Предел (математика) - Limit (mathematics)

В математике , А предел представляет собой значение , что функция (или последовательность ) подходов в качестве входного сигнала (или индекса) приближается к некоторому значению . Пределы необходимы для исчисления и математического анализа и используются для определения непрерывности , производных и интегралов .

Понятие предела последовательности далее обобщается до понятия предела топологической сети и тесно связано с пределом и прямым пределом в теории категорий .

В формулах предел функции обычно записывается как

или
Ltх  →  с f ( x ) = L ,

и читается как «предел F от х , как х приближается с равна L ». Тот факт, что функция f приближается к пределу L, когда x приближается к c , иногда обозначается стрелкой вправо (→ или ), как в

который читает « из стремится , как правило, ».

Предел функции

Всякий раз , когда точка х находится в пределах расстояния б о с , значение F ( х ) находится в пределах расстояния е из L .
Для всех х > S , значение F ( х ) находится в пределах расстояния е из L .

Предположим, что f - вещественная функция, а c - действительное число . Интуитивно говоря, выражение

означает, что можно сделать f ( x ) настолько близким к L, насколько это необходимо, сделав x достаточно близким к c . В этом случае приведенное выше уравнение можно прочитать как «предел f для x , когда x приближается к c , равен L ».

Огюстен-Луи Коши в 1821 году, а затем Карл Вейерштрасс формализовали определение предела функции, которое стало известно как (ε, δ) -определение предела . В определении используется ε (строчная греческая буква эпсилон ) для обозначения любого небольшого положительного числа, так что « f ( x ) становится сколь угодно близким к L » означает, что f ( x ) в конечном итоге лежит в интервале ( L - ε , L + ε ) , который также можно записать, используя знак абсолютного значения как | f ( x ) - L | < ε . Фраза «по мере приближения x к c » означает, что мы имеем в виду значения x , расстояние от которых до c меньше некоторого положительного числа δ ( дельта греческой буквы нижнего регистра ), то есть значения x в пределах любого ( c - δ , c ) или ( c , c + δ ) , которые можно выразить как 0 <| х - с | < δ . Первое неравенство означает, что расстояние между x и c больше 0 и что xc , а второе указывает, что x находится в пределах расстояния δ от c .

Выше определение предела верно , даже если F ( с ) ≠ л . В самом деле, функцию f даже не нужно определять в точке c .

Например, если

тогда f (1) не определено (см. неопределенные формы ), но, поскольку x перемещается произвольно близко к 1, f ( x ) соответственно приближается к 2:

f (0,9) f (0,99) f (0,999) f (1.0) f (1,001) f (1.01) f (1.1)
1.900 1,990 1,999 неопределенный 2,001 2,010 2,100

Таким образом, f ( x ) можно сделать сколь угодно близким к пределу 2 - просто сделав x достаточно близким к 1 .

Другими словами,

Это также можно вычислить алгебраически, как и для всех действительных чисел x 1 .

Теперь, поскольку x + 1 непрерывен по x в 1, теперь мы можем подставить 1 вместо x , что приведет к уравнению

Помимо пределов при конечных значениях, функции также могут иметь пределы на бесконечности. Например, рассмотрим функцию

куда:
  • f (100) = 1,9900
  • f (1000) = 1,9990
  • f (10000) = 1,9999

Когда x становится чрезвычайно большим, значение f ( x ) приближается к 2 , а значение f ( x ) можно сделать настолько близким к 2, насколько это возможно, сделав x достаточно большим. Таким образом, в этом случае предел f ( x ) при приближении x к бесконечности равен 2 , или в математической записи

Предел последовательности

Рассмотрим следующую последовательность: 1,79, 1,799, 1,7999,… Можно заметить, что числа «приближаются» к 1,8, пределу последовательности.

Формально, пусть 1 , 2 , ... является последовательностью из действительных чисел . Можно утверждать, что действительное число L является пределом этой последовательности, а именно:

который читается как

«Предел в п как п приближается к бесконечности равна L »

если и только если

Для любого действительного числа ε > 0 существует натуральное число N такое, что для всех n > N имеем | а н - L | < ε .

Интуитивно это означает, что в конечном итоге все элементы последовательности сколь угодно близки к пределу, поскольку абсолютное значение | а н - L | это расстояние между в п и L . Не у каждой последовательности есть предел; если это так, то это называется сходящимся , а если нет, то расходящимся . Можно показать, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Предел последовательности и предел функции тесно связаны. С одной стороны, предел при приближении n к бесконечности последовательности { a n } - это просто предел на бесконечности функции a ( n ), определенной на натуральных числах { n } . С другой стороны, если X является областью определения функции f ( x ) и если предел, когда n стремится к бесконечности для f ( x n ), равен L для любой произвольной последовательности точек { x n } в { X - { x 0 }} , которая сходится к х 0 , то предел функции F ( х ) как х приближается к х 0 является л . Одна такая последовательность будет { x 0 + 1 / n } .

Ограничение как «стандартная часть»

В нестандартном анализе (который включает в себя гиперреальное расширение системы счисления), предел последовательности может быть выражен в виде стандартной части стоимости природного расширения последовательности на бесконечный hypernatural индекса п = H . Таким образом,

Здесь стандартная функция «st» округляет каждое конечное гиперреалистическое число до ближайшего действительного числа (разница между ними бесконечно мала ). Это формализует естественную интуицию, что для «очень больших» значений индекса члены последовательности «очень близки» к предельному значению последовательности. И наоборот, стандартная часть гиперреального, представленная в конструкции сверхстепени последовательностью Коши , является просто пределом этой последовательности:

В этом смысле переход к пределу и переход к стандартной части эквивалентны процедурам.

Сходимость и фиксированная точка

Формальное определение сходимости можно сформулировать следующим образом. Предположим, что as идет от к - последовательность, которая сходится к , с для всех . Если положительные константы и существуют с

тогда as идет от к сходится к порядку с константой асимптотической ошибки .

Для функции с фиксированной точкой есть хороший контрольный список для проверки сходимости последовательности .

  1. Сначала проверьте, что p действительно является фиксированной точкой:
  2. Проверить линейную сходимость. Начните с поиска . Если…
то есть линейная сходимость
серия расходится
то есть хотя бы линейная сходимость а может что-то получше, выражение надо проверить на квадратичную сходимость
  1. Если обнаруживается, что есть что-то лучше линейного, выражение следует проверить на квадратичную сходимость. Начните с поиска If…
то есть квадратичная сходимость при условии, что непрерывно
тогда есть что-то даже лучше, чем квадратичная сходимость
не существует то есть сходимость лучше, чем линейная, но все же не квадратичная

Вычислимость предела

Пределы бывает сложно вычислить. Существуют предельные выражения, модуль сходимости которых неразрешим . В теории рекурсии , то предельная лемма доказывает , что можно закодировать неразрешимые проблемы с использованием ограничений.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

  • Апостол, Том М. (1974), Математический анализ (2-е изд.), Menlo Park: Addison-Wesley , LCCN  72011473

внешние ссылки

Послушайте эту статью ( 15 минут )
Разговорный значок Википедии
Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 6 июня 2021 года и не отражает последующих правок. ( 2021-06-06 )