно вполне ограниченного , открытого) множества обладает тем же свойством.
Сумма (Минковского) двух компактных (соответственно ограниченных, сбалансированных, выпуклых) множеств обладает тем же свойством. Но сумму двух замкнутых множеств можно не замкнуть.
Выпуклая оболочка сбалансированного (соответственно открытого) множества сбалансирована (соответственно открыта). Однако выпуклая оболочка замкнутого множества не должна быть замкнутой. И выпуклая оболочка ограниченного множества не обязательно должна быть ограниченной.

В следующей таблице цвет каждой ячейки указывает, сохраняется ли данное свойство подмножеств (указывается именем столбца, например, «выпуклый») под оператором набора (указывается именем строки, например, «закрытие» ). Если в каждой TVS свойство сохраняется под указанным оператором множества, тогда эта ячейка будет окрашена в зеленый цвет; в противном случае он будет окрашен в красный цвет. ${\ displaystyle X}$

Так, например, поскольку объединение двух поглощающих наборов снова является поглощающим, ячейка в строке « » и столбце «Поглощение» окрашена в зеленый цвет. Но поскольку произвольное пересечение поглощающих множеств не обязательно должно быть поглощающим, ячейка в строке «Произвольные пересечения (не менее 1 набора)» и столбце «Поглощающие» окрашена в красный цвет. Если ячейка не окрашена, то эта информация еще не заполнена. ${\ Displaystyle R \ чашка S}$

Свойства, сохраняемые операторами множества
Операция	Собственность и любые другие подмножества этого считается ${\ displaystyle R,}$ ${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle X}$
Операция	Впитывающий	Сбалансированный	Выпуклый	Симметричный	Выпуклый сбалансированный	Векторное подпространство	Открытым	Окрестности 0	Закрыто	Закрытый сбалансированный	Закрытый выпуклый	Закрытый Выпуклый Сбалансированный	Бочка	Замкнутое векторное подпространство	Полностью ограниченный	Компактный	Компактный выпуклый	Относительно компактный	Полный	Последовательно завершено	Банаховый диск	Ограниченный	Рожденные	Инфрабоядные	Нигде не плотно (в ) ${\ displaystyle X}$	Скудный	Отделяемый	Псевдометризуемый	Операция
${\ Displaystyle R \ чашка S}$																													${\ Displaystyle R \ чашка S}$
${\ Displaystyle \ чашка}$ возрастающей не-цепи																													${\ Displaystyle \ чашка}$ возрастающей не-цепи
Произвольные союзы (не менее 1 комплекта)																													Произвольные союзы (не менее 1 комплекта)
${\ Displaystyle R \ cap S}$																													${\ Displaystyle R \ cap S}$
${\ displaystyle \ cap}$ уменьшения не- цепи ${\ displaystyle \ varnothing}$																													${\ displaystyle \ cap}$ уменьшения не- цепи ${\ displaystyle \ varnothing}$
Произвольные пересечения (не менее 1 набора)																													Произвольные пересечения (не менее 1 набора)
${\ displaystyle R + S}$																													${\ displaystyle R + S}$
Скалярное множественное																													Скалярное множественное
Ненулевое скалярное кратное																													Ненулевое скалярное кратное
Положительное скалярное кратное																													Положительное скалярное кратное
Закрытие																													Закрытие
Интерьер																													Интерьер
Сбалансированное ядро																													Сбалансированное ядро
Сбалансированный корпус																													Сбалансированный корпус
Выпуклая оболочка																													Выпуклая оболочка
Выпуклый сбалансированный корпус																													Выпуклый сбалансированный корпус
Закрытый сбалансированный корпус																													Закрытый сбалансированный корпус
Замкнутая выпуклая оболочка																													Замкнутая выпуклая оболочка
Закрытый выпуклый сбалансированный корпус																													Закрытый выпуклый сбалансированный корпус
Линейный пролет																													Линейный пролет
Прообраз под непрерывной линейной картой																													Прообраз под непрерывной линейной картой
Изображение под непрерывной линейной картой																													Изображение под непрерывной линейной картой
Изображение под непрерывной линейной сюръекцией																													Изображение под непрерывной линейной сюръекцией
Непустое подмножество ${\ displaystyle R}$																													Непустое подмножество ${\ displaystyle R}$
Операция	Впитывающий	Сбалансированный	Выпуклый	Симметричный	Выпуклый сбалансированный	Векторное подпространство	Открытым	Окрестности 0	Закрыто	Закрытый сбалансированный	Закрытый выпуклый	Закрытый Выпуклый Сбалансированный	Бочка	Замкнутое векторное подпространство	Полностью ограниченный	Компактный	Компактный выпуклый	Относительно компактный	Полный	Последовательно завершено	Банаховый диск	Ограниченный	Рожденные	Инфрабоядные	Нигде не плотно (в ) ${\ displaystyle X}$	Скудный	Отделяемый	Псевдометризуемый	Операция

Смотрите также

Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство
Гильбертово пространство - Обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечные измерения
Нормированное пространство
Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
Топологическая группа - группа, представляющая собой топологическое пространство с непрерывным групповым действием.
Векторное пространство - Базовая алгебраическая структура линейной алгебры

Примечания

Доказательства

Цитаты

Библиография

Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
Ярчоу, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .

дальнейшее чтение

Бирстедт, Клаус-Дитер (1988). Введение в локально выпуклые индуктивные пределы . Функциональный анализ и приложения . Сингапур-Нью-Джерси-Гонконг: Universitätsbibliothek. С. 35–133. Руководство по ремонту 0046004 . Проверено 20 сентября 2020 года .
Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Конвей, Джон Б. (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
Данфорд, Нельсон ; Шварц, Джейкоб Т. (1988). Линейные операторы . Чистая и прикладная математика . 1 . Нью-Йорк: Wiley-Interscience . ISBN 978-0-471-60848-6. OCLC 18412261 .
Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряд Аддисона-Уэсли по математике. 1 . Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 978-0201029857.
Кете, Готфрид (1979). Топологические векторные пространства. II . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 237 . Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972 .
Ланг, Серж (1972). Дифференциальные многообразия . Ридинг, Массачусетс - Лондон - Дон Миллс, Онтарио: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. ISBN 0-201-04166-9.
Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Вальдивия, Мануэль (1982). Начбин, Леопольдо (ред.). Темы в локально выпуклых пространствах . 67 . Амстердам Нью-Йорк, Нью-Йорк: научный паб Elsevier . Co. ISBN 978-0-08-087178-3. OCLC 316568534 .
Войт, Юрген (2020). Курс топологических векторных пространств . Компактные учебники по математике. Cham: Birkhäuser Basel . ISBN 978-3-030-32945-7. OCLC 1145563701 .

внешние ссылки

СМИ, связанные с топологическими векторными пространствами на Викискладе?

Languages

In other projects