F-пространство - F-space
В функциональном анализе , F-пространство является векторное пространство V над реальными или комплексными числами вместе с метрикой д : V × V → ℝ так , что
- Скалярное умножение в V является непрерывным по отношению к D и стандартной метрика на ℝ или ℂ.
- Сложение в V непрерывно по d .
- Метрика инвариантна к трансляции ; т.е., д ( х + , у + ) = д ( х , у ) для всех х , у и в V .
- Метрическое пространство ( V , д ) является полным .
Операция x ↦ || х || : = d (0, x ) называется F-нормой , хотя в общем случае F-норма не обязательно должна быть однородной. Благодаря трансляционной инвариантности метрика восстанавливается по F-норме. Таким образом, действительное или комплексное F-пространство эквивалентно действительному или комплексному векторному пространству, снабженному полной F-нормой.
Некоторые авторы используют термин пространство Фреше, а не F-пространство , но обычно термин «пространство Фреше» зарезервирован для локально выпуклых F-пространств. Некоторые другие авторы используют термин «F-пространство» как синоним «пространство Фреша», с помощью которого они означают локально выпуклое полное метризуемое топологическое векторное пространство . Метрика может быть или не обязательно быть частью структуры F-пространства; многие авторы только требуют , чтобы такое пространство было метризуемо таким образом , что удовлетворяет указанным выше свойствам.
Примеры
Все банаховы пространства и пространства Фреше являются F-пространствами. В частности, банахово пространство - это F-пространство с дополнительным требованием d ( αx , 0) = | α | ⋅ d ( x , 0) .
В L р пространство может быть сделано в F-пространства для все р ≥ 0 и для р ≥ 1 , они могут быть превращены в локально выпуклые и , таким образом Фреше и даже банаховы пространства.
Пример 1
является F-пространством. Он не допускает ни непрерывных полунорм, ни непрерывных линейных функционалов - он имеет тривиальное сопряженное пространство .
Пример 2
Позвольте быть пространство всех комплексных рядов Тейлора
на единичном диске так , что
то (при 0 <p <1 ) являются F-пространствами относительно p-нормы :
Фактически, это квазибанахова алгебра . Более того, для любого с отображением есть ограниченный линейный (мультипликативный функционал) на .
Достаточные условия
Теорема (Кли) - Пусть d быть любая метрика на векторном пространстве X такая , что топология τ индуцируется D на X делает ( X , τ) в топологическое векторное пространство. Если ( X , d ) - полное метрическое пространство, то ( X , 𝜏) - полная-TVS.
Связанные свойства
- Линейное почти непрерывное отображение в F-пространство с замкнутым графиком непрерывно.
- Линейное почти открытое отображение в F-пространство с замкнутым графиком обязательно является открытым отображением .
- Линейная непрерывная почти открытая карта из F-пространства обязательно является открытой картой .
- Линейное непрерывное почти открыто отображение из F-пространства, образ которого имеет вторую категорию в области значений обязательно является сюръективна открытой карта .
Смотрите также
- Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство
- Полное метрическое пространство - метрическая геометрия
- Полное топологическое векторное пространство - TVS, где точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда будут сходиться в точку.
- Пространство Фреше - локально выпуклое топологическое векторное пространство, которое также является полным метрическим пространством.
- Гильбертово пространство - Обобщение евклидова пространства, допускающее бесконечные измерения
- K-пространство (функциональный анализ)
- Метризуемое топологическое векторное пространство - топологическое векторное пространство, топология которого может быть определена с помощью метрики.
- Бочковое пространство
- Счетное квази-ствольное пространство
- DF-пространство
- LB-пространство
- LF-пространство
- Ядерное пространство
- Проективное тензорное произведение
использованная литература
- Хусейн, Такдир (1978). Бочкообразность в топологических и упорядоченных векторных пространствах . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09096-7. OCLC 4493665 .
- Халилулла, С.М. (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . 936 . Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 .
- Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN 0-07-054234-1
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .