Алгебраически замкнутое поле - Algebraically closed field


Из Википедии, свободной энциклопедии

В абстрактной алгебре , алгебраически замкнутое поле Р содержит корень для каждого непостоянного полинома в F [ х ], то кольцо многочленов в переменном х с коэффициентами из F .

Примеры

В качестве примера, то поле из действительных чисел не является алгебраически замкнутым, так как полиномиальное уравнение х 2  + 1 = 0 не имеет решения в действительных числах, даже если все его коэффициенты (1 и 0) реальны. То же рассуждение доказывает , что ни подпол реального поля не алгебраически замкнуто; в частности, поле рациональных чисел не является алгебраически замкнутым. Кроме того , не конечное поле F не алгебраически замкнуто, потому что если 1 , 2 , ..., п являются элементами F , то многочлен ( х  -  1 ) ( х  -  2 ) ··· ( х  -  п ) + 1 не имеет нуль в F . Напротив, основная теорема алгебры утверждает , что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Другим примером алгебраически замкнутым полем является поле (комплексных) алгебраических чисел .

Эквивалентные свойства

Учитывая поле F , то утверждение « F алгебраически замкнуто» эквивалентен другим утверждения:

Только неприводимые полиномы являются степени одной

Поле Р алгебраически замкнуто тогда и только тогда , когда только неприводимые многочлены в кольце многочленов F [ х ] являются те первой степени.

Утверждение «многочлены степени одной несводимы» тривиально для любого поля. Если Р алгебраически замкнуто и р ( х ) является неприводимым многочленом F [ х ], то она имеет некоторый корень а , и , следовательно , р ( х ) является кратным х  -  . Так как р ( х ) неприводит, это означает , что р ( х ) =  K ( х  -  ), для некоторых к  ∈  F  \ {0}. С другой стороны, если Р не является алгебраически замкнутым, то есть некоторые непостоянная многочлен р ( х ) в F [ х ] без корней в F . Пусть д ( х ) некоторое неприводимое коэффициент р ( х ). Так как р ( х ) не имеет корней в F , д ( х ) также не имеет корней в F . Следовательно, д ( х ) имеет степень больше единицы, так как каждый первый многочлен степени имеет один корень в F .

Каждый многочлен является произведением первой степени многочленов

Поле Р алгебраически замкнуто тогда и только тогда , когда каждый многочлен р ( х ) степени п  ≥ 1, с коэффициентами в F , распадается на линейные множители . Другими словами, существуют элементы Kх 1х 2 , ...,  х п поля F такое , что р ( х ) =  к ( х  -  х 1 ) ( х  -  х 2 ) ··· ( х  -  х п ).

Если F обладает этим свойством, то очевидно , что каждый непостоянным многочлен F [ х ] имеет некоторый корень в F ; Другими словами, F алгебраически замкнуто. С другой стороны, что свойство указано здесь имеет место для F , если F алгебраически замкнуто следует из предыдущей собственности вместе с тем , что для любого поля К , любой многочлен в К [ х ] можно записать в виде произведения неприводимых многочленов ,

Многочлены простой степени имеют корни

J. Шипман показал , что в 2007 году , если каждый многочлен над F простой степени имеет корень в F , то каждый непостоянный многочлен имеет корень в F , что F алгебраически замкнуто.

Поле не имеет собственное алгебраическое расширение

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда , когда оно не имеет надлежащего алгебраическое расширение .

Если F не имеет собственное алгебраическое расширение, пусть р ( х ) некоторый неприводимый многочлен F [ х ]. Тогда фактор из F [ х ] по модулю идеал , порожденный р ( х ) является алгебраическим расширением F , чья степень равна степени р ( х ). Так как это не собственное расширение, его степень 1 и , следовательно , степень р ( х ) = 1.

С другой стороны, если F имеет некоторое собственное алгебраическое расширение K , то минимальный многочлен элемента в K  \  F неприводим и степень его больше 1.

Поле не имеет надлежащего конечное расширение

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда , когда оно не имеет конечное алгебраическое расширения , потому что , если в предыдущем доказательстве , слово «алгебраическое» заменяются словом «конечным», то доказательство остается в силе.

Каждый эндоморфизм F п имеет некоторый собственный вектор

Поле F алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда для каждого натурального числа п , каждое линейное отображение из F п в себе имеет некоторый собственный вектор .

Эндоморфизм из F п имеет собственный вектор тогда и только тогда , когда его характеристический полином имеет некоторый корень. Поэтому, когда F алгебраически замкнуто, каждый эндоморфизм F п имеет некоторый собственный вектор. С другой стороны, если каждый эндоморфизм F п имеет собственный вектор, пусть р ( х ) элемент из F [ х ]. Деление на его старший коэффициент, мы получаем другой многочлен д ( х ) , который имеет корни , если и только если р ( х ) имеет корни. Но если Q ( х ) =  х п  +  п  - 1 х п  - 1 + ··· +  0 , то д ( х ) является характеристическим полиномом N × N - компаньона матрицы

Разложение рациональных выражений

Поле Р алгебраически замкнуто тогда и только тогда , когда каждый рациональной функции от одной переменной х , с коэффициентами из F , можно записать в виде суммы полиномиальной функции с рациональными функциями вида с / ( х  -  Ь ) п , где п представляет собой натуральное число, а и б являются элементами F .

Если Р алгебраически замкнуто , то, так как неприводимые многочлены в F [ х ] все степени 1, свойство было указано выше выполнено по теореме о разложении дроби .

С другой стороны, предположим , что свойство было указано выше справедливо и для поля F . Пусть р ( х ) неприводимый элемент F [ х ]. Тогда рациональная функция 1 / р можно записать в виде суммы полиномиальной функции д с рациональными функциями вида с / ( х  -  Ь ) п . Таким образом, рациональное выражение

может быть записано в виде частного двух многочленов , в которых знаменатель является произведением первых многочленов степени. Так как р ( х ) неприводим, то он должен разделить этот продукт , и, следовательно, она должна также быть первым степень многочлена.

Относительно простые полиномы и корни

Для любого поля F , если два многочлена р ( х ), д ( х ) ∈  F [ х ] являются взаимно простыми , то они не имеют общий корень, потому что если  ∈  F был общий корень, то  р ( х ) и   д ( х ) будет и быть кратны х  -  и , следовательно , они не будут взаимно простыми. Поля , для которых обратной импликация (то есть поля такие , что всякий раз , когда два многочлен не имеет общий корня , то они взаимно просты) в точности алгебраически замкнутые поля.

Если поле Р алгебраически замкнуто, пусть р ( х ) и д ( х ) два многочлена , которые не являются взаимно простыми , и пусть г ( х ) быть их наибольший общий делитель . Тогда, поскольку г ( х ) не является постоянной, она будет иметь некоторый корень A , который будет затем общий корень р ( х ) и д ( х ).

Если Р не является алгебраически замкнутым, пусть р ( х ) многочлен, степень которого по меньшей мере , 1 без корней. Тогда р ( х ) и р ( х ) не являются взаимно простыми, но они не имеют общих корней (так как ни один из них не имеет корней).

Другие свойства

Если Р алгебраически замкнутое поле и п представляет собой натуральное число, то Р содержит все п - й корней из единицы, потому что они (по определению) на п (не обязательно различные) нули полинома х п  - 1. расширение поля который содержится в расширении , порожденные корнями из единицы является круговым расширением , а расширение поля , генерируемого всех корнями из единицы иногда называют ее круговое замыканием . Таким образом алгебраически замкнутые поля cyclotomically закрыты. Обратное не верно. Даже если предположить , что каждый многочлен вида х п  -  через расщепляется на линейные множители не достаточно , чтобы гарантировать , что поле алгебраически замкнуто.

Если положение , которое может быть выраженно на языке логики первого порядка верно для алгебраически замкнутого поля, то оно справедливо и для каждого алгебраически замкнутого поля с той же характеристикой . Кроме того, если такое предложение действительно для алгебраически замкнутого поля с характеристикой 0, то она не только справедливо для всех других алгебраически замкнутых полей с характеристикой 0, но есть некоторое натуральное число N такие , что утверждение справедливо для любых алгебраически замкнуто поле с характерным  р при р  >  N .

Каждое поле F имеет некоторое расширение , которое алгебраически замкнуто. Такое расширение называется алгебраически замкнутым расширением . Среди всех таких расширений существует один и только один ( с точностью до изоморфизма , но не единственный изоморфизм ) , который является алгебраическим расширением из F ; это называется алгебраическое замыкание в F .

Теория алгебраически замкнутых полей имеет кванторное .

Заметки

Рекомендации

  • Barwise, Джон (1978), «Введение в первый заказ логики», в Barwise, Джон, Справочник по математической логики , исследований в области логики и основ математики, Северная Голландия, ISBN  0-7204-2285-X
  • Ланг, Serge (2002), Алгебра , Graduate тексты по математике , 211 (пересмотренная третье изд.), Нью - Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1878556
  • Шипман, Джозеф (2007), "Совершенствование основной теоремы алгебры", Математическая Интеллидженсер , 29 (4), с 9-14. Дои : 10.1007 / BF02986170 , ISSN  0343-6993
  • ван дер Варден, Бартель Leendert (2003), алгебра , I (7 изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-40624-7