Алгебраическое число - Algebraic number


Из Википедии, свободной энциклопедии
Квадратный корень из 2 является алгебраическим числом , равным длине гипотенузы в виде прямоугольного треугольника с ног длины 1

Алгебраическое число является любое комплексное число ( в том числе действительных чисел ) , который является корнем из ненулевого многочлена (то есть, значение , которое приводит к тому , полином равным 0) в одной переменной с рациональными коэффициентами (или , что эквивалентно - путем очистки знаменателей - с целыми коэффициентами). Все целые и рациональные числа являются алгебраическими, а все корни целых чисел . То же самое верно не для всех действительных чисел или комплексных чисел. Эти вещественные и комплексные числа , которые не алгебраические называются трансцендентные числа . Они включают в себя π и е . В то время как множество комплексных чисел несчетно , множество алгебраических чисел счетно и имеет меру нуля в мере Лебега как подмножество комплексных чисел, и в этом смысле почти все комплексные числа трансцендентные.

Примеры

  • Все рациональные числа являются алгебраическими. Любое рациональное число, выраженное в виде отношения двух целых чисел и Ь , Ь не равна нулю, удовлетворяет приведенному выше определению , потому что х = / б корень ненулевого многочлена, а именно Ьх - .
  • В квадратичном surds (иррациональные корни квадратного полинома ах 2 + BX + C с целыми коэффициентами а , б , и с ) являются алгебраическими числами. Если квадратичный многочлен унитарный ( = 1 ) , то корни дополнительно квалифицируются как квадратичные целыми .
  • Эти построимые номера являются теми числами , которые могут быть построены из заданной единичной длины с помощью линейки и компаса. К ним относятся все квадратичные surds, все рациональные числа, а все числа , которые могут быть образованы из них , используя основные арифметические операции и извлечение квадратного корня. (Обратите внимание , что с помощью обозначающих стороны света в течение 1, -1, I , и - I , комплексные числа , такие , как 3 + 2 я считаюсь конструктивно.)
  • Любое выражение формируется из алгебраических чисел , используя любую комбинацию из основных арифметических операций и извлечения п - го корней дает еще одно алгебраическое число.
  • Полиномиальные корни , которые не могут быть выражены в терминах основных арифметических операций и извлечения п - го корней (например, корни х 5 - х + 1 ). Это происходит со многими , но не все многочлены степени 5 или выше.
  • Гауссовые целые числа : эти комплексные числа + би , где оба и б являются целыми числами , а также являются квадратичными целым числами.
  • Значения тригонометрических функций в рациональных кратных П (кроме случаев , когда не определены): то есть, тригонометрические номера . Так , например, каждый из COS П / 7 , соз / 7 , соз / 7 удовлетворяет 8 х 3 - 4 х 2 - 4 х + 1 = 0 . Этот многочлен неприводит над полем рациональных чисел, и поэтому эти три косинусами являются сопряженными алгебраическими числами. Точно так же, загар / 16 , загар / 16 , загар 11π / 16 , загар 15π / 16 все удовлетворяют неприводимый многочлен х 4 - 4 х 3 - 6 х 2 + 4 х + 1 = 0 , и поэтому сопряженные алгебраических чисел ,
  • Некоторые иррациональные числа являются алгебраическими , а некоторые нет:
    • Числа 2 и 33 / 2 являются алгебраическими , так как они являются корнями многочленов х 2 - 2 и 8 х 3 - 3 , соответственно.
    • Золотое отношение φ является алгебраическим , так как он является корнем многочлена х 2 - х - 1 .
    • Числа π и е не являются алгебраическими числами (см теоремы Lindemann-Вейерштрасса ); следовательно , они являются трансцендентными.

свойства

Алгебраические числа на комплексной плоскости , окрашенные степени (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

Поле алгебраических чисел

Алгебраические числа окрашенных степеней (синий = 4, голубой = 3, красный = 2, зеленый = 1). Единичная окружность черного цвета.

Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель не равен нулю) двух алгебраических чисел снова алгебраическое (этот факт может быть продемонстрирована с использованием полученного ), и , следовательно , алгебраические числа образуют поле Q (иногда обозначаемый A , хотя это как правило , обозначает адельное кольцо ). Каждый корень полиномиального уравнения, коэффициенты которого являются алгебраическими числами снова алгебраический. Это можно перефразировать, сказав , что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто . На самом деле, это наименьшее алгебраически замкнутое поле , содержащее рациональных чисел, и поэтому называется алгебраическое замыкание из рациональных чисел.

Множество вещественных алгебраических чисел само образует поле.

Связанные поля

Числа, определяемые радикалами

Все числа , которые могут быть получены из целых чисел , используя конечное число целочисленных дополнений , вычитаний , умножений , делений , и принимая п - й корней , где п представляет собой положительное целое число ( радикальные выражения ) алгебраические. Обратное, однако, это не так: есть алгебраические числа , которые не могут быть получены таким образом. Все эти числа являются корнями многочленов степени 5 или более. Это является результатом теории Галуа (см Quintic уравнения и теорему Абеля-Руффини ). Примером такого числа является единственным реальным корнем многочлена х 5 - х - 1 (что составляет примерно 1,167 304 ).

Закрытая форма номер

Алгебраические числа все числа , которые могут быть заданы явно или неявно в терминах полиномов, исходя из рациональных чисел. Можно обобщить это на « замкнутой форме чисел », которые могут быть определены различными способами. Наиболее широко, все числа , которые могут быть заданы явно или неявно в терминах полиномов, экспонент и логарифмов называются «элементарные числа», и они включают в себя алгебраические числа, а также некоторые трансцендентные числа. Наиболее узко, можно рассматривать числа явно определенные в терминах полиномов, экспонент и логарифмов - это не включает в себя все алгебраические числа, но включают некоторые простые трансцендентные числа , такие как е или LN 2 .

Алгебраические числа

Алгебраические числа окрашенных старшего коэффициента (красные означают 1 для алгебраического целого числа)

Алгебраическое число является алгебраическим числом , которое является корнем многочлена с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1 (унитарный многочлен). Примеры алгебраических чисел 5 + 13 2 , 2 - 6 я и 1 / 2 (1 + я 3 ) . Обратите внимание, таким образом, что алгебраические целые числа представляют собой надлежащее надмножество из целых чисел , так как последние корни нормированных многочленов х - K для всех KZ . В этом смысле, алгебраические числа являются алгебраическими числами , что целые числа являются для рациональных чисел .

Сумма, разность и произведение алгебраических чисел снова алгебраические целые числа, а это означает , что алгебраические целые числа образуют кольцо . Название алгебраическое число исходит из того , что только рациональных чисел , которые являются целыми алгебраическим являются целыми числами, а потому , что алгебраические числа в любом числовом поле во многом аналогичной целые числа. Если К является числовым полем, его кольцом целых чисел является подкольцом алгебраических чисел в К , и часто обозначается как O K . Это прототипы примеры областей дедекиндовых .

Специальные классы алгебраических чисел

Заметки

Рекомендации

  • Артин, Майкл (1991), Алгебра , Prentice Hall , ISBN  0-13-004763-5 , MR  1129886
  • Hardy, GH и Райт, EM 1978, 2000 (с общим индексом) Введение в теорию чисел: 5 - е издание , Clarendon Press, Oxford Великобритания, ISBN  0-19-853171-0
  • Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел , Graduate текстов по математике, 84 (е изд.), Берлин, Нью - Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2103-4 , ISBN  0-387-97329-X , МР  1070716
  • Ланг, Serge (2002), Алгебра , Graduate тексты по математике , 211 (пересмотренная третье изд.), Нью - Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1878556
  • Нивен, Иван 1956. Иррациональные числа , Кар Математическая Монография нет. 11, Математическая ассоциация Америки .
  • Руда, Øystein 1948, 1988, Теория чисел и ее история , Dover Publications, Inc. Нью - Йорк, ISBN  0-486-65620-9 (ПБК) .