Неприводимый многочлен - Irreducible polynomial

В математике , неприводимый многочлен , грубо говоря, полином , который не может быть преобразованной в произведение двух непостоянных полиномов . Свойство неприводимости зависит от природы коэффициентов , которые принимаются для возможных множителей, то есть поля или кольца, которому предположительно принадлежат коэффициенты полинома и его возможные множители. Например, многочлен x 2 - 2 является многочленом с целыми коэффициентами, но, поскольку каждое целое число также является действительным числом , это также многочлен с действительными коэффициентами. Это неприводимо, если оно рассматривается как многочлен с целыми коэффициентами, но при этом учитывается так, как если бы оно рассматривалось как многочлен с действительными коэффициентами. Говорят, что многочлен x 2 - 2 неприводим по целым числам, но не по действительным числам.

Полином, неприводимый над любым полем, содержащим коэффициенты, абсолютно неприводим . По основной теореме алгебры , одномерный полином является абсолютно неприводимым , если и только если его степень один. С другой стороны, с несколькими неопределенными существуют абсолютно неприводимые многочлены любой степени, например, для любого положительного целого числа n .

Неприводимый многочлен иногда называют приводимым многочленом .

Неприводимые полиномы естественным образом возникают при изучении факторизации полиномов и расширений алгебраических полей .

Полезно сравнивать неприводимые многочлены с простыми числами : простые числа (вместе с соответствующими отрицательными числами равной величины) являются неприводимыми целыми числами . Они демонстрируют многие общие свойства концепции «неприводимости», которые в равной степени применимы к неприводимым многочленам, такие как по существу уникальная факторизация на простые или неприводимые множители. Когда кольцо коэффициентов является полем или другой уникальной областью факторизации , неприводимый многочлен также называется простым многочленом , потому что он порождает простой идеал .

Определение

Если F является полем, непостоянный многочлен неприводит над F , если его коэффициенты принадлежат F , и она не может быть разложена в произведение двух непостоянных многочленов с коэффициентами из F .

Полином с целыми коэффициентами, или, в более общем плане , с коэффициентами в однозначном разложении R , иногда называется неприводимыми (или неприводимым над R ) , если оно является неприводимым элементом из кольца многочленов , то есть, это не обратимо , не равна нулю, и не может быть разложена в произведение двух необратимых многочленов с коэффициентами в R . Это определение обобщает определение, данное для случая коэффициентов в поле, потому что над полем непостоянные многочлены - это в точности многочлены, которые не обратимы и не равны нулю.

Другое определение часто используются, говоря , что многочлен неприводит над R , если оно является неприводимым над полем частных из R (поля рациональных чисел , если R является целыми числами). Это второе определение не используется в этой статье.

Природа фактора

Отсутствие явного алгебраического выражения для фактора само по себе не означает, что многочлен неприводим. Когда многочлен сводится к множителям, эти множители могут быть явными алгебраическими выражениями или неявными выражениями . Например, можно явно разложить на множители комплексные числа, поскольку, однако, теорема Абеля – Руффини утверждает, что существуют многочлены любой степени выше 4, для которых существуют комплексные множители, не имеющие явного алгебраического выражения. Такой коэффициент может быть записан просто как, скажем, где определяется неявно как частное решение уравнения, которое устанавливает полином равным 0. Кроме того, факторы любого типа также могут быть выражены как числовые приближения, получаемые с помощью алгоритмов поиска корня , например как

Простые примеры

Следующие шесть многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства приводимых и неприводимых многочленов:

Над целыми числами первые три полинома приводимы (третий полином приводим, потому что множитель 3 не обратим в целых числах); последние два неприводимы. (Четвертый, конечно, не является полиномом от целых чисел.)

Над рациональными числами первые два и четвертый многочлены приводимы, но три других многочлена неприводимы (как многочлен над рациональными числами, 3 является единицей и, следовательно, не считается множителем).

Над действительными числами первые пять многочленов приводимы, но неприводимы.

Над комплексными числами все шесть многочленов приводимы.

Над комплексными числами

Над сложной области , и, в более общем плане , над алгебраически замкнутым полем , одномерный многочлен неприводим тогда и только тогда , когда ее степень равна единице. Этот факт известен как основная теорема алгебры в случае комплексных чисел и вообще как условие алгебраической замкнутости.

Отсюда следует, что любой непостоянный одномерный многочлен может быть разложен на множители как

где степень, старший коэффициент и нули многочлена (не обязательно разные и не обязательно имеющие явные алгебраические выражения ).

Существуют неприводимые многомерные многочлены любой степени над комплексными числами. Например, полином

определяющая кривую Ферма , неприводима для любого положительного n .

По реалам

Над поля вещественных чисел , то степень неприводимого одномерного полинома либо один или два. Точнее, неприводимые многочлены - это многочлены первой степени и квадратичные многочлены с отрицательным дискриминантом. Отсюда следует, что любой непостоянный одномерный многочлен может быть разложен на множители как произведение многочленов степени не выше двух. Например, множители над действительными числами как и не могут быть дополнительно разложены на множители, поскольку оба фактора имеют отрицательный дискриминант:

Уникальное свойство факторизации

Каждый многочлен над полем F может быть разложен на произведение ненулевой константы и конечного числа неприводимых (над F ) многочленов. Это разложение уникально до порядка множителей и умножения множителей на ненулевые константы, произведение которых равно 1.

Для области уникальной факторизации верна та же теорема, но более точно сформулирована с использованием понятия примитивного полинома. Примитивный многочлен является многочленом над однозначным разложением на множители, такие , что 1 является наибольшим общим делителем его коэффициентов.

Пусть F - единственная область факторизации. Непостоянный неприводимый многочлен над F примитивен. Примитивный многочлен над F неприводит над F тогда и только тогда , когда оно является неприводимым над полем частных от F . Каждый многочлен над F может быть разложен на произведение ненулевой константы и конечного числа непостоянных неприводимых примитивных многочленов. Ненулевая константа может сама по себе быть разложена в произведение единицы из F и конечного числа неприводимых элементов из F . Оба факторизаций уникальны до порядка сомножителей и умножения коэффициентов на единице F .

Это теорема, которая мотивирует, что определение неприводимого многочлена в единственной области факторизации часто предполагает, что многочлен непостоянен.

Все алгоритмы, которые в настоящее время реализованы для факторизации многочленов по целым и рациональным числам, используют этот результат (см. Факторизация многочленов ).

Над целыми числами и конечным полем

Неприводимость многочлена над целыми числами связана , что над полем из элементов (для штриха ). В частности, если одномерный полином F над неприводит над для некоторых простого числа , что не делит старший коэффициент е (коэффициент при старшей степени переменного), то е неприводит над . Критерий Эйзенштейна представляет собой вариант этого свойства, в котором также задействована неприводимость по .

Обратное, однако, неверно: существуют многочлены сколь угодно большой степени, неприводимые над целыми числами и приводимые над любым конечным полем. Простой пример такого многочлена:

Связь между неприводимостью целых чисел и неприводимостью по модулю p глубже, чем предыдущий результат: на сегодняшний день все реализованные алгоритмы факторизации и неприводимости целых и рациональных чисел используют факторизацию по конечным полям в качестве подпрограммы .

Число неприводимых монических многочленов степени n над полем для q степени простого числа определяется выражением

где μ - функция Мёбиуса . При q = 2 такие многочлены обычно используются для генерации псевдослучайных двоичных последовательностей .

В некотором смысле почти все многочлены с коэффициентами ноль или единица неприводимы над целыми числами. Точнее, если предполагается версия гипотезы Римана для дзета-функций Дедекинда , вероятность неприводимости по целым числам для многочлена со случайными коэффициентами в {0, 1} стремится к единице при увеличении степени.

Алгоритмы

Уникальное свойство факторизации многочленов не означает, что факторизация данного многочлена всегда может быть вычислена. Даже неприводимость многочлена не всегда может быть доказана вычислением: есть поля, над которыми не может существовать никакой алгоритм для определения неприводимости произвольных многочленов.

Алгоритмы факторизации многочленов и определения неприводимости известны и реализованы в системах компьютерной алгебры для многочленов над целыми числами, рациональными числами, конечными полями и конечно порожденными полевыми расширениями этих полей. Все эти алгоритмы используют алгоритмы факторизации многочленов над конечными полями .

Расширение поля

Понятия неприводимого многочлена и алгебраического расширения поля сильно связаны следующим образом.

Пусть х быть элементом расширения L полевого K . Этот элемент называется алгебраическим , если оно является корнем многочлена с коэффициентами в K . Среди многочленов, у которых x является корнем, есть ровно один монический и минимальной степени, называемый минимальным многочленом от x . Минимальный многочлен алгебраического элемента x из L неприводим и является единственным моническим неприводимым многочленом, корнем которого является x . Минимальный многочлен от x делит каждый многочлен, имеющий x в качестве корня (это теорема Абеля о неприводимости ).

И наоборот, если это одномерный полином над полем K , пусть будет фактор - кольцо кольца многочленов по идеалу , порожденного от P . Тогда L является полем тогда и только тогда , когда Р неприводит над К . В этом случае, если x является образом X в L , минимальный многочлен от x является частным от P по его старшему коэффициенту .

Примером вышесказанного является стандартное определение комплексных чисел как

Если полином P имеет неприводимый фактор Q над K , который имеет степень больше единицы, то можно применить к Q предшествующее построение алгебраического расширения, чтобы получить расширение , в котором P имеет больше , по крайней мере один корень , чем в K . Повторяя эту конструкцию, мы в конечном итоге получаем поле, над которым P разлагается на линейные множители. Это поле, уникальный до в поле изоморфизма , называется поле разложения в Р .

Над областью целостности

Если R является областью целостности , элемент f из R, который не является ни нулем, ни единицей, называется неприводимым, если нет неединиц g и h с f = gh . Можно показать, что каждый простой элемент неприводим; обратное неверно в общем случае, но верно в уникальных областях факторизации . Кольцо многочленов Р [ х ] над полем F (или любой домен уникально-разложение) снова является однозначным разложением на множители. Индуктивно, это означает , что кольцо многочленов от п неизвестных (над кольцом R ) является однозначным разложением на множители , если то же самое верно для R .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

внешние ссылки