Представление алгебры Ли - Lie algebra representation

Группы Ли
Классические группы
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли
Полупростая алгебра Ли
Теория представлений
Группы Ли в физике
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математической области теории представлений , представление алгебры Ли или представление алгебры Ли является способом записи алгебры Ли в виде набора матриц (или эндоморфизмов одного векторного пространства ) таким образом , что скобка Ли задаются коммутатор . На языке физики нужно искать векторное пространство вместе с набором операторов, удовлетворяющих некоторому фиксированному набору коммутационных соотношений, таких как отношения, которым удовлетворяют операторы углового момента . ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Это понятие тесно связано с представлением группы Ли . Грубо говоря, представления алгебр Ли - это дифференцированная форма представлений групп Ли, а представления универсальной накрытия группы Ли - это интегрированная форма представлений ее алгебры Ли.

При изучении представлений алгебры Ли особое кольцо , называемое универсальной обертывающей алгеброй , ассоциированное с алгеброй Ли, играет важную роль. Универсальность этого кольца говорит о том, что категория представлений алгебры Ли совпадает с категорией модулей над ее обертывающей алгеброй.

Формальное определение

Позвольте быть алгеброй Ли и пусть быть векторным пространством. Мы выпускаем обозначим пространство эндоморфизмов , то есть пространство всех линейных отображений себе. Превратим в алгебру Ли со скобкой, заданной коммутатором: для всех р, а в . Тогда представление о на это гомоморфизм алгебр Ли${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ Displaystyle [\ rho, \ sigma] = \ rho \ circ \ sigma - \ sigma \ circ \ rho}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ rho \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}$ .

Явно это означает, что это должна быть линейная карта, и она должна удовлетворять ${\ displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ rho ([X, Y]) = \ rho (X) \ rho (Y) - \ rho (Y) \ rho (X)}$

для всех X, Y в . Векторное пространство V вместе с представлением ρ называется -модулем . (Многие авторы злоупотребляют терминологией и называют V самим представлением). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Представление называется верным, если оно инъективно. ${\ displaystyle \ rho}$

Эквивалентно можно определить -модуль как векторное пространство V вместе с билинейным отображением таким, что ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ раз от V \ до V}$

${\ Displaystyle [X, Y] \ cdot v = X \ cdot (Y \ cdot v) -Y \ cdot (X \ cdot v)}$

для всех X, Y в и V в V . Это связано с предыдущим определением, когда X ⋅ v = ρ ( X ) ( v ). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Примеры

Присоединенные представления

Самый простой пример представления алгебры Ли - присоединенное представление алгебры Ли на самой себе: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ textrm {ad}}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}}), \ quad X \ mapsto \ operatorname {ad} _ {X }, \ quad \ operatorname {ad} _ {X} (Y) = [X, Y].}$

В самом деле, в силу тождества Якоби , является гомоморфизмом алгебр Ли. ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$

Представления инфинитезимальных групп Ли

Представление алгебры Ли также возникает в природе. Если : G → H - гомоморфизм (вещественных или комплексных) групп Ли , а и - алгебры Ли групп G и H соответственно, то дифференциал на касательных пространствах в тождествах является гомоморфизмом алгебр Ли. В частности, для конечного-мерного векторного пространства V , А представления групп Ли${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$ ${\ displaystyle d_ {e} \ phi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {h}}}$

${\ displaystyle \ phi: G \ to \ operatorname {GL} (V) \,}$

определяет гомоморфизм алгебр Ли

${\ displaystyle d \ phi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V)}$

от алгебре Ли линейной группы GL ( V ), т.е. эндоморфизмов алгебры V . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Например, пусть . Тогда дифференциал в единице является элементом . Обозначая его единицей, мы получаем представление группы G в векторном пространстве . Это присоединенное представление о G . Применяя предыдущее, получаем представление алгебры Ли . Можно показать , что присоединенное представление . ${\ displaystyle c_ {g} (x) = gxg ^ {- 1}}$${\ displaystyle c_ {g}: от G \ до G}$${\ displaystyle \ operatorname {GL} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Ad} (g)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ad}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle d \ operatorname {Ad}}$${\ displaystyle d_ {e} \ operatorname {Ad} = \ operatorname {ad}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Частичное обращение к этому утверждению говорит о том, что каждое представление конечномерной (действительной или комплексной) алгебры Ли поднимается до единственного представления ассоциированной односвязной группы Ли, так что представления односвязных групп Ли находятся во взаимно однозначном соотношении. одно соответствие с представлениями их алгебр Ли.

В квантовой физике

В квантовой теории рассматриваются «наблюдаемые», которые являются самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве . Тогда коммутационные соотношения между этими операторами являются важным инструментом. В угловых операторах импульса , например, удовлетворяют коммутационные соотношения

${\ displaystyle [L_ {x}, L_ {y}] = я \ hbar L_ {z}, \; \; [L_ {y}, L_ {z}] = i \ hbar L_ {x}, \; \ ; [L_ {z}, L_ {x}] = i \ hbar L_ {y},}$ .

Таким образом, оболочка этих трех операторов образует алгебру Ли, которая изоморфна алгебре Ли so (3) группы вращений SO (3) . Тогда любое подпространство квантового гильбертова пространства, инвариантное относительно операторов углового момента, будет представлять собой представление алгебры Ли so (3). Понимание теории представлений so (3) очень помогает, например, при анализе гамильтонианов с вращательной симметрией, таких как атом водорода . Многие другие интересные алгебры Ли (и их представления) возникают в других разделах квантовой физики. Действительно, история теории представлений характеризуется богатым взаимодействием между математикой и физикой. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle V}$

Основные понятия

Инвариантные подпространства и неприводимость

Учитывая представление алгебры Ли , мы говорим , что подпространство в является инвариантным , если для всех и . Ненулевое представление называется неприводимым, если единственными инвариантными подпространствами являются оно само и нулевое пространство . Термин простой модуль также используется для неприводимого представления. ${\ displaystyle \ rho: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow \ operatorname {End} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ rho (X) ш \ в W}$${\ displaystyle w \ in W}$${\ displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ {0 \}}$

Гомоморфизмы

Позвольте быть алгеброй Ли . Пусть V , W - -модули. Тогда линейное отображение является гомоморфизмом из -модулей если -эквивариантный; т.е. для любого . Если f биективен, называются эквивалентными . Такие карты также называют переплетающимися картами или морфизмами . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle f: V \ to W}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle е (Икс \ cdot v) = Х \ cdot f (v)}$${\ Displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}, \, v \ in V}$${\ Displaystyle V, W}$

Точно так же многие другие конструкции из теории модулей в абстрактной алгебре переносятся на эту установку: подмодуль, фактор, подфактор, прямая сумма, ряд Жордана-Гёльдера и т. Д.

Лемма Шура

Простым, но полезным инструментом в изучении неприводимых представлений является лемма Шура. Он состоит из двух частей:

• Если V , W - неприводимые -модули и является гомоморфизмом, то либо нулевое, либо изоморфизм. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle f: V \ to W}$${\ displaystyle f}$
• Если V - неприводимый -модуль над алгебраически замкнутым полем и является гомоморфизмом, то является скалярным кратным единице. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle f: V \ to V}$${\ displaystyle f}$

Полная сводимость

Пусть V - представление алгебры Ли . Тогда V называется вполне приводимым (или полупростым), если оно изоморфно прямой сумме неприводимых представлений (ср. Полупростой модуль ). Если V конечномерно, то V полностью приводимо тогда и только тогда, когда каждое инвариантное подпространство V имеет инвариантное дополнение. (То есть, если W - инвариантное подпространство, то существует другое инвариантное подпространство P такое, что V является прямой суммой W и P. ) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Если - конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики и V конечномерна, то V полупроста; это теорема Вейля о полной сводимости . Таким образом, для полупростых алгебр Ли классификация неприводимых (т.е. простых) представлений немедленно приводит к классификации всех представлений. Для других алгебр Ли, не обладающих этим специальным свойством, классификация неприводимых представлений может не сильно помочь в классификации общих представлений. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Алгебра Ли называется редуктивной, если присоединенное представление полупросто. Конечно, всякая (конечномерная) полупростая алгебра Ли редуктивна, поскольку каждое представление алгебры Ли вполне приводимо, как мы только что отметили. С другой стороны, определение редуктивной алгебры Ли означает, что она разлагается как прямая сумма идеалов (т. Е. Инвариантных подпространств для присоединенного представления), не имеющих нетривиальных подидеалов. Некоторые из этих идеалов будут одномерными, а остальные - простыми алгебрами Ли. Таким образом, редуктивная алгебра Ли представляет собой прямую сумму коммутативной алгебры и полупростой алгебры. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Инварианты

Элемент v из V называется -инвариантным, если для всех . Множество всех инвариантных элементов обозначается . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle х \ cdot v = 0}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle V ^ {\ mathfrak {g}}}$

Основные конструкции

Тензорные произведения представлений

Если у нас есть два представления алгебры Ли , с V ₁ и V _{2 в} качестве базовых векторных пространств, то тензорное произведение представлений будет иметь V ₁ ⊗ V ₂ в качестве базового векторного пространства с действием однозначно определяемым предположение, что ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle X \ cdot (v_ {1} \ otimes v_ {2}) = (X \ cdot v_ {1}) \ otimes v_ {2} + v_ {1} \ otimes (X \ cdot v_ {2}) .}$

для всех и . ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}}$${\ displaystyle v_ {2} \ in V_ {2}}$

На языке гомоморфизмов это означает, что мы определяем формулой ${\ displaystyle \ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V_ {1} \ otimes V_ {2})}$

${\ Displaystyle (\ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}) (X) = \ rho _ {1} (X) \ otimes \ mathrm {I} + \ mathrm {I} \ otimes \ rho _ {2} (X)}$ .

В физической литературе тензорное произведение с единичным оператором часто опускается в обозначениях, а формула записывается как

${\ Displaystyle (\ rho _ {1} \ otimes \ rho _ {2}) (X) = \ rho _ {1} (X) + \ rho _ {2} (X)}$ ,

где подразумевается, что действует на первый множитель в тензорном произведении и действует на второй множитель в тензорном произведении. В контексте представлений алгебры Ли su (2) тензорное произведение представлений называется «сложение углового момента». В этом контексте , например, может быть орбитальный угловой момент, а - спиновый угловой момент. ${\ Displaystyle \ rho _ {1} (х)}$${\ Displaystyle \ rho _ {2} (х)}$${\ displaystyle \ rho _ {1} (X)}$${\ displaystyle \ rho _ {2} (X)}$

Двойные представления

Позвольте быть алгеброй Ли и быть представлением . Позвольте быть сопряженным пространством, то есть пространством линейных функционалов на . Тогда мы можем определить представление по формуле ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ rho: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle \ rho ^ {*}: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {gl}} (V ^ {*})}$

${\ Displaystyle \ rho ^ {*} (X) = - (\ rho (X)) ^ {\ OperatorName {tr}},}$

где для любого оператора оператор транспонирования определяется как оператор "композиция с ": ${\ displaystyle A: V \ rightarrow V}$${\ displaystyle A ^ {\ operatorname {tr}}: V ^ {*} \ rightarrow V ^ {*}}$${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle (A ^ {\ operatorname {tr}} \ phi) (v) = \ phi (Av)}$

Знак минус в определении необходим, чтобы гарантировать, что это действительно представление в свете идентичности ${\ displaystyle \ rho ^ {*}}$${\ displaystyle \ rho ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle (AB) ^ {\ operatorname {tr}} = B ^ {\ operatorname {tr}} A ^ {\ operatorname {tr}}.}$

Если мы работаем в основе, то транспонирование в приведенном выше определении можно интерпретировать как обычное транспонирование матрицы.

Представление на линейных картах

Пусть - -модули, алгебра Ли. Затем становится -модулем путем установки . В частности ,; другими словами, гомоморфизмы -модулей от до являются просто элементами , которые инвариантны относительно только что определенного действия on . Если мы возьмем базовое поле, мы восстановим действие on, данное в предыдущем подразделе. ${\ Displaystyle V, W}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle (Икс \ cdot f) (v) = Xf (v) -f (Xv)}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathfrak {g}} (V, W) = \ operatorname {Hom} (V, W) ^ {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W)}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle V ^ {*}}$

Теория представлений полупростых алгебр Ли

См. Теорию представлений полупростых алгебр Ли .

Обертывающие алгебры

Каждой алгебре Ли над полем k можно сопоставить некоторое кольцо, называемое универсальной обертывающей алгеброй поля k и обозначаемое . Универсальное свойство универсальной обертывающей алгебры гарантирует, что каждое представление порождает представление . И наоборот, теорема PBW говорит нам, что находится внутри , так что каждое представление может быть ограничено до . Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между представлениями и представлениями . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$

Универсальная обертывающая алгебра играет важную роль в описанной выше теории представлений полупростых алгебр Ли. В частности, конечномерные неприводимые представления строятся как факторы модулей Верма , а модули Верма строятся как факторы универсальной обертывающей алгебры.

Построение происходит следующим образом. Пусть T - тензорная алгебра векторного пространства . Таким образом, по определению, и умножение на него дается . Пусть будет в факторе - кольцо из Т от идеала , порожденными элементами вида ${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle T = \ oplus _ {n = 0} ^ {\ infty} \ otimes _ {1} ^ {n} {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ otimes}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$

${\ displaystyle [X, Y] - (X \ otimes YY \ otimes X)}$ .

Существует естественное линейное отображение из в, полученное ограничением фактор-карты степени один. Теорема PBW означает, что каноническое отображение действительно инъективно. Таким образом, любую алгебру Ли можно вложить в ассоциативную алгебру таким образом, что скобка на задается выражением in . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ Displaystyle Т \ к U ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle А = U ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$${\ displaystyle A}$

Если это абелева , то симметричная алгебра векторного пространства . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Поскольку является модулем над собой через присоединенное представление, обертывающая алгебра становится -модулем, расширяя присоединенное представление. Но можно также использовать левое и правое регулярные представления, чтобы сделать обертывающую алгебру -модулем; а именно, с помощью обозначений , отображение определяет представление on . Правое регулярное представление определяется аналогично. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle l_ {X} (Y) = XY, X \ in {\ mathfrak {g}}, Y \ in U ({\ mathfrak {g}})}$${\ Displaystyle X \ mapsto l_ {X}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$

Индуцированное представительство

Пусть - конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики и подалгебра. действует справа и, таким образом, для любого -модуля W можно образовать левый -модуль . Это модуль обозначается и называется модулем , индуцированный W . Он удовлетворяет (и фактически характеризуется) универсальным свойством: для любого -модуля E${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {h}})}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}}) \ otimes _ {U ({\ mathfrak {h}})} W}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} W}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {\ mathfrak {g}} (\ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} W, E) \ simeq \ operatorname {Hom} _ {\ mathfrak {h}} (W, \ operatorname {Res} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} E)}$ .

Кроме того, является точным функтором из категории -модулей в категорию -модулей. Они используют тот факт, что это бесплатный правый модуль . В частности, если просто (соответственно, абсолютно просто), то W просто (соответственно, абсолютно просто). Здесь a -модуль V абсолютно прост, если прост для любого расширения поля . ${\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {g}})}$${\ Displaystyle U ({\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} W}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V \ otimes _ {k} F}$${\ displaystyle F / k}$

Индукция транзитивна: для любой подалгебры Ли и любой подалгебры Ли . Индукция коммутирует с ограничением: пусть - подалгебра, идеал которой содержится в . Установите и . Тогда . ${\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} \ simeq \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h '}} ^ {\ mathfrak {g}} \ circ \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {h '}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h '}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {h}} '}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {1} = {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} _ {1} = {\ mathfrak {h}} / {\ mathfrak {n}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathfrak {g}} \ circ \ operatorname {Res} _ {\ mathfrak {h}} \ simeq \ operatorname {Res} _ {\ mathfrak {g}} \ circ \ operatorname {Ind} _ {\ mathfrak {h_ {1}}} ^ {\ mathfrak {g_ {1}}}}$

Бесконечномерные представления и «категория O»

Пусть - конечномерная полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. (в разрешимом или нильпотентном случае изучаются примитивные идеалы обертывающей алгебры; окончательное описание см. Диксмье.) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Категория (возможно, бесконечномерных) модулей над оказывается слишком большой, особенно для того, чтобы методы гомологической алгебры могли быть полезными: было понято, что меньшая категория подкатегории O является лучшим местом для теории представлений в полупростом случае с нулевой характеристикой . Например, категория O оказалась подходящего размера для формулирования знаменитой взаимности BGG. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

(g, K) -модуль

Одно из наиболее важных приложений представлений алгебры Ли - это теория представлений вещественной редуктивной группы Ли. Приложение основано на идее о том , что если гильбертово пространство-представление, скажем, связная вещественная полупростая линейная группа Ли G , то она имеет два естественных действия: комплексификацию и связная максимальная компактная подгруппа K . Структура -модуля позволяет применять алгебраические, особенно гомологические методы, а структура -модуля позволяет проводить гармонический анализ аналогично тому, как это делается для связных компактных полупростых групп Ли. ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle K}$

Представление на алгебре

Если у нас есть супералгебра Ли L , то представление L на алгебре является (не обязательно ассоциативной ) градуированной алгеброй Z ₂ A, которая является представлением L как градуированного векторного пространства Z _2, и, кроме того, элементы L действуют а дифференцирования / антидифференцированиями на A .

Более конкретно, если Н является чистый элемент из L и х и у являются чистые элементы из A ,

H [ xy ] = ( H [ x ]) y + (−1) ^xH x ( H [ y ])

Кроме того , если является унитарным , то

H [1] = 0

Теперь, в случае представления алгебры Ли , мы просто отбрасываем все градуировки и (−1) на некоторые степенные множители.

(Супер) алгебра Ли - это алгебра, и она имеет присоединенное представление самой себя. Это представление на алгебре: свойство (анти) дифференцирования - это супер- тождество Якоби .

Если векторное пространство одновременно является ассоциативной алгеброй и алгеброй Ли, а присоединенное представление алгебры Ли на самом себе является представлением на алгебре (т. Е. Действует дифференцированием в структуре ассоциативной алгебры), то это алгебра Пуассона . Аналогичное наблюдение для супералгебр Ли дает понятие супералгебры Пуассона .

Смотрите также

• Представление группы Ли
• Вес (теория представлений)
• Теорема Вейля о полной сводимости
• Корневая система
• Формула характера Вейля
• Теория представлений связной компактной группы Ли
• Лемма Уайтхеда (алгебры Ли)
• Гипотезы Каждана – Люстига
• Лемма Квиллена - аналог леммы Шура

Заметки

Рекомендации

• Бернштейн И.Н., Гельфанд И.М., Гельфанд С.И., «Структура представлений, порождаемых векторами старшего веса», Функционал. Анальный. Прил. 5 (1971)
• Диксмье, Дж. (1977), Обертывающие алгебры , Амстердам, Нью-Йорк, Оксфорд: Северная Голландия, ISBN   0-444-11077-1 .
• А. Бейлинсон и Дж. Бернштейн, "Локализация g-модулей", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, vol. 292, вып. 1. С. 15–18, 1981.
• Bäuerle, GGA; де Керф, EA (1990). А. ван Грезен; Э. М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. 1 . Северная Голландия. ISBN   0-444-88776-8 .
• Bäuerle, GGA; де Керф, EA; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грезен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечномерные и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. 7 . Северная Голландия. ISBN   978-0-444-82836-1 - через ScienceDirect .
• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN   978-0-387-97495-8 . Руководство по ремонту   1153249 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Д. Гайцгори, Теория геометрических представлений, Math 267y, осень 2005 г.
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, 267 , Springer, ISBN   978-1461471158
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN   978-3319134666
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN   0-19-859683-9
• Риоши Хотта, Киёси Такеучи, Тошиюки Танисаки, D-модули, извращенные пучки и теория представлений ; перевод Киёси Такеуч
• Хамфрис, Джеймс (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Тексты для выпускников по математике, 9 , Springer, ISBN   9781461263982
• Н. Якобсон, Алгебры Ли , Courier Dover Publications, 1979.
• Гаррет Биркгоф ; Филип М. Уитмен (1949). «Представление йорданов и алгебр Ли» (PDF) . Пер. Амер. Математика. Soc. 65 : 116–136. DOI : 10,1090 / s0002-9947-1949-0029366-6 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
• Кириллов, А. (2008). Введение в группы Ли и алгебры Ли . Кембриджские исследования в области высшей математики. 113 . Издательство Кембриджского университета. ISBN   978-0521889698 .
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN.   0-691-09089-0 (элементарное лечение SL (2, C ))
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами и Введение (второе изд.), Birkhauser

дальнейшее чтение

• Бен-Цви, Давид; Надлер, Дэвид (2012). «Локализация Бейлинсона-Бернштейна над центром Хариш-Чандра». arXiv : 1209.0188v1 [ math.RT ]. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )