Класс сопряженности - Conjugacy class

Два Кэли графы из двугранных групп с классами сопряженности , отличающихся по цвету.

В математике , особенно в теории групп , два элемента и группы являются сопряженными, если в группе есть такой элемент , что это отношение эквивалентности, классы эквивалентности которого называются классами сопряженности . ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle b = g ^ {- 1} ag.}$

Члены одного и того же класса сопряженности нельзя различить, используя только структуру группы, и поэтому они имеют много общих свойств. Изучение классов сопряженности неабелевых групп является фундаментальным для изучения их строения. Для абелевой группы каждый класс сопряженности - это набор, содержащий один элемент ( одноэлементный набор ).

Функции, которые являются постоянными для членов одного и того же класса сопряженности, называются функциями класса .

Определение

Позвольте быть группой. Два элемента являются сопряженными , если существует элемент таким образом, что в этом случае называется конъюгат из и называется сопряженным ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle a, b \ in G}$ ${\ displaystyle g \ in G}$ ${\ displaystyle gag ^ {- 1} = b,}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b.}$

В случае группы общей линейной группы из обратимых матриц , сопряженность соотношение называется матрица подобия . ${\ Displaystyle \ OperatorName {GL} (п)}$

Легко показать, что сопряжение является отношением эквивалентности и, следовательно, разбивается на классы эквивалентности. (Это означает, что каждый элемент группы принадлежит ровно одному классу сопряженности, и классы и равны тогда и только тогда, когда и сопряжены, и не пересекаются в противном случае.) Класс эквивалентности, который содержит элемент, является ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Cl} (а)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} (b)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a \ in G}$

{\ displaystyle \ operatorname {Cl} (a) = \ left \ {gag ^ {- 1}: g \ in G \ right \}}

и называется класс сопряженности из

{\ displaystyle a.}

class number of- количество различных (неэквивалентных) классов сопряженности. Все элементы, принадлежащие к одному классу сопряженности, имеют одинаковыйпорядок.

{\ displaystyle G}

На классы сопряженности можно ссылаться путем их описания или, более кратко, с помощью сокращений, таких как «6A», что означает «определенный класс сопряженности элементов порядка 6», и «6B» будет другим классом сопряженности элементов порядка 6; класс сопряженности 1A - это класс сопряженности тождества. В некоторых случаях классы сопряженности можно описать единообразно; например, в симметричной группе их можно описать циклической структурой.

Примеры

Симметрическая группа, состоящая из 6

перестановок трех элементов, имеет три класса сопряженности:

{\ displaystyle S_ {3},}

без изменений ${\ Displaystyle (от abc \ до abc)}$
перенос двух ${\ displaystyle (abc \ to acb, abc \ to bac, abc \ to cba)}$
циклическая перестановка всех три ${\ displaystyle (abc \ to bca, abc \ to cab).}$

Эти три класса также соответствует классификации изометрии в качестве равностороннего треугольника .

Таблица для всех пар с (сравните нумерованный список ) . Каждая строка содержит все элементы класса сопряженности из и каждый столбец содержит все элементы

{\ displaystyle bab ^ {- 1}}

{\ Displaystyle (а, б)}

{\ displaystyle a, b \ in S_ {4}}

{\ displaystyle a,}

{\ displaystyle S_ {4}.}

Симметрическая группа ${\ displaystyle S_ {4},}$ , состоящая из 24 перестановок из четырех элементов, имеет пять классов сопряженных, перечисленные с их структурами цикла и заказами:

(1) ₄ без изменений (1 элемент: {(1, 2, 3, 4)}). Единственная строка, содержащая этот класс сопряженности, показана как строка черных кружков в соседней таблице.

(2) перестановка двух (6 элементов: {(1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4)}). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены зеленым цветом в соседней таблице.

(3) циклическая перестановка трех (8 элементов: {(1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4)}). 8 строк, содержащих этот класс сопряженности, показаны обычным шрифтом (без жирного шрифта или выделения цветом) в соседней таблице.

(4) циклическая перестановка всех четырех (6 элементов: {(2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2) , 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2)}). 6 строк, содержащих этот класс сопряженности, выделены оранжевым цветом в соседней таблице.

(2) (2) замена двух, а также двух других (3 элемента: {(2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2)}) . 3 строки, содержащие этот класс сопряженности, выделены полужирным шрифтом в соседней таблице.

В собственных вращениях кубы , которые могут быть охарактеризованы с помощью перестановок диагоналей, также описаны в сопряжении ${\ displaystyle S_ {4}.}$

В общем, число классов сопряженных элементов в симметрической группы ${\ displaystyle S_ {n}}$ равно числу разбиений из Это потому , что каждый класс сопряженности соответствует в точности одной перегородке в

циклах , с точностью до перестановки элементов

{\ displaystyle n.}

{\ Displaystyle \ {1,2, \ ldots, п \}}

{\ displaystyle \ {1,2, \ ldots, n \}.}

В общем, евклидова группа может быть изучена путем сопряжения изометрий в евклидовом пространстве .

Характеристики

Элемент идентичности всегда является единственным элементом в своем классе, то есть ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} (e) = \ {e \}.}$
Если есть

абелева , то для всех , то есть для всех (и обратное также верно: если все классы сопряженности одноэлементны то абелева).

{\ displaystyle G}

{\ displaystyle gag ^ {- 1} = а}

{\ displaystyle a, g \ in G}

{\ Displaystyle \ OperatorName {Cl} (а) = \ {а \}}

{\ displaystyle a \ in G}

{\ displaystyle G}

Если два элемента принадлежат одному и тому же классу сопряженности (т. Е. Если они сопряжены), то они имеют одинаковый

порядок . В целом, каждое утверждение о может быть переведено в утверждение о потому что карта является автоморфизмом от Престола следующий свойство для примера.

{\ displaystyle a, b \ in G}

{\ displaystyle a}

{\ displaystyle b = кляп ^ {- 1},}

{\ Displaystyle \ varphi (х) = gxg ^ {- 1}}

{\ displaystyle G.}

Если и сопряжены, то таковы их мощности и (Доказательство: если, то ) Таким образом, взятие

^th степеней дает отображение классов сопряженности, и можно рассмотреть, какие классы сопряженности находятся в его прообразе. Например, в симметричной группе квадрат элемента типа (3) (2) (3-цикл и 2-цикл) является элементом типа (3), поэтому один из классов включения питания (3) - это класс (3) (2) (где - класс повышения мощности ).

{\ displaystyle a}

{\ displaystyle b}

{\ Displaystyle а ^ {к}}

{\ displaystyle b ^ {k}.}

{\ displaystyle a = gbg ^ {- 1}}

{\ displaystyle a ^ {k} = \ left (gbg ^ {- 1} \ right) \ left (gbg ^ {- 1} \ right) \ cdots \ left (gbg ^ {- 1} \ right) = gb ^ {k} g ^ {- 1}.}

{\ displaystyle k}

{\ displaystyle a}

{\ Displaystyle а ^ {к}}

Элемент лежит в

центре на тогда и только тогда , когда его класс сопряженности имеет только один элемент, сам. В более общем смысле , если обозначает централизатор из т.е. подгруппа , состоящая из всех элементов таким образом, что тогда индекс равен количеству элементов в классе сопряженности (по теореме орбита-стабилизатора ).

{\ displaystyle a \ in G}

{\ displaystyle \ operatorname {Z} (G)}

{\ displaystyle G}

{\ displaystyle a}

{\ Displaystyle \ OperatorName {C} _ {G} (а)}

{\ displaystyle a \ in G,}

{\ displaystyle g}

{\ displaystyle ga = ag,}

{\ Displaystyle \ влево [G: \ OperatorName {C} _ {G} \ влево (а \ вправо) \ вправо]}

{\ displaystyle a}

Возьмите и позвольте быть различными целыми числами, которые появляются как длины циклов в типе цикла (включая 1-циклы). Позвольте быть количество циклов длины в для каждого (так что ). Тогда количество конъюгатов равно:

{\ displaystyle \ sigma \ in S_ {n}}

{\ displaystyle m_ {1}, m_ {2}, \ ldots, m_ {s}}

{\ displaystyle \ sigma}

{\ displaystyle k_ {i}}

{\ displaystyle m_ {i}}

{\ displaystyle \ sigma}

{\ Displaystyle я = 1,2, \ ldots, s}

{\ displaystyle \ sum \ limits _ {i = 1} ^ {s} k_ {i} m_ {i} = n}

{\ displaystyle \ sigma}

{\ displaystyle {\ frac {n!} {(k_ {1}! m_ {1} ^ {k_ {1}}) (k_ {2}! m_ {2} ^ {k_ {2}}) \ cdots ( k_ {s}! m_ {s} ^ {k_ {s}})}}.}

Спряжение как групповое действие

Для любых двух элементов пусть ${\ displaystyle g, x \ in G,}$

{\ displaystyle g \ cdot x: = gxg ^ {- 1}.}

Это определяет группу действий из на The орбиты этого действия являются классы сопряженных элементов , а также стабилизатор данного элемента элемента центратора .

{\ displaystyle G}

{\ displaystyle G.}

Аналогичным образом , мы можем определить группу действие на множестве всех

подмножеств из по письменному

{\ displaystyle G}

{\ displaystyle G,}

{\ displaystyle g \ cdot S: = gSg ^ {- 1},}

или на множестве подгрупп

{\ displaystyle G.}

Уравнение класса сопряженности

Если это

конечная группа , то для любого элемента группы элементов в классе сопряженности находятся во взаимно однозначном соответствии с смежности в центратора Это можно увидеть, заметив , что любые два элемента и принадлежащие одному и тому же классу смежности (и , следовательно , , для некоторых в централизаторе ) порождают один и тот же элемент при сопряжении :

{\ displaystyle G}

{\ displaystyle a,}

{\ displaystyle a}

{\ displaystyle \ operatorname {C} _ {G} (a).}

{\ displaystyle b}

{\ displaystyle c}

{\ displaystyle b = cz}

{\ displaystyle z}

{\ Displaystyle \ OperatorName {C} _ {G} (а)}

{\ displaystyle a}

{\ displaystyle bab ^ {- 1} = cza (cz) ^ {- 1} = czaz ^ {- 1} c ^ {- 1} = cazz ^ {- 1} c ^ {- 1} = cac ^ {- 1}.}

Это также можно увидеть из теоремы о стабилизаторе орбит , если рассматривать группу как действующую на себя посредством сопряжения, так что орбиты являются классами сопряженности, а стабилизирующие подгруппы являются централизаторами. Верно и обратное.

Таким образом, количество элементов в классе сопряженности является

индексом централизатора в ; следовательно, размер каждого класса сопряженности делит порядок группы.

{\ displaystyle a}

{\ displaystyle \ left [G: \ operatorname {C} _ {G} (a) \ right]}

{\ Displaystyle \ OperatorName {C} _ {G} (а)}

{\ displaystyle G}

Кроме того, если мы выберем единственный репрезентативный элемент из каждого класса сопряженности, мы сделаем вывод из дизъюнктности классов сопряженности, что где - централизатор элемента. Наблюдая, что каждый элемент центра образует класс сопряженности, содержащий только самого себя, порождает

класс уравнение :

{\ displaystyle x_ {i}}

{\ displaystyle | G | = \ sum _ {i} \ left [G: \ operatorname {C} _ {G} \ left (x_ {i} \ right) \ right],}

{\ Displaystyle \ OperatorName {C} _ {G} \ left (x_ {i} \ right)}

{\ displaystyle x_ {i}.}

{\ displaystyle \ operatorname {Z} (G)}

{\ Displaystyle | G | = | \ OperatorName {Z} (G) | + \ sum _ {i} \ left [G: \ operatorname {C} _ {G} \ left (x_ {i} \ right) \ right ],}

где сумма превышает представительный элемент из каждого класса сопряженности, который не находится в центре.

Знание делителей группового порядка часто может быть использовано для получения информации о порядке центра или классов сопряженности. ${\ displaystyle | G |}$

Пример

Рассмотрим конечную

-группу (то есть группу с порядком, где - простое число и ). Мы собираемся доказать, что каждая конечная -группа имеет нетривиальный центр .

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle G}

{\ displaystyle p ^ {n},}

{\ displaystyle p}

{\ displaystyle n> 0}

${\ displaystyle p}$

Поскольку порядок любого класса сопряженности должен делить его порядок, следует, что каждый класс сопряженности, который не находится в центре, также имеет порядок некоторой степени где. Но тогда уравнение класса требует, чтобы Из этого мы видим, что должно делиться так ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G,}$ ${\ displaystyle H_ {i}}$ ${\ displaystyle p ^ {k_ {i}},}$ ${\ Displaystyle 0 <к_ {я} <п.}$ ${\ displaystyle | G | = p ^ {n} = | \ operatorname {Z} (G) | + \ sum _ {i} p ^ {k_ {i}}.}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle | \ OperatorName {Z} (G) |,}$ ${\ Displaystyle | \ OperatorName {Z} (G) |> 1.}$

В частности, когда то есть абелева группа , так как любой нетривиальной элемент группы имеет порядок или если какой - то элемент из имеет порядок , то изоморфна циклической группе порядка , следовательно , абелевой. С другой стороны, если каждый нетривиальный элемент в имеет порядок , следовательно , по заключению выше , то или Нам нужно только рассмотреть случай , когда то есть элемент из которых не в центре Обратите внимание , что включает в себя и центр , который не содержит, но, по крайней мере, элементов. Следовательно, порядок строго больше , следовательно , следовательно , является элементом центра противоречия. Следовательно , абелева и фактически изоморфна прямому произведению двух циклических групп, каждая из которых имеет порядок ${\ Displaystyle п = 2,}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p ^ {2}.}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p ^ {2},}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p ^ {2},}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p,}$ ${\ Displaystyle | \ OperatorName {Z} (G) |> 1,}$ ${\ Displaystyle | \ OperatorName {Z} (G) | = p> 1}$ ${\ displaystyle p ^ {2}.}$ ${\ Displaystyle | \ OperatorName {Z} (G) | = p> 1,}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {C} _ {G} (b)}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ operatorname {C} _ {G} (b)}$ ${\ displaystyle p,}$ ${\ displaystyle \ left | \ operatorname {C} _ {G} (b) \ right | = p ^ {2},}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle G,}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p.}$

Сопряженность подгрупп и общих подмножеств

В более общем смысле, учитывая любое подмножество ( не обязательно подгруппу), определите подмножество, которое должно быть сопряжено, если существует такое, что Let будет набором всех подмножеств , сопряженных с ${\ Displaystyle S \ substeq G}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle T \ substeq G}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle g \ in G}$ ${\ displaystyle T = gSg ^ {- 1}.}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Cl} (S)}$ ${\ displaystyle T \ substeq G}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S.}$

Часто используемая теорема является то , что, учитывая любое подмножество

индекс из (в нормализаторе в ) в равен порядку :

{\ Displaystyle S \ substeq G,}

{\ displaystyle \ operatorname {N} (S)}

{\ displaystyle S}

{\ displaystyle G}

{\ displaystyle \ operatorname {Cl} (S)}

{\ Displaystyle | \ OperatorName {Cl} (S) | = [G: N (S)].}

Это следует из того, если тогда , если и только если , другими словами, если и только если находятся в одном

смежном классе по

{\ displaystyle g, h \ in G,}

{\ displaystyle gSg ^ {- 1} = hSh ^ {- 1}}

{\ displaystyle g ^ {- 1} h \ in \ operatorname {N} (S),}

{\ displaystyle g {\ text {и}} h}

{\ displaystyle \ operatorname {N} (S).}

Использование этой формулы обобщает приведенную ранее формулу для числа элементов в классе сопряженности. ${\ Displaystyle S = \ {а \},}$

Вышеупомянутое особенно полезно, когда речь идет о подгруппах. Таким образом, подгруппы могут быть разделены на классы сопряженности, причем две подгруппы принадлежат одному и тому же классу тогда и только тогда, когда они сопряжены. Сопряженные подгруппы

изоморфны , но изоморфные подгруппы не обязательно сопряжены. Например, абелева группа может иметь две разные подгруппы, которые изоморфны, но никогда не сопряжены.

{\ displaystyle G.}

Геометрическая интерпретация

Классы сопряженных элементов в фундаментальной группе о наличии линейно связной топологического пространства можно рассматривать как классы эквивалентности свободных петель под свободной гомотопией.

Класс сопряженности и неприводимые представления в конечной группе

В любой конечной группе количество различных (неизоморфных) неприводимых представлений над комплексными числами в точности равно количеству классов сопряженности.

Смотрите также

Топологическая сопряженность
FC-group - группа по теории групп математике
Подгруппа, замкнутая по сопряженности

Примечания

использованная литература

Грилье, Пьер Антуан (2007). Абстрактная алгебра . Выпускные тексты по математике. 242 (2-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

внешние ссылки

"Сопряженные элементы" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects