Откуда пришла математика -Where Mathematics Comes From

Откуда пришла математика
Откуда пришла математика.jpg
Автор Джордж Лакофф
Рафаэль Э. Нуньес
Тема Численное познание
Опубликовано 2000 г.
Страницы 492
ISBN 978-0-465-03771-1
OCLC 44045671

«Откуда возникла математика: как воплощенный разум воплощает математику в жизнь» (далее WMCF ) - это книга Джорджа Лакоффа , когнитивного лингвиста , и Рафаэля Э. Нуньеса , психолога . Опубликованный в 2000 году, WMCF стремится основать когнитивную науку о математике , теорию воплощенной математики, основанную на концептуальной метафоре .

Определение математики WMCF

Математика составляет ту часть концептуальной системы человека, которая имеет следующие особенности:

"Он точный, последовательный, стабильный во времени и человеческих сообществах, символизируемый, вычисляемый, обобщаемый, универсально доступный, согласованный в рамках каждого из его предметов и эффективный как общий инструмент для описания, объяснения и предсказания в огромном количестве повседневных деятельность, [начиная от] спорта, до строительства, бизнеса, технологий и науки ". ( WMCF , стр. 50, 377).

Николай Лобачевский сказал: «Не существует раздела математики, даже абстрактного, который когда-нибудь нельзя было бы применить к явлениям реального мира». Казалось бы, общий тип процесса концептуального смешения применим ко всей математической обработке.

Человеческое познание и математика

Сложная плоскость: визуальная метафора абстрактной идеи комплексного числа , которая позволяет визуализировать операции над комплексными числами как простые движения в обычном пространстве.

Общепризнанная цель Лакоффа и Нуньеса - заложить основы для истинно научного понимания математики, основанного на процессах, общих для всего человеческого познания. Они обнаружили, что четыре различных, но связанных процесса образно структурируют базовую арифметику: сбор объектов, построение объектов, использование измерительной линейки и перемещение по траектории.

WMCF основывается на более ранних книгах Лакоффа (1987) и Лакоффа и Джонсона (1980, 1999), в которых анализируются такие концепции метафор и схем изображений из когнитивной науки второго поколения . Некоторые концепции, изложенные в этих более ранних книгах, такие как интересные технические идеи Лакоффа (1987), отсутствуют в WMCF .

Лакофф и Нуньес считают, что математика является результатом когнитивного аппарата человека и поэтому должна пониматься в когнитивных терминах. WMCF защищает (и включает некоторые примеры) когнитивный анализ идей математики, который анализирует математические идеи с точки зрения человеческого опыта, метафор, обобщений и других когнитивных механизмов, их порождающих. Стандартное математическое образование не развивает такие методы анализа идей, потому что оно не преследует соображений A) какие структуры ума позволяют ему заниматься математикой или B) философии математики .

Лакофф и Нуньес начинают с обзора психологической литературы и приходят к выводу, что люди, по-видимому, обладают врожденной способностью, называемой субитизацией , считать, складывать и вычитать примерно до 4 или 5. Они документируют этот вывод, просматривая литературу, опубликованную в последнее время. десятилетий, описывая эксперименты с младенцами. Например, младенцы быстро возбуждаются или проявляют любопытство, когда сталкиваются с «невозможными» ситуациями, например, когда появляются три игрушки, тогда как изначально присутствовали только две.

Авторы утверждают, что математика выходит далеко за пределы этого самого элементарного уровня из-за большого количества метафорических конструкций. Например, пифагорейская позиция, согласно которой все есть число, и связанный с ней кризис уверенности , возникший с открытием иррациональности квадратного корня из двух , возникают исключительно из метафорического соотношения между длиной диагонали квадрата и возможное количество объектов.

Большая часть WMCF посвящена важным концепциям бесконечности и предельных процессов, пытаясь объяснить, как конечные люди, живущие в конечном мире, могут в конечном итоге представить себе актуальную бесконечность . Таким образом, большая часть WMCF , по сути, является исследованием эпистемологических основ исчисления . Лакофф и Нуньес приходят к выводу, что, хотя потенциальная бесконечность не является метафорической, действительная бесконечность есть. Более того, они считают все проявления актуальной бесконечности примерами того, что они называют «базовой метафорой бесконечности», представленной постоянно увеличивающейся последовательностью 1, 2, 3, ...

WMCF решительно отвергает платонистическую философию математики . Они подчеркивают, что все, что мы знаем и когда-либо можем знать, - это человеческая математика , математика, проистекающая из человеческого интеллекта. Вопрос о том, существует ли «трансцендентная» математика, независимая от человеческого мышления, - это бессмысленный вопрос, как и вопрос о том, превосходят ли цвета человеческое мышление - цвета - это всего лишь световые волны различной длины, это наша интерпретация физических стимулов, которые делают их цветами.

WMCF (стр. 81) также критикует акцент, который математики придают концепции замыкания . Лакофф и Нуньес утверждают, что ожидание завершения - это артефакт способности человеческого разума связывать принципиально разные концепции с помощью метафор.

WMCF занимается в основном предложением и установлением альтернативного взгляда на математику, основанного на реалиях человеческой биологии и опыта. Это не работа по технической математике или философии. Лакофф и Нуньес не первые, кто утверждает, что традиционные подходы к философии математики ошибочны. Например, они, кажется, не очень знакомы с содержанием Дэвиса и Херша (1981), хотя в книге выражается искренняя признательность Хершу за его поддержку.

Лакофф и Нуньес цитируют Сондерса Мак Лейна (вместе с Сэмюэлем Эйленбергом , изобретателем теории категорий ) в поддержку своей позиции. Математика, форма и функция (1986), обзор математики, предназначенный для философов, предполагает, что математические концепции в конечном итоге основаны на обычной человеческой деятельности, в основном во взаимодействиях с физическим миром.

Педагоги проявили некоторый интерес к тому, что предлагает WMCF о том, как изучается математика, и почему учащиеся находят одни элементарные понятия более трудными, чем другие.

Однако даже с образовательной точки зрения WMCF все еще проблематичен. С точки зрения теории концептуальных метафор, метафоры находятся в другой сфере, абстрактной, по сравнению с «реальным миром», конкретным. Другими словами, несмотря на то, что они утверждают, что математика - это человек, устоявшиеся математические знания - которые мы изучаем в школе - считаются абстрактными, полностью оторванными от их физического происхождения. Он не может объяснить, каким образом учащиеся могут получить доступ к таким знаниям.

WMCF также критикуют за его монистический подход. Во-первых, он игнорирует тот факт, что сенсомоторный опыт, на котором, как предполагается, основана наша языковая структура, а значит, и математика, может варьироваться в зависимости от культур и ситуаций. Во-вторых, математика, которой занимается WMCF, - это «почти полностью ... стандартные высказывания в учебниках и учебных программах», что является наиболее хорошо установленной совокупностью знаний. Он игнорирует динамичный и разнообразный характер истории математики.

Логоцентричный подход WMCF - еще одна мишень для критиков. Хотя его в основном интересует связь между языком и математикой, он не учитывает, как неязыковые факторы способствуют появлению математических идей (например, см. Radford, 2009; Rotman, 2008).

Примеры математических метафор

Концептуальные метафоры, описанные в WMCF , помимо базовой метафоры бесконечности, включают:

Математическое рассуждение требует переменных в пределах некоторой вселенной дискурса , чтобы мы могли рассуждать об общих, а не просто о частностях. WMCF утверждает, что рассуждения с такими переменными неявно полагаются на то, что она называет фундаментальной метонимией алгебры.

Пример метафорической двусмысленности

WMCF (стр. 151) включает следующий пример того, что авторы называют «метафорической двусмысленностью». Возьмите набор. Затем вспомните две части стандартной терминологии из элементарной теории множеств :

  1. Рекурсивное построение порядковых натуральных чисел , причем 0 , и является
  2. Упорядоченная пара ( а, б ), определяется как

По (1) A - это множество {1,2}. Но (1) и (2) вместе говорят, что A также является упорядоченной парой (0,1). Оба утверждения не могут быть правильными; упорядоченная пара (0,1) и неупорядоченная пара {1,2}, полностью различные понятия. Лакофф и Джонсон (1999) называют эту ситуацию «метафорически неоднозначной». Этот простой пример ставит под сомнение любые платонические основы математики.

Хотя приведенные выше (1) и (2), по общему признанию, каноничны, особенно в рамках консенсусной теории множеств, известной как аксиоматизация Цермело – Френкеля , WMCF не допускает, что они являются лишь одним из нескольких определений, которые были предложены с момента зарождения теории множеств. . Например, Фрег , Principia Mathematica , и новые основы (тела аксиоматической теории множеств , начатый Куайн в 1937 году) определяют кардинал и порядковые , как классы эквивалентности под отношением с equinumerosity и подобия , так что эта загадка не возникает. В куинианской теории множеств A - это просто пример числа 2. По техническим причинам определение упорядоченной пары, как в (2) выше, неудобно в куинианской теории множеств. Было предложено два решения:

  • Вариант теоретико-множественного определения упорядоченной пары более сложный, чем обычное;
  • Принятие упорядоченных пар как примитивных.

Романтика математики

«Romance математики» является WMCF ' s беззаботной термин для многолетнего философской точки зрения о математике , которые авторы описывают , а затем увольняют как интеллектуальный миф:

  • Математика трансцендентна, то есть она существует независимо от людей и структурирует нашу реальную физическую вселенную и любую возможную вселенную. Математика - это язык природы и основная концептуальная структура, которая у нас будет общего с инопланетными пришельцами, если таковые существуют.
  • Математическое доказательство - это врата в царство непостижимой истины.
  • Рассуждения - это логика , а логика по своей сути математическая. Следовательно, математика структурирует все возможные рассуждения.
  • Поскольку математика существует независимо от людей, а рассуждения по своей сути математичны, сам разум бестелесен. Следовательно, искусственный интеллект возможен, по крайней мере, в принципе.

Вопрос о том, станет ли WMCF в конечном итоге началом новой школы в философии математики, остается открытым . Следовательно, главная ценность WMCF до сих пор может быть критической: это критика платонизма и романтизма в математике.

Критический ответ

Многие работающие математики сопротивляются подходу и выводам Лакоффа и Нуньеса. Отзывы по математиками WMCF в профессиональных журналах, в то время как часто уважает свое внимание на концептуальных стратегий и метафор , как пути для понимания математики, приняли исключение некоторых из WMCF ' философских аргументов s на том основании , что математические утверждения прочного „объективные“ значения . Например, Великая теорема Ферма означает именно то, что она означала, когда Ферма первоначально предложил ее в 1664 году. Другие рецензенты отмечали, что несколько концептуальных стратегий могут использоваться в связи с одним и тем же математически определенным термином, часто одним и тем же человеком (точка, которая совместима с той точки зрения, что мы обычно понимаем «одно и то же» с разными метафорами). Метафора и концептуальная стратегия не то же самое как формальное определение , которое математик трудоустроить. Однако WMCF указывает, что формальные определения строятся с использованием слов и символов, которые имеют значение только с точки зрения человеческого опыта.

Критика WMCF включает юмористические:

«Мне трудно представить себе метафору для реального числа, возведенного в комплексную степень, но если она есть, я бы обязательно ее увидел». - Джозеф Ауслендер

и физически информированные:

«Но их анализ оставляет по крайней мере пару вопросов, на которые нет ответов. Во-первых, авторы игнорируют тот факт, что мозг не только наблюдает за природой, но и является ее частью. в первую очередь приложил руку к формированию мозга (посредством действия законов природы, ограничивающих эволюцию жизни). Кроме того, одно дело - подогнать уравнения к уже известным аспектам реальности. Другое дело - математика. рассказывать о явлениях, о которых ранее не подозревали. Когда уравнения Пола Дирака, описывающие электроны, давали более одного решения, он предположил, что природа должна обладать другими частицами, теперь известными как антивещество. Но ученые не открывали такие частицы до тех пор, пока математика Дирака не сказала ему, что они должны существовать. Если математика - это изобретение человека, природа, кажется, знает, что было изобретено ».

Лакофф заработал себе репутацию, связав лингвистику с когнитивной наукой и анализом метафор . Нуньес, получивший образование в Швейцарии , является продуктом школы когнитивной психологии Жана Пиаже как основы логики и математики. Нуньес много думал об основах реального анализа , действительных и комплексных числах , а также об основной метафоре бесконечности. Однако эти темы, какими бы достойными они ни были, составляют часть надстройки математики. Когнитивная наука должна больше интересоваться основами математики . И действительно, авторы с самого начала уделяют изрядное внимание логике , булевой алгебре и аксиомам Цермело – Френкеля , даже немного задерживаясь на теории групп . Но ни один из авторов не имеет хорошей подготовки в логике , философии теории множеств, аксиоматическом методе , метаматематике и теории моделей . WMCF также не говорит достаточно о выводе систем счисления ( аксиомы Пеано не упоминаются), абстрактной алгебре , отношениях эквивалентности и порядка , мереологии , топологии и геометрии .

Лакофф и Нуньес склонны игнорировать негативные мнения математиков о WMCF , потому что их критики не ценят идеи когнитивной науки. Лакофф и Нуньес утверждают, что их аргумент можно понять, только используя открытия последних десятилетий о том, как человеческий мозг обрабатывает язык и значение. Они утверждают, что любые аргументы или критика, не основанные на этом понимании, не могут касаться содержания книги.

Было указано, что совсем не ясно, устанавливает ли WMCF утверждение, что «разумная инопланетная жизнь будет обладать математическими способностями» является мифом. Для этого потребуется показать, что интеллект и математические способности разделимы, а этого не было сделано. На Земле интеллект и математические способности, кажется, идут рука об руку во всех формах жизни, на что, в частности, указал Кейт Девлин . Авторы WMCF не объяснили, как эта ситуация могла бы (или даже могла бы) измениться где-либо еще.

Лакофф и Нуньес, похоже, также не понимают, в какой степени интуиционисты и конструктивисты ожидали своей атаки на романс (платонической) математики. Брауэр , основатель интуиционистской / конструктивистской точки зрения, в своей диссертации « Об основах математики» утверждал, что математика - это ментальная конструкция, свободное творение разума, полностью независимое от логики и языка. Он продолжает упрекать формалистов в построении вербальных структур, которые изучаются без интуитивной интерпретации. Символический язык не следует путать с математикой; он отражает, но не содержит математическую реальность.

Подводя итоги

WMCF (стр. 378–79) завершается некоторыми ключевыми моментами, ряд из которых приводится ниже. Математика возникает из нашего тела и мозга, нашего повседневного опыта и проблем человеческих обществ и культур. Это:

  • Результат нормальных познавательных способностей взрослого человека, в частности способности к концептуальным метафорам, и как таковой является универсальным для человека. Способность конструировать концептуальные метафоры основана на неврологии и позволяет людям рассуждать об одной области, используя язык и концепции другой области. Концептуальная метафора - это и то, что позволило математике вырасти из повседневной деятельности, и то, что позволяет математике развиваться посредством непрерывного процесса аналогии и абстракции;
  • Символический , что значительно облегчает точный расчет;
  • Не трансцендентный, а результат человеческой эволюции и культуры , которым он обязан своей эффективностью. Во время познания мира в человеческом разуме происходит связь с математическими идеями;
  • Система человеческих представлений, экстраординарно использующая обычные инструменты человеческого познания;
  • Открытое творение людей, которые несут ответственность за его поддержание и расширение;
  • Один из величайших продуктов коллективного человеческого воображения и великолепный пример красоты, богатства, сложности, разнообразия и важности человеческих идей.

Когнитивный подход к формальным системам , как описано и реализовано в WMCF , не должны быть ограничены к математике, но должен также оказаться плодотворным применительно к формальной логике и формальной философии , такие как Эдвард Залта «s теории абстрактных объектов . Лакофф и Джонсон (1999) плодотворно используют когнитивный подход для переосмысления значительной части философии разума , эпистемологии , метафизики и истории идей .

Смотрите также

Сноски

использованная литература

внешние ссылки