Топологическая сопряженность - Topological conjugacy

В математике , две функции называются топологически сопряжены друг с другом , если существует на гомеоморфизм , который будет Проспрягайте один в другой. Топологическая сопряженность важна при изучении повторяющихся функций и в более общем плане динамических систем , поскольку, если динамика одной повторяющейся функции может быть решена, то для любой топологически сопряженной функции следуют тривиально.

Чтобы проиллюстрировать это напрямую: предположим, что и - повторяющиеся функции, и существует такой гомеоморфизм , что ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$

{\ displaystyle g = h ^ {- 1} \ circ f \ circ h,}

так что и топологически сопряжены. Тогда нужно иметь ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$

{\ displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} \ circ f ^ {n} \ circ h,}

следовательно, итерированные системы также топологически сопряжены. Здесь обозначает композицию функции . ${\ displaystyle \ circ}$

Определение

${\ displaystyle f \ двоеточие X \ to X, g \ двоеточие Y \ to Y}$ , и - непрерывные функции на топологических пространствах , и . ${\ Displaystyle ч \ двоеточие от Y \ до X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle f}$ будучи топологически полусопряженным со средствами, по определению, это сюръекция такая, что . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ Displaystyle F \ CIRC H = H \ CIRC G}$

${\ displaystyle f}$ и будучи топологически сопряженные средства, по определению, что они являются топологически полусопряжено и , кроме того , инъективны , то биективен , и его обратным является непрерывной слишком; т.е. является гомеоморфизмом ; далее, называется топологическим сопряжением между и . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$

Потоки

Аналогично, on и on - это потоки , with и как указано выше. ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X, Y}$ ${\ Displaystyle ч \ двоеточие от Y \ до X}$

${\ displaystyle \ phi}$ будучи топологический полусопряжено с помощью, по определению, что является сюръекция таким образом, что для каждого , . ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle \ phi (час (y), t) = час \ circ \ psi (y, t)}$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ phi}$ а то , что они топологически сопряжены , по определению означает, что они топологически полусопряжены и $h$ является гомеоморфизмом. ${\ displaystyle \ psi}$

Примеры

Логистическая карта и карта палатки топологически сопряжены.
Логистическая карта единичной высоты и карта Бернулли топологически сопряжены.
Для определенных значений в пространстве параметров отображение Энона, когда оно ограничено своим множеством Жюлиа, топологически сопряжено или полусопряжено с отображением сдвига в пространстве двусторонних последовательностей из двух символов.

Обсуждение

Топологическое сопряжение - в отличие от полусопряжения - определяет отношение эквивалентности в пространстве всех непрерывных сюръекций топологического пространства самому себе, объявляя и связанными, если они топологически сопряжены. Это отношение эквивалентности очень полезно в теории динамических систем , поскольку каждый класс содержит все функции, которые разделяют одну и ту же динамику с топологической точки зрения. Например, орбиты из сопоставляются гомеоморфными орбиты через сопряжение. Запись делает этот факт очевидным: . Неформально говоря, топологическое сопряжение - это «смена координат» в топологическом смысле. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g = h ^ {- 1} \ circ f \ circ h}$ ${\ displaystyle g ^ {n} = h ^ {- 1} \ circ f ^ {n} \ circ h}$

Однако аналогичное определение потоков носит несколько ограничительный характер. Фактически, мы требуем, чтобы отображения и были топологически сопряженными для каждого , что требует большего, чем просто отображение орбит на орбиты гомеоморфизма. Это мотивирует определение топологической эквивалентности , которое также разделяет множество всех потоков на классы потоков, разделяющих одну и ту же динамику, опять же с топологической точки зрения. ${\ Displaystyle \ varphi (\ cdot, т)}$ ${\ displaystyle \ psi (\ cdot, t)}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle X}$

Топологическая эквивалентность

Мы говорим , что два потока и являются топологически эквивалентными , если существует гомеоморфизм , отображение орбит на орбиты гомеоморфно и сохранения ориентации орбит. Другими словами, обозначая орбиту, мы имеем ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle h: Y \ to X}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

{\ displaystyle h ({\ mathcal {O}} (y, \ psi)) = \ {h \ circ \ psi (y, t): t \ in \ mathbb {R} \} = \ {\ phi (h (y), t): t \ in \ mathbb {R} \} = {\ mathcal {O}} (h (y), \ phi)}

для каждого . Кроме того, необходимо выстроить течение времени: для каждого существует такое, что если и если $s$ таково, что , то . ${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ displaystyle y \ in Y}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ ${\ Displaystyle 0 <\ верт s \ верт <т <\ дельта}$ ${\ displaystyle \ phi (час (y), s) = час \ circ \ psi (y, t)}$ ${\ displaystyle s> 0}$

В целом, топологическая эквивалентность является более слабым критерием эквивалентности, чем топологическая сопряженность, поскольку не требует, чтобы временной член отображался вместе с орбитами и их ориентацией. Примером топологически эквивалентной, но не топологически сопряженной системы может быть негиперболический класс двумерных систем дифференциальных уравнений, имеющих замкнутые орбиты. В то время как орбиты могут быть преобразованы друг в друга для перекрытия в пространственном смысле, периоды таких систем не могут быть сопоставлены аналогичным образом, что не удовлетворяет критерию топологической сопряженности при удовлетворении критерия топологической эквивалентности.

Гладкая и орбитальная эквивалентность

Дополнительные критерии эквивалентности могут быть изучены, если потоки, и возникают из дифференциальных уравнений. ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle \ psi}$

Две динамические системы определяются дифференциальными уравнениями, и , как говорят, гладко эквивалентными , если существует диффеоморфизм , такой , что ${\ Displaystyle {\ точка {х}} = е (х)}$ ${\ Displaystyle {\ точка {у}} = г (у)}$ ${\ displaystyle h: от X \ до Y}$

{\ displaystyle f (x) = M ^ {- 1} (x) g (h (x)) \ quad {\ text {where}} \ quad M (x) = {\ frac {\ mathrm {d} h (x)} {\ mathrm {d} x}}.}

В этом случае, динамические системы могут быть преобразованы друг в друга с помощью преобразования координат, . ${\ Displaystyle у = час (х)}$

Две динамические системы в одном и том же пространстве состояний, определенные с помощью и , называются орбитально эквивалентными, если существует положительная функция , такая, что . Орбитально эквивалентные системы отличаются только временной параметризацией. ${\ Displaystyle {\ точка {х}} = е (х)}$ ${\ Displaystyle {\ точка {х}} = г (х)}$ ${\ displaystyle \ mu: X \ to \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle г (х) = \ му (х) е (х)}$

Системы, которые являются гладко эквивалентными или орбитально эквивалентными, также топологически эквивалентны. Однако обратное неверно. Например, рассмотрим линейные системы в двух измерениях формы . Если матрица имеет два положительных действительных собственных значения, система имеет неустойчивый узел; если матрица имеет два комплексных собственных значения с положительной действительной частью, система имеет неустойчивый фокус (или спираль). Узлы и фокусы топологически эквивалентны, но не орбитально эквивалентны или гладко эквивалентны, потому что их собственные значения различны (обратите внимание, что якобианы двух локально гладко эквивалентных систем должны быть подобны , поэтому их собственные значения, а также алгебраическая и геометрическая кратности должны быть равны) . ${\ displaystyle {\ dot {x}} = Ax}$ ${\ displaystyle A}$

Обобщения динамической топологической сопряженности

Сообщается о двух расширениях концепции динамической топологической сопряженности:

Аналогичные системы, определяемые как изоморфные динамические системы
Присоединенные динамические системы, определенные через присоединенные функторы и естественные эквивалентности в категориальной динамике.

Смотрите также

Коммутативная диаграмма

использованная литература

^ Alligood, КТ, Sauer, Т., и Йорк, JA (1997). Хаос: Введение в динамические системы . Springer. С. 114–124. ISBN 0-387-94677-2.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Devaney, R .; Нитецкий, З. (1979). «Автоморфизмы сдвига в отображении Энона» . Comm. Математика. Phys . 67 (2): 137–146. Bibcode : 1979CMaPh..67..137D . DOI : 10.1007 / bf01221362 . Дата обращения 2 сентября 2016 .
↑ Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркаций (Второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98382-1.
^ «Сложность и категориальная динамика» . Архивировано из оригинального 19 августа 2009 года.
^ "Аналогичные системы, топологическая сопряженность и сопряженные системы" . Архивировано из оригинала на 2015-02-25.

Эта статья включает материал топологического сопряжения на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

[Alli97-1] Alligood, КТ, Sauer, Т., и Йорк, JA (1997). Хаос: Введение в динамические системы . Springer. С. 114–124. ISBN 0-387-94677-2.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[Devan79-2] Devaney, R .; Нитецкий, З. (1979). «Автоморфизмы сдвига в отображении Энона» . Comm. Математика. Phys . 67 (2): 137–146. Bibcode : 1979CMaPh..67..137D . DOI : 10.1007 / bf01221362 . Дата обращения 2 сентября 2016 .

[3] Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы теории бифуркаций (Второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98382-1.

[4] «Сложность и категориальная динамика» . Архивировано из оригинального 19 августа 2009 года.

[5] "Аналогичные системы, топологическая сопряженность и сопряженные системы" . Архивировано из оригинала на 2015-02-25.

Languages

In other projects