Регулярное представительство - Regular representation

В математике , и в частности в теории представлений групп , регулярное представление группы G - это линейное представление, обеспечиваемое групповым действием группы G на себя посредством сдвига .

Различают левое регулярное представление λ, заданное левым сдвигом, и правое регулярное представление ρ, заданное обратным правому сдвигу.

Конечные группы

Для конечной группы G левое регулярное представление λ (над полем K ) является линейным представлением на K -векторном пространстве V, свободно порожденным элементами группы G , i. е. они могут быть идентифицированы с основой из V . Для g  ∈  G , λ _g - это линейное отображение, определяемое своим действием на основе левым сдвигом на g , т. Е.

${\ displaystyle \ lambda _ {g}: h \ mapsto gh, {\ text {для всех}} h \ in G.}$

Для правильного регулярного представления ρ должна произойти инверсия, чтобы удовлетворить аксиомам представления. В частности, для данного g  ∈  G , ρ _g является линейным отображением на V, определяемым его действием на основе правого сдвига на g ⁻¹ , т. Е.

${\ displaystyle \ rho _ {g}: h \ mapsto hg ^ {- 1}, {\ text {для всех}} h \ in G. \}$

В качестве альтернативы, эти представления могут быть определены на K -векторных пространства W всех функций G → K . Именно в этой форме регулярное представление обобщается на топологические группы, такие как группы Ли .

Конкретное определение в терминах W выглядит следующим образом. Для заданной функции F  : G → K и элемент г  ∈  G ,

${\ displaystyle (\ lambda _ {g} f) (x) = f (\ lambda _ {g} ^ {- 1} (x)) = f ({g} ^ {- 1} x)}$

и

${\ Displaystyle (\ rho _ {g} f) (x) = f (\ rho _ {g} ^ {- 1} (x)) = f (xg).}$

Значение регулярного представления группы

Каждая группа G действует на себя переводами. Если рассматривать это действие как представления перестановок характеризуются как имеющие единственной орбитой и стабилизатор единичной подгруппы { х } из G . Регулярное представление G , для данного поля К , является линейным представлением осуществляется путем эту перестановку представление в виде набора базисных векторов одного векторного пространства над K . Смысл в том, что хотя представление перестановки не разлагается - оно транзитивно, - обычное представление в целом разбивается на более мелкие представления. Например, если G является конечной группой и К представляет собой комплексное число , поле, регулярное представление разлагается в прямую сумме из неприводимых представлений , с каждым неприводимым представлением , появляющимся в разложении с кратностью ее размерностью. Число этих неприводимые равно числу классов сопряженных с G .

Вышеупомянутый факт можно объяснить теорией персонажей . Напомним , что характер регулярного представления х (г) есть число неподвижных точек г действующего на регулярного представления V . Это означает, что количество неподвижных точек χ (g) равно нулю, когда g не id и | G | иначе. Пусть V имеет разложение ⊕ a _i V _i, где V _i - неприводимые представления группы G, а a _i - соответствующие кратности. По теории характеров кратность a _i может быть вычислена как

${\ displaystyle a_ {i} = \ langle \ chi, \ chi _ {i} \ rangle = {\ frac {1} {| G |}} \ sum {\ overline {\ chi (g)}} \ chi _ {i} (g) = {\ frac {1} {| G |}} \ chi (1) \ chi _ {i} (1) = \ operatorname {dim} V_ {i},}$ что означает, что кратность каждого неприводимого представления является его размерностью.

Статья о групповых кольцах формулирует регулярное представление для конечных групп , а также показывает, как регулярное представление может быть принято за модуль .

Точка зрения теории модулей

Говоря более абстрактно, групповое кольцо K [ G ] рассматривается как модуль над самим собой. (Здесь есть выбор между левым или правым действием, но это не имеет значения, за исключением обозначений.) Если G конечна и характеристика K не делит | G |, это полупростое кольцо, и мы смотрим на его левые (правые) кольцевые идеалы . Эта теория глубоко изучена. Известно , в частности , что прямое разложение регулярного представления содержит представитель каждого изоморфизм класса неприводимых линейных представлений G над K . В этом случае можно сказать, что регулярное представление является исчерпывающим для теории представлений. Модульный случай, когда характеристика K действительно делит | G | сложнее в основном потому, что с непростым K [ G ] представление может не быть неприводимым без разбиения в виде прямой суммы.

Структура конечных циклических групп

Для циклической группы C, порожденной g порядка n , матричная форма элемента из K [ C ], действующего на K [ C ] посредством умножения, принимает отличительную форму, известную как циркулянтная матрица , в которой каждая строка представляет собой сдвиг к справа от приведенного выше (в циклическом порядке , то есть с крайним правым элементом, появляющимся слева), когда речь идет о естественном базисе

1, g , g ² , ..., g ^{n −1} .

Когда поле K содержит примитивный корень n-й степени из единицы , можно диагонализовать представление C , записав n линейно независимых одновременных собственных векторов для всех циркулянтов n × n . Фактически, если ζ - любой корень n-й степени из единицы, элемент

1 + ζ g + ζ ² g ² + ... + ζ ^{n −1} g ^{n −1}

является собственным вектором действия g путем умножения с собственным значением

ζ ⁻¹

а также собственный вектор всех степеней g и их линейных комбинаций.

Это явный вид в этом случае абстрактного результата , что над алгебраически замкнутым полем К (например, комплексными числами ) регулярное представление группы G является вполне приводимым , при условии , что характеристика K (если это простое число р ) не делит порядок G . Это называется теоремой Машке . В этом случае условие характеристики подразумевается существованием примитивного корня n-й степени из единицы, чего не может произойти в случае простой характеристики p, делящей n .

Циркулянтные детерминанты были впервые обнаружены в математике девятнадцатого века, и были сделаны выводы из их диагонализации. А именно, определитель циркулянта является произведением n собственных значений для n собственных векторов, описанных выше. Основная работа Фробениуса по представлениям групп началась с мотивации поиска аналогичных факторизаций детерминантов группы для любой конечной группы G ; то есть детерминанты произвольных матриц , представляющих элементы K [ G ] действует путем умножения на основе элементов , заданных г в G . Если G не является абелевой , то факторизация должен содержать нелинейные коэффициенты , соответствующие неприводимые представления о G степени> 1.

Топологический групповой случай

Для топологической группы G регулярное представление в указанном выше смысле следует заменить подходящим пространством функций на G , где G действует сдвигом. См. Теорему Питера – Вейля для компактного случая. Если G группа Ли, но не компактная и не абелева , это трудный вопрос гармонического анализа . Локально компактная абелева случай является частью двойственности Понтрягина теории.

Нормальные базисы в теории Галуа

В теории Галуа было показано , что для поля L и конечной группы G из автоморфизмов с L , неподвижная поле K из G имеет [ L : K ] = | G |, Фактически, мы можем сказать больше: L, рассматриваемый как K [ G ] -модуль, является регулярным представлением. Это содержание нормальной теоремы базиса , А нормальный базис является элементом х из L таких , что г ( х ) для г в G является векторным пространством , основой для L над K . Такие x существуют, и каждый из них дает K [ G ] -изоморфизм от L к K [ G ]. С точки зрения теории алгебраических чисел представляет интерес изучение нормальных целочисленных базисов , в которых мы пытаемся заменить L и K содержащимися в них кольцами целых алгебраических чисел . Уже в случае гауссовских целых чисел можно увидеть, что такие базисы могут не существовать: a + bi и a - bi никогда не могут образовывать базис Z- модуля Z [ i ], потому что 1 не может быть целочисленной комбинацией. Причины подробно изучаются в теории модулей Галуа .

Более общие алгебры

Регулярное представление группового кольца таково, что левое и правое регулярные представления дают изоморфные модули (и нам часто не нужно различать случаи). Учитывая алгебру над полем A , сразу не имеет смысла спрашивать об отношении между A как левым модулем над собой и как правым модулем. В групповом случае отображение на базисных элементах g в K [ G ], определенное путем взятия обратного элемента, дает изоморфизм K [ G ] его противоположному кольцу. Для A вообще такая структура называется алгеброй Фробениуса . Как следует из названия, они были введены Фробениусом в девятнадцатом веке. Было показано, что они связаны с топологической квантовой теорией поля в измерениях 1 + 1 с помощью частного случая гипотезы кобордизма .

Смотрите также

• Фундаментальное представление
• Представление перестановки
• Квазирегулярное представление

использованная литература

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 .