Эндоморфизм - Endomorphism

Ортогональная проекция на прямую m является линейным оператором на плоскости. Это пример эндоморфизма, который не является автоморфизмом .

В математике , Эндоморфизм является морфизм из математического объекта к самому себе. Эндоморфизм, который также является изоморфизмом, называется автоморфизмом . Например, эндоморфизм векторного пространства V является линейным отображением F : V V и эндоморфизм группы G является группа гомоморфизм F : G G . В общем, можно говорить об эндоморфизмах в любой категории . В категории множеств эндоморфизмы - это функции из множества S в себя.

В любой категории, композиция любых двух эндоморфизмов X снова эндоморфизм X . Отсюда следует, что множество всех эндоморфизмов X образует моноид , полный моноид преобразования , и обозначается End ( X ) (или End C ( X ), чтобы подчеркнуть категорию C ).

Автоморфизмы

Обратимый эндоморфизм X называется автоморфизм . Множество всех автоморфизмов является подмножеством из End ( X ) с групповой структурой, называется группа автоморфизмов из X и обозначается Аи ( Х ) . На следующей диаграмме стрелки обозначают импликацию:

Автоморфизм Изоморфизм
Эндоморфизм (Гомо) морфизм

Кольца эндоморфизмов

Любые два эндоморфизмы абелевой группы , А , могут быть добавлены вместе по правилу ( ф + г ) ( ) = F ( ) + г ( ) . При этом добавлении и с умножением, определяемым как композиция функций, эндоморфизмы абелевой группы образуют кольцо ( кольцо эндоморфизмов ). Например, множество эндоморфизмов п есть кольцо все п × п матриц с целыми записями. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта в предаддитивной категории . Эндоморфизмы неабелевой группы порождают алгебраическую структуру, известную как почти кольцо . Каждое кольцо с единицей является кольцом эндоморфизмов своего регулярного модуля , а значит, и подкольцом кольца эндоморфизмов абелевой группы; однако есть кольца, которые не являются кольцом эндоморфизмов какой-либо абелевой группы.

Теория операторов

В любой конкретной категории , особенно для векторных пространств , эндоморфизмы - это отображение множества в себя, и их можно интерпретировать как унарные операторы на этом множестве, действующие на элементы и позволяющие определять понятие орбит элементов и т. Д.

В зависимости от дополнительной структуры, определенной для данной категории ( топология , метрика , ...), такие операторы могут обладать такими свойствами, как непрерывность , ограниченность и т. Д. Подробнее читайте в статье о теории операторов .

Эндофункции

Endofunction это функция, домен равен его область значений . Гомоморфна endofunction эндоморфизм.

Пусть S - произвольное множество. Среди endofunctions на S можно найти перестановок из S и постоянных функций , связывающих к каждому х в S тот же элемент гр в S . Каждая перестановка S имеет область значений, равную ее области определения, и является биективной и обратимой. Если S имеет более одного элемента, постоянная функция на S имеет изображение, которое является собственным подмножеством своей области, и, следовательно, не является биективным (и, следовательно, не обратимым). Функция, ассоциирующая каждому натуральному числу n пол числа n / 2, имеет свой образ, равный его области значений, и не является обратимой.

Конечные эндофункции эквивалентны направленным псевдолесам . Для множеств размера п есть п п endofunctions на множестве.

Частными примерами биективных эндофункций являются инволюции ; т.е. функции, совпадающие со своими обратными.

Смотрите также

Заметки

  1. ^ Якобсон (2009), стр. 162, теорема 3.2.

Рекомендации

  • Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Довер, ISBN   978-0-486-47189-1

Внешние ссылки