Гомеоморфизм - Homeomorphism

Непрерывная деформация между кофейной кружкой и пончиком ( тором ), иллюстрирующая их гомеоморфность. Но для гомеоморфности двух пространств не обязательно должна быть непрерывная деформация - только непрерывное отображение с непрерывной обратной функцией.

В математической области топологии , в гомеоморфизм , топологического изоморфизма или биконтинуальной функция является непрерывной функцией от топологических пространств , которая имеет непрерывную обратную функцию . Гомеоморфизмы - это изоморфизмы в категории топологических пространств, т. Е. Отображения , сохраняющие все топологические свойства данного пространства. Два пространства с гомеоморфизмом между ними называются гомеоморфными , и с топологической точки зрения они совпадают. Слово гомеоморфизм происходит от греческих слов ὅμοιος ( homoios ) = подобный или одинаковый и μορφή ( morphē ) = форма, форма, введенных в математику Анри Пуанкаре в 1895 году.

Грубо говоря, топологическое пространство - это геометрический объект, а гомеоморфизм - это непрерывное растяжение и изгибание объекта в новую форму. Таким образом, квадрат и круг гомеоморфны друг другу, а сфера и тор - нет. Однако это описание может ввести в заблуждение. Некоторые непрерывные деформации не являются гомеоморфизмами, например, деформация прямой в точку. Некоторые гомеоморфизмы не являются непрерывными деформациями, например гомеоморфизм между узлом-трилистником и окружностью.

Часто повторяемая математическая шутка заключается в том, что топологи не могут отличить чашку кофе от пончика, поскольку достаточно гибкий пончик можно преобразовать в форму кофейной чашки, создав ямочку и постепенно увеличивая ее, сохраняя при этом отверстие от пончика. в ручке чашки.

Определение

Функция между двумя топологическими пространствами является гомеоморфизмом , если он обладает следующими свойствами:

Гомеоморфизм иногда называют бинепрерывной функцией. Если такая функция существует, и являются гомеоморфно . Себя гомеоморфизм гомеоморфизм топологического пространства на себя. «Быть ​​гомеоморфным» - это отношение эквивалентности на топологических пространствах. Его классы эквивалентности называются классами гомеоморфизма .

Примеры

Узел- трилистник гомеоморфен полноторию, но не изотопен в R 3 . Непрерывные отображения не всегда могут быть реализованы как деформации.
  • Открытый интервал гомеоморфен действительным числам для любого . (В этом случае бинепрерывное прямое отображение задается с помощью, в то время как другие такие отображения задаются масштабированными и транслированными версиями функций tan или arg tanh ).
  • Блок 2- диск и единичный квадрат в R - гомеоморфны; поскольку единичный диск можно деформировать в единичный квадрат. Пример отображения биконтинуального от площади до диска, в полярных координатах , .
  • Графа из дифференцируемой функции гомеоморфно области функции.
  • Дифференцируемая параметризация из кривого гомеоморфизм между областью параметризации и кривым.
  • Диаграмма из многообразия гомеоморфизм между открытым подмножеством многообразия и открытое подмножество в евклидовом пространстве .
  • Стереографическая проекция является гомеоморфизмом между единичной сферой в R 3 с одной удаленной точкой и множеством всех точек в R 2 (2-мерные плоскости ).
  • Если - топологическая группа , то ее отображение инверсии является гомеоморфизмом. Кроме того, для любого левый сдвиг , правый сдвиг и внутренний автоморфизм являются гомеоморфизмами.

Не примеры

  • R м и R п не гомеоморфны для мп .
  • Евклидово реальная линия не гомеоморфно единичной окружности , как подпространство R 2 , так как единичный круг является компактным как подпространство евклидова R 2 , но реальная линия не является компактным.
  • Одномерные интервалы и не являются гомеоморфными, потому что не может быть выполнено непрерывное взаимно однозначное соответствие.

Примечания

Третье требование, чтобы оно было непрерывным, является существенным. Рассмотрим, например, функцию ( единичный круг в ), определяемую . Эта функция биективна и непрерывна, но не гомеоморфизм ( это компактный , но это не так ). Функция не является непрерывной в точке , потому что , хотя карты в любых окрестностях этой точки также включает в себя точку , что функция отображает близко к , но заостряет карты с числами между лежите вне окрестностей.

Гомеоморфизмы - это изоморфизмы в категории топологических пространств . Таким образом , композиция из двух гомеоморфизмов снова гомеоморфизм, а множество всех автогомеоморфизмов образует группу , которая называется гомеоморфизм группа из X , часто обозначается . Этой группе может быть задана топология, такая как компактно-открытая топология , которая при определенных предположениях делает ее топологической группой .

Для некоторых целей группа гомеоморфизмов оказывается слишком большой, но с помощью отношения изотопии можно свести эту группу к группе классов отображений .

Точно так же, как обычно в теории категорий, для двух гомеоморфных пространств пространство гомеоморфизмов между ними является торсором для групп гомеоморфизмов и , при заданном конкретном гомеоморфизме между и , все три множества отождествляются.

Характеристики

Неформальное обсуждение

Интуитивный критерий растяжения, изгиба, разрезания и склеивания требует определенной практики для правильного применения - например, из вышеприведенного описания может быть неочевидно, что деформирование линейного сегмента до точки недопустимо, например. Таким образом, важно понимать, что имеет значение формальное определение, данное выше. В этом случае, например, отрезок прямой имеет бесконечно много точек и поэтому не может быть помещен в биекцию с множеством, содержащим только конечное число точек, включая единственную точку.

Такая характеристика гомеоморфизма часто приводит к путанице с понятием гомотопии , которое фактически определяется как непрерывная деформация, но от одной функции к другой, а не от одного пространства к другому. В случае гомеоморфизма представление о непрерывной деформации - это мысленный инструмент для отслеживания того, какие точки в пространстве X соответствуют каким точкам на Y - одна просто следует за ними, когда X деформируется. В случае гомотопии непрерывная деформация от одной карты к другой имеет существенное значение, а также является менее ограничивающим, поскольку ни одна из задействованных карт не должна быть взаимно однозначной или взаимно однозначной. Гомотопия действительно приводит к соотношению на пространствах: гомотопической эквивалентности .

Есть название для вида деформации, участвующей в визуализации гомеоморфизма. Это (кроме случаев , когда требуется резка и regluing) в изотопии между тождественным отображением на X и гомеоморфизм из X в Y .

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки