Разложение на частичную дробь - Partial fraction decomposition

В алгебре , то частичное разложение фракции или частичное разложение фракции из рациональной дроби (то есть фракции таким образом, что числитель и знаменатель являются полиномами ) представляет собой операция , которая заключается в выражении фракции в виде суммы многочлена (возможно , нулевых ) и одной или нескольких дробей с более простым знаменателем.

Важность разложения на частичную дробь заключается в том, что оно предоставляет алгоритмы для различных вычислений с рациональными функциями , включая явное вычисление первообразных , разложения в ряд Тейлора , обратные Z-преобразования и обратные преобразования Лапласа . Эта концепция была независимо открыта в 1702 году Иоганном Бернулли и Готфридом Лейбницем .

В символах, частичное разложение дроби рациональной дроби формы, где f и g - многочлены, является его выражением как ${\ Displaystyle \ textstyle {\ гидроразрыва {е (х)} {г (х)}},}$

${\ displaystyle {\ frac {f (x)} {g (x)}} = p (x) + \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x )}}}$

где р ( х ) есть полином, и для каждого J , то знаменатель г _J ( х ) является мощностью из неприводимого полинома (который не факторизуем в многочлены положительных степеней), а числитель х _J ( х ) является многочлен меньшей степени, чем степень этого неприводимого многочлена.

Когда используются явные вычисления, часто предпочтительнее более грубое разложение, которое заключается в замене «неприводимого многочлена» на « многочлен без квадратов » в описании результата. Это позволяет заменить полиномиальную факторизацию гораздо более простой для вычисления факторизацией без квадратов . Этого достаточно для большинства приложений и позволяет избежать введения иррациональных коэффициентов, когда коэффициенты входных полиномов являются целыми или рациональными числами .

Основные принципы

Позволять

${\ Displaystyle R (x) = {\ гидроразрыва {F} {G}}}$

- рациональная дробь , где F и G - одномерные многочлены от неопределенного x . Существование дроби можно доказать, индуктивно применяя следующие шаги редукции.

Полиномиальная часть

Существуют два полинома E и F ₁ такие, что

${\ displaystyle {\ frac {F} {G}} = E + {\ frac {F_ {1}} {G}},}$

а также

${\ Displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G,}$

где обозначает степень полинома P . ${\ displaystyle \ deg P}$

Это немедленно вытекает из евклидовой деления из F по G , которая утверждает существование Е и F ₁ таким образом, что и${\ displaystyle F = EG + F_ {1}}$${\ Displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G.}$

Это позволяет предположить на следующих этапах, что ${\ Displaystyle \ deg F <\ deg G.}$

Коэффициенты знаменателя

Если и ${\ Displaystyle \ deg F <\ deg G,}$

${\ displaystyle G = G_ {1} G_ {2},}$

где G ₁ и G ₂ - взаимно простые многочлены , то существуют многочлены и такие, что ${\ displaystyle F_ {1}}$${\ displaystyle F_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {F} {G}} = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}},}$

а также

${\ displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G_ {1} \ quad {\ text {and}} \ quad \ deg F_ {2} <\ deg G_ {2}.}$

Это можно доказать следующим образом. Тождество Безу утверждает существование многочленов C и D таких, что

${\ displaystyle CG_ {1} + DG_ {2} = 1}$

(по предположению, 1 представляет собой наибольший общий делитель из G ₁ и G ₂ ).

Пусть с быть евклидово деление на DF по Установка один получает ${\ displaystyle DF = G_ {1} Q + F_ {1}}$${\ Displaystyle \ deg F_ {1} <\ deg G_ {1}}$${\ displaystyle G_ {1}.}$${\ displaystyle F_ {2} = CF + QG_ {2},}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {F} {G}} & = {\ frac {F (CG_ {1} + DG_ {2})} {G_ {1} G_ {2}}} = {\ frac {DF} {G_ {1}}} + {\ frac {CF} {G_ {2}}} \\ & = {\ frac {F_ {1} + G_ {1} Q} {G_ {1 }}} + {\ frac {F_ {2} -G_ {2} Q} {G_ {2}}} \\ & = {\ frac {F_ {1}} {G_ {1}}} + {\ frac {F_ {2}} {G_ {2}}}. \ End {align}}}$

Осталось показать, что, сводя к тому же знаменателю последнюю сумму дробей, получаем и, таким образом, ${\ displaystyle \ deg F_ {2} <\ deg G_ {2}.}$${\ Displaystyle F = F_ {2} G_ {1} + F_ {1} G_ {2},}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ deg F_ {2} & = \ deg (F-F_ {1} G_ {2}) - \ deg G_ {1} \ leq \ max (\ deg F, \ deg ( F_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} \\ & <\ max (\ deg G, \ deg (G_ {1} G_ {2})) - \ deg G_ {1} = \ град G_ {2} \ end {выравнивается}}}$

Степени в знаменателе

Используя предыдущее разложение индуктивно один получаешь фракцию формы с , где G представляет собой неприводимый многочлен . Если k > 1 , можно выполнить дальнейшее разложение, используя то, что неприводимый многочлен является многочленом без квадратов , то есть является наибольшим общим делителем многочлена и его производной . Если - производная от G , тождество Безу дает многочлены C и D такие, что и, таким образом, Евклидово деление `на дает многочлены и такие, что и Установка одного получает ${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}},}$${\ Displaystyle \ deg F <\ deg G ^ {k} = к \ deg G,}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle G '}$${\ displaystyle CG + DG '= 1}$${\ Displaystyle F = FCG + FDG '.}$${\ displaystyle FDG '}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H_ {k}}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle FDG '= QG + H_ {k}}$${\ Displaystyle \ deg H_ {k} <\ deg G.}$${\ Displaystyle F_ {k-1} = FC + Q,}$

${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}} = {\ frac {H_ {k}} {G ^ {k}}} + {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}},}$

с участием ${\ Displaystyle \ deg H_ {k} <\ deg G.}$

Повторение этого процесса с помощью вместо приводит в конечном итоге к следующей теореме. ${\ displaystyle {\ frac {F_ {k-1}} {G ^ {k-1}}}}$${\ displaystyle {\ frac {F} {G ^ {k}}}}$

Заявление

Единственность можно доказать следующим образом. Пусть d = max (1 + deg f , deg g ) . Все вместе b и a _ij имеют d коэффициентов. Форма разложения определяет линейное отображение векторов коэффициентов в многочлены f степени меньше d . Доказательство существования означает, что это отображение сюръективно . Поскольку два векторных пространства имеют одинаковую размерность, карта также инъективна , что означает уникальность разложения. Между прочим, это доказательство индуцирует алгоритм вычисления разложения с помощью линейной алгебры .

Если K - поле комплексных чисел , из фундаментальной теоремы алгебры следует, что все p _i имеют степень один и все числители являются константами. Когда K - поле действительных чисел , некоторые из p _i могут быть квадратичными, поэтому при разложении на частичную дробь также могут встречаться частные линейных многочленов по степеням квадратичных многочленов. ${\ displaystyle a_ {ij}}$

В предыдущей теореме можно заменить «различные неприводимые многочлены» на « попарно взаимно простые многочлены, взаимно простые со своей производной». Например, р _я может быть факторами бесквадратной факторизации из г . Когда K является полем рациональных чисел , как это обычно бывает в компьютерной алгебре , это позволяет заменить факторизацию вычислением наибольшего общего делителя для вычисления разложения на частичную дробь.

Приложение к символической интеграции

С целью символической интеграции предыдущий результат можно уточнить в

Это сводит вычисление первообразной рациональной функции к интегрированию последней суммы, которая называется логарифмической частью , потому что ее первообразная представляет собой линейную комбинацию логарифмов. Фактически у нас есть

${\ displaystyle {\ frac {c_ {i1}} {p_ {i}}} = \ sum _ {\ alpha _ {j}: p_ {i} (\ alpha _ {j}) = 0} {\ frac { c_ {i1} (\ alpha _ {j})} {p '_ ​​{i} (\ alpha _ {j})}} {\ frac {1} {x- \ alpha _ {j}}}.}.}$

Существуют различные методы вычисления вышеуказанного разложения. Самым простым для описания является, вероятно, так называемый метод Эрмита . Поскольку степень c _ij ограничена степенью p _i , а степень b - это разность степеней f и g (если эта разница неотрицательна; в противном случае b = 0), можно записать эти неизвестные многочлены как многочлены с неизвестными коэффициентами. Приведя два члена приведенной выше формулы к одному знаменателю и записав, что коэффициенты каждой степени x одинаковы в двух числителях, мы получаем систему линейных уравнений, которую можно решить, чтобы получить желаемые значения для неизвестных коэффициентов.

Процедура

Для двух полиномов и , где α _i - различные константы и deg  P  <  n , частичные дроби обычно получаются, если предположить, что ${\ Displaystyle P (x)}$${\ displaystyle Q (x) = (x- \ alpha _ {1}) (x- \ alpha _ {2}) \ cdots (x- \ alpha _ {n})}$

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {c_ {1}} {x- \ alpha _ {1}}} + {\ frac {c_ {2}} {x- \ alpha _ {2}}} + \ cdots + {\ frac {c_ {n}} {x- \ alpha _ {n}}}}$

и решение для констант c _i путем подстановки, приравнивая коэффициенты членов, содержащих степени x , или иным образом. (Это вариант метода неопределенных коэффициентов .)

Более прямое вычисление, которое сильно связано с интерполяцией Лагранжа, состоит в записи

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {P (\ alpha _ {i})} {Q '( \ alpha _ {i})}} {\ frac {1} {(x- \ alpha _ {i})}}}$

где - производная полинома . ${\ displaystyle Q '}$${\ displaystyle Q}$

Этот подход не учитывает несколько других случаев, но может быть изменен соответствующим образом:

• Если то необходимо выполнить евклидово деление из P на Q , используя полином длинного деления , давая Р ( х ) = Е ( х ) В ( х ) + Р ( х ) с град  Р  <  п . Разделив на Q ( x ), мы получим${\ Displaystyle \ deg P \ geqslant \ deg Q,}$

${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}} = E (x) + {\ frac {R (x)} {Q (x)}},}$

а затем искать частичные дроби для дроби остатка (которая по определению удовлетворяет deg  R  <deg  Q ).

• Если Q ( x ) содержит множители, неприводимые над данным полем, то числитель N ( x ) каждой частичной дроби с таким множителем F ( x ) в знаменателе нужно искать как многочлен с deg  N  <deg  F , а не как константа. Например, возьмем следующее разложение над R :

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} +1} {(x + 2) (x-1) \ color {Blue} (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac {a } {x + 2}} + {\ frac {b} {x-1}} + {\ frac {\ color {OliveGreen} cx + d} {\ color {Синий} x ^ {2} + x + 1} }.}$

• Пусть Q ( х ) = ( х - α ) ^г S ( х ) и S ( & alpha ; ) ≠ 0 , то есть α является корнем Q ( х ) от кратности г . При разложении частичных дробей первые r степени ( x - α ) будут встречаться как знаменатели частичных дробей (возможно, с нулевым числителем). Например, если S ( x ) = 1, разложение на частичную дробь имеет вид

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {P (x)} {Q (x)}} = {\ frac {P (x)} {(x- \ alpha) ^ {r}}} = {\ frac {c_ {1 }} {x- \ alpha}} + {\ frac {c_ {2}} {(x- \ alpha) ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {c_ {r}} {(x- \ альфа) ^ {r}}}.}$

Иллюстрация

В примере применения этой процедуры (3 x + 5) / (1-2 x ) ² можно разложить в виде

${\ displaystyle {\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {\ frac {A} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ frac {B} { (1-2x)}}.}$

Очистка знаменателей показывает, что 3 x + 5 = A + B (1-2 x ) . Разложив и приравняв коэффициенты при степенях x, получим

5 = A + B и 3 x = –2 Bx

Решение этой системы линейных уравнений для A и B дает A = 13/2 и B = –3/2 . Следовательно,

${\ displaystyle {\ frac {3x + 5} {(1-2x) ^ {2}}} = {\ frac {13/2} {(1-2x) ^ {2}}} + {\ frac {- 3/2} {(1-2x)}}.}$

Остаточный метод

Предположим, что над комплексными числами f ( x ) - рациональная правильная дробь, и ее можно разложить на

${\ displaystyle f (x) = \ sum _ {i} \ left ({\ frac {a_ {i1}} {x-x_ {i}}} + {\ frac {a_ {i2}}} {(x-x_ {i}) ^ {2}}} + \ cdots + {\ frac {a_ {ik_ {i}}} {(x-x_ {i}) ^ {k_ {i}}}} \ right).}$

Позволять

${\ displaystyle g_ {ij} (x) = (x-x_ {i}) ^ {j-1} f (x),}$

тогда, согласно единственности ряда Лорана , a _ij является коэффициентом члена ( x  -  x _i ) ⁻¹ в разложении Лорана функции g _ij ( x ) относительно точки x _i , т. е. его вычетом

${\ displaystyle a_ {ij} = \ operatorname {Res} (g_ {ij}, x_ {i}).}$

Это прямо выражается формулой

${\ displaystyle a_ {ij} = {\ frac {1} {(k_ {i} -j)!}} \ lim _ {x \ to x_ {i}} {\ frac {d ^ {k_ {i} - j}} {dx ^ {k_ {i} -j}}} \ left ((x-x_ {i}) ^ {k_ {i}} f (x) \ right),}$

или в частном случае, когда x _i - простой корень,

${\ displaystyle a_ {i1} = {\ frac {P (x_ {i})} {Q '(x_ {i})}},}$

когда

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}.}$

По реалам

Частичные фракции используются в реальном переменном интегральном исчислении найти вещественнозначные первообразные от рациональных функций . Разложение на частичную дробь вещественных рациональных функций также используется для нахождения их обратных преобразований Лапласа . О приложениях разложения частичных дробей по действительным числам см.

• Приложение к символической интеграции , см. Выше
• Частичные дроби в преобразованиях Лапласа

Общий результат

Пусть f ( x ) - любая рациональная функция над действительными числами . Другими словами, предположим, что существуют действительные полиномы-функции p ( x ) и q ( x ) ≠ 0, такие что

${\ Displaystyle f (x) = {\ гидроразрыва {p (x)} {q (x)}}}$

Разделив числитель и знаменатель на старший коэффициент q ( x ), мы можем предположить без ограничения общности, что q ( x ) моничен . По основной теореме алгебры мы можем написать

${\ displaystyle q (x) = (x-a_ {1}) ^ {j_ {1}} \ cdots (x-a_ {m}) ^ {j_ {m}} (x ^ {2} + b_ {1 } x + c_ {1}) ^ {k_ {1}} \ cdots (x ^ {2} + b_ {n} x + c_ {n}) ^ {k_ {n}}}$

где a ₁ , ..., a _m , b ₁ , ..., b _n , c ₁ , ..., c _n - действительные числа с b _i ² - 4 c _i <0 и j ₁ , .. ., j _m , k ₁ , ..., k _n - натуральные числа. Термины ( х - _I ) являются линейными коэффициентами на д ( х ) , которые соответствуют вещественным корням ц ( х ), а также точки ( х _я ² + б _я х + с _я ) являются неразложимыми квадратичными коэффициентами из Q ( x ), которые соответствуют парам комплексно сопряженных корней q ( x ).

Тогда дробное разложение f ( x ) будет следующим:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {p (x)} {q (x)}} = P (x) + \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {r = 1} ^ {j_ {i}} {\ frac {A_ {ir}} {(x-a_ {i}) ^ {r}}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {r = 1} ^ {k_ {i}} {\ frac {B_ {ir} x + C_ {ir}} {(x ^ {2} + b_ {i} x + c_ {i}) ^ {r}}}}$

Здесь P ( x ) - полином (возможно, нулевой), а A _ir , B _ir и C _ir - действительные константы. Константы можно найти несколькими способами.

Самый простой способ - это умножить на общий знаменатель q ( x ). Затем мы получаем уравнение многочленов, левая часть которого равна просто p ( x ), а правая часть имеет коэффициенты, которые являются линейными выражениями констант A _ir , B _ir и C _ir . Поскольку два полинома равны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты равны, мы можем приравнять коэффициенты при одинаковых членах. Таким образом получается система линейных уравнений, которая всегда имеет единственное решение. Это решение можно найти с помощью любого из стандартных методов линейной алгебры . Его также можно найти с ограничениями (см. Пример 5 ).

Примеры

Пример 1

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}}}$

Здесь знаменатель делится на два различных линейных фактора:

${\ Displaystyle д (х) = х ^ {2} + 2x-3 = (x + 3) (x-1)}$

так что у нас есть разложение на частичную дробь

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = {\ frac {A} {x + 3}} + {\ frac {B} {x-1 }}}$

Умножение на знаменатель в левой части дает нам полиномиальное тождество

${\ Displaystyle 1 = А (х-1) + В (х + 3)}$

Подстановка x = −3 в это уравнение дает A = −1/4, а подстановка x = 1 дает B = 1/4, так что

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x ^ {2} + 2x-3}} = {\ frac {1} {4}} \ left ({\ frac {-1} {x + 3}} + {\ frac {1} {x-1}} \ right)}$

Пример 2

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}}}$

После деления в столбик имеем

${\ displaystyle f (x) = 1 + {\ frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {4x ^ { 2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}}}$

Множитель x ² - 4 x + 8 неприводим по действительным числам, так как его дискриминант (−4) ²  - 4 × 8 = - 16 отрицателен. Таким образом, разложение частичной дроби по действительным числам имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {4x ^ {2} -8x + 16} {x (x ^ {2} -4x + 8)}} = {\ frac {A} {x}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} -4x + 8}}}$

Умножая на x ³ - 4 x ² + 8 x , получаем полиномиальное тождество

${\ displaystyle 4x ^ {2} -8x + 16 = A (x ^ {2} -4x + 8) + (Bx + C) x}$

Взяв x = 0, мы видим, что 16 = 8 A , поэтому A = 2. Сравнивая коэффициенты x ² , мы видим, что 4 = A + B = 2 + B , поэтому B = 2. Сравнивая линейные коэффициенты, мы видим, что - 8 = −4 A + C = −8 + C , поэтому C = 0. В целом,

${\ displaystyle f (x) = 1 + 2 \ left ({\ frac {1} {x}} + {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} \ right)}$

Дробь может быть полностью разложена с помощью комплексных чисел . Согласно основной теореме алгебры каждый комплексный многочлен степени n имеет n (комплексных) корней (некоторые из которых могут повторяться). Вторую дробь можно разложить на:

${\ displaystyle {\ frac {x} {x ^ {2} -4x + 8}} = {\ frac {D} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {E} {x- (2 -2i)}}}$

Умножение на знаменатель дает:

${\ Displaystyle х = D (x- (2-2i)) + E (x- (2 + 2i))}$

Приравнивая коэффициенты при x и постоянные (по отношению к x ) коэффициенты обеих частей этого уравнения, мы получаем систему двух линейных уравнений относительно D и E , решение которой имеет вид

${\ displaystyle D = {\ frac {1 + i} {2i}} = {\ frac {1-i} {2}}, \ qquad E = {\ frac {1-i} {- 2i}} = { \ frac {1 + i} {2}}.}$

Таким образом, мы имеем полное разложение:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} +16} {x ^ {3} -4x ^ {2} + 8x}} = 1 + {\ frac {2} {x}} + {\ frac {1-i} {x- (2 + 2i)}} + {\ frac {1 + i} {x- (2-2i)}}}$

Можно также вычислить напрямую A , D и E с помощью метода остатка (см. Также пример 4 ниже).

Пример 3

Этот пример иллюстрирует почти все «уловки», которые нам могут понадобиться, если не считать обращения к системе компьютерной алгебры .

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {9} -2x ^ {6} + 2x ^ {5} -7x ^ {4} + 13x ^ {3} -11x ^ {2} + 12x- 4} {x ^ {7} -3x ^ {6} + 5x ^ {5} -7x ^ {4} + 7x ^ {3} -5x ^ {2} + 3x-1}}}$

После деления в столбик и разложения знаменателя на множители имеем

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2 } + 3x} {(x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) ^ {2}}}}$

Разложение на частичную дробь имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x} {(x-1) ^ {3} ( x ^ {2} +1) ^ {2}}} = {\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {B} {(x-1) ^ {2}}} + {\ frac {C} {(x-1) ^ {3}}} + {\ frac {Dx + E} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {Fx + G} {(x ^ {2}) +1) ^ {2}}}.}$

Умножая на знаменатель в левой части, получаем полиномиальное тождество

${\ displaystyle {\ begin {align} 2x ^ {6} -4x ^ {5} & + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + C (x ^ {2} +1) ^ {2} + (Dx + E) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (Fx + G) (x-1) ^ {3} \ end {выровнено }}}$

Теперь мы используем разные значения x для вычисления коэффициентов:

${\ displaystyle {\ begin {cases} 4 = 4C & x = 1 \\ 2 + 2i = (Fi + G) (2 + 2i) & x = i \\ 0 = A-B + CEG & x = 0 \ end {cases}} }$

Решая эту проблему, мы имеем:

${\ Displaystyle {\ begin {cases} C = 1 \\ F = 0, G = 1 \\ E = AB \ end {cases}}}$

Используя эти значения, мы можем написать:

${\ displaystyle {\ begin {align} 2x ^ {6} -4x ^ {5} & + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = \\ [4pt] & = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} +1) ^ {2} + B (x-1) (x ^ {2} +1) ^ {2} + (x ^ {2} + 1) ^ {2} + (Dx + (AB)) (x-1) ^ {3} (x ^ {2} +1) + (x-1) ^ {3} \\ [4pt] & = (A + D) x ^ {6} + (- A-3D) x ^ {5} + (2B + 4D + 1) x ^ {4} + (- 2B-4D + 1) x ^ {3} + (- A + 2B + 3D-1) x ^ {2} + (A-2B-D + 3) x \ end {выравнивается}}}$

Мы сравниваем коэффициенты при x ⁶ и x ⁵ с обеих сторон, и мы имеем:

${\ displaystyle {\ begin {cases} A + D = 2 \\ - A-3D = -4 \ end {cases}} \ quad \ Rightarrow \ quad A = D = 1.}$

Следовательно:

${\ displaystyle 2x ^ {6} -4x ^ {5} + 5x ^ {4} -3x ^ {3} + x ^ {2} + 3x = 2x ^ {6} -4x ^ {5} + (2B + 5) x ^ {4} + (- 2B-3) x ^ {3} + (2B + 1) x ^ {2} + (- 2B + 3) x}$

что дает нам B = 0. Таким образом, разложение на частичную дробь определяется следующим образом:

${\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 3x + 4 + {\ frac {1} {(x-1)}} + {\ frac {1} {(x-1) ^ {3}} } + {\ frac {x + 1} {x ^ {2} +1}} + {\ frac {1} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}}.}$

В качестве альтернативы, вместо расширения, можно получить другие линейные зависимости от коэффициентов, вычисляя некоторые производные в указанном выше полиномиальном тождестве. (Для этого напомним, что производная в точке x = a от ( x - a ) ^m p ( x ) равна нулю, если m > 1, и равна p ( a ) при m = 1.) Например, первая производная в точке x = 1 дает ${\ Displaystyle х = 1, \ imath}$

${\ Displaystyle 2 \ CDOT 6-4 \ CDOT 5 + 5 \ CDOT 4-3 \ CDOT 3 + 2 + 3 = A \ CDOT (0 + 0) + B \ CDOT (4 + 0) + 8 + D \ CDOT 0}$

то есть 8 = 4 B + 8, поэтому B = 0.

Пример 4 (метод остатка)

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {z ^ {2} -5} {(z ^ {2} -1) (z ^ {2} +1)}} = {\ frac {z ^ {2 } -5} {(z + 1) (z-1) (z + i) (zi)}}}$

Таким образом, f ( z ) можно разложить на рациональные функции, знаменатели которых равны z +1, z −1, z + i, z −i. Поскольку каждый член имеет степень один, −1, 1, - i и i - простые полюсы.

Следовательно, вычеты, связанные с каждым полюсом, заданным формулой

${\ displaystyle {\ frac {P (z_ {i})} {Q '(z_ {i})}} = {\ frac {z_ {i} ^ {2} -5} {4z_ {i} ^ {3 }}},}$

находятся

${\ displaystyle 1, -1, {\ tfrac {3i} {2}}, - {\ tfrac {3i} {2}},}$

соответственно, и

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {z + 1}} - {\ frac {1} {z-1}} + {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {z + i}} - {\ frac {3i} {2}} {\ frac {1} {zi}}.}$

Пример 5 (предельный метод)

Пределы могут использоваться, чтобы найти частичное разложение на дробь. Рассмотрим следующий пример:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}}}$

Во-первых, множите знаменатель, определяющий разложение:

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = {\ frac { A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}}.}$

Умножая все на и принимая предел, когда мы получаем ${\ displaystyle x-1}$${\ displaystyle x \ to 1}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} \ left ((x-1) \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2}) + x + 1}} \ right) \ right) = \ lim _ {x \ to 1} A + \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1) (Bx + C)} {x ^ {2} + x + 1}} = A.}$

С другой стороны,

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 1} {\ frac {(x-1)} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = \ lim _ {x \ to 1 } {\ frac {1} {x ^ {2} + x + 1}} = {\ frac {1} {3}},}$

и поэтому:

${\ displaystyle A = {\ frac {1} {3}}.}$

Умножая на x и принимая предел, когда мы имеем ${\ Displaystyle х \ к \ infty}$

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} x \ left ({\ frac {A} {x-1}} + {\ frac {Bx + C} {x ^ {2} + x + 1}} \ right) = \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Ax} {x-1}} + \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {Bx ^ {2} + Cx} { х ^ {2} + х + 1}} = А + В,}$

а также

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ infty} {\ frac {x} {(x-1) (x ^ {2} + x + 1)}} = 0.}$

Отсюда следует, что A + B = 0, и поэтому . ${\ displaystyle B = - {\ frac {1} {3}}}$

При x = 0 получаем и, таким образом . ${\ displaystyle -1 = -A + C,}$${\ displaystyle C = - {\ tfrac {2} {3}}}$

Собирая все вместе, получаем разложение

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {3} -1}} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {1} {x-1}} + {\ frac { -x-2} {x ^ {2} + x + 1}} \ right).}$

Пример 6 (интегральный)

Предположим, у нас есть неопределенный интеграл :

${\ displaystyle \ int {\ frac {x ^ {4} + x ^ {3} + x ^ {2} +1} {x ^ {2} + x-2}} \, dx}$

Очевидно, что перед выполнением разложения мы должны выполнить полиномиальное деление в столбик и разложить знаменатель на множители . Это приведет к:

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx}$

После этого мы теперь можем выполнить частичное разложение на дробь.

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-3x + 7} {(x + 2) (x-1)}} \, dx = \ int x ^ {2} +3+ { \ frac {A} {(x + 2)}} + {\ frac {B} {(x-1)}} \, dx}$

так:

${\ Displaystyle А (х-1) + В (х + 2) = - 3x + 7}$.

После подстановки наших значений, в этом случае, когда x = 1 для решения для B и x = -2 для решения для A, мы получим:

${\ displaystyle A = {\ frac {-13} {3}} \, B = {\ frac {4} {3}}}$

Включение всего этого обратно в наш интеграл позволяет нам найти ответ:

${\ displaystyle \ int x ^ {2} +3 + {\ frac {-13/3} {(x + 2)}} + {\ frac {4/3} {(x-1)}} \, dx = {\ frac {x ^ {3}} {3}} \ + 3x - {\ frac {13} {3}} \ ln (| x + 2 |) + {\ frac {4} {3}} \ ln (| x-1 |) + C}$

Роль полинома Тейлора

Разложение рациональной функции на частичную дробь может быть связано с теоремой Тейлора следующим образом. Позволять

${\ Displaystyle P (x), Q (x), A_ {1} (x), \ ldots, A_ {r} (x)}$

действительные или комплексные многочлены, предположим, что

${\ Displaystyle Q = \ prod _ {j = 1} ^ {r} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}},}$

удовлетворяет

${\ Displaystyle \ deg A_ {1} <\ nu _ {1}, \ ldots, \ deg A_ {r} <\ nu _ {r}, \ quad {\ text {и}} \ quad \ deg (P) <\ deg (Q) = \ sum _ {j = 1} ^ {r} \ nu _ {j}.}$

Также определите

${\ displaystyle Q_ {i} = \ prod _ {j \ neq i} (x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}} = {\ frac {Q} {(x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}}}, \ qquad 1 \ leqslant i \ leqslant r.}$

Тогда у нас есть

${\ displaystyle {\ frac {P} {Q}} = \ sum _ {j = 1} ^ {r} {\ frac {A_ {j}} {(x- \ lambda _ {j}) ^ {\ nu _ {j}}}}}$

тогда и только тогда, когда каждый многочлен является многочленом Тейлора порядка в точке : ${\ Displaystyle A_ {я} (х)}$${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$${\ displaystyle \ lambda _ {я}}$

${\ displaystyle A_ {i} (x): = \ sum _ {k = 0} ^ {\ nu _ {i} -1} {\ frac {1} {k!}} \ left ({\ frac {P } {Q_ {i}}} \ right) ^ {(k)} (\ lambda _ {i}) \ (x- \ lambda _ {i}) ^ {k}.}$

Теорема Тейлора (в действительном или комплексном случае) затем обеспечивает доказательство существования и единственности разложения на частичную дробь, а также характеристику коэффициентов.

Набросок доказательства

Вышеупомянутое разложение на частичную дробь подразумевает для каждого 1 ≤  i  ≤  r полиномиальное разложение

${\ displaystyle {\ frac {P} {Q_ {i}}} = A_ {i} + O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {for}} x \ to \ lambda _ {i},}$

так же и многочлен Тейлора из-за единственности полиномиального разложения порядка и по предположению . ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle {\ tfrac {P} {Q_ {i}}}}$${\ displaystyle \ nu _ {i} -1}$${\ Displaystyle \ deg A_ {я} <\ ню _ {я}}$

И наоборот, если полиномы Тейлора, указанные выше разложения выполняются для каждого из них , поэтому мы также имеем ${\ displaystyle A_ {i}}$${\ displaystyle \ lambda _ {я}}$

${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i} = O ((x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}), \ qquad {\ text {for}} x \ to \ лямбда _ {i},}$

откуда следует, что многочлен делится на${\ displaystyle P-Q_ {i} A_ {i}}$${\ displaystyle (x- \ lambda _ {i}) ^ {\ nu _ {i}}.}$

Ибо также делится на , поэтому ${\ displaystyle j \ neq i, Q_ {j} A_ {j}}$${\ Displaystyle (х- \ лямбда _ {я}) ^ {\ ню _ {я}}}$

${\ Displaystyle P- \ сумма _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j}}$

делится на . С ${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle \ deg \ left (P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} \ right) <\ deg (Q)}$

тогда у нас есть

${\ displaystyle P- \ sum _ {j = 1} ^ {r} Q_ {j} A_ {j} = 0,}$

и мы находим частичное разложение дроби делением на . ${\ displaystyle Q}$

Дроби целых чисел

Идея дробей может быть обобщена на другие области целостности , скажем, на кольцо целых чисел, где простые числа играют роль неприводимых знаменателей. Например:

${\ displaystyle {\ frac {1} {18}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {3 ^ {2}}} .}$

Примечания

использованная литература

• Рао, КР; Ахмед, Н. (1968). «Рекурсивные методы для получения разложения частичной дроби рациональной функции». IEEE Trans. Educ . 11 (2). С. 152–154. DOI : 10.1109 / TE.1968.4320370 .
• Хенрици, Питер (1971). «Алгоритм неполного разложения рациональной функции на дроби». З. Энгью. Математика. Phys . 22 (4). С. 751–755. DOI : 10.1007 / BF01587772 .
• Чанг, Фэн-Ченг (1973). «Рекурсивные формулы для разложения в частные дроби рациональной функции с несколькими полюсами». Proc. IEEE . 61 (8). С. 1139–1140. DOI : 10,1109 / PROC.1973.9216 .
• Кунг, HT; Тонг, DM (1977). «Быстрые алгоритмы частичного разложения на дроби». SIAM Journal on Computing . 6 (3): 582. DOI : 10,1137 / 0206042 .
• Юстис, Дэн; Кламкин, М.С. (1979). «О коэффициентах дробного разложения». Американский математический ежемесячник . 86 (6). С. 478–480. JSTOR  2320421 .
• Махони, Джей Джей; Сивазлян, Б.Д. (1983). «Разложение на частичные дроби: обзор вычислительной методологии и эффективности». J. Comput. Прил. Математика . 9 . С. 247–269. DOI : 10.1016 / 0377-0427 (83) 90018-3 .
• Миллер, Чарльз Д .; Lial, Margaret L .; Шнайдер, Дэвид I. (1990). Основы студенческой алгебры (3-е изд.). Эддисон-Уэсли Образовательное Издательство, Инк., Стр.  364–370 . ISBN 0-673-38638-4.
• Вестрейх, Дэвид (1991). «частичное расширение дроби без производной оценки». IEEE Trans. Circ. Syst . 38 (6). С. 658–660. DOI : 10.1109 / 31.81863 .
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], "Неопределенные коэффициенты, метод" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Веллеман, Дэниел Дж. (2002). «Частные дроби, биномиальные коэффициенты и интеграл от нечетной степени секунды тета». Амер. Математика. Ежемесячно . 109 (8). С. 746–749. JSTOR  3072399 .
• Слота, Дамиан; Витула, Роман (2005). «Трехкирпичный метод разложения на частные дроби некоторого типа рационального выражения». Лект. Нет. Компьютерные науки. 33516 . С. 659–662. DOI : 10.1007 / 11428862_89 .
• Кунг, Сидней Х. (2006). «Частичное разложение дроби делением». Coll. Математика. Дж . 37 (2): 132–134. DOI : 10.2307 / 27646303 . JSTOR  27646303 .
• Витула, Роман; Слота, Дамиан (2008). «Разложение некоторых рациональных функций на частичные дроби». Прил. Математика. Comput . 197 . С. 328–336. DOI : 10.1016 / j.amc.2007.07.048 . Руководство по ремонту  2396331 .

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Частичное разложение на фракции" . MathWorld .
• Блейк, Сэм. «Пошаговые дроби» .
• Выполните разложение на частичные дроби с помощью Scilab .