Минимальный многочлен (теория поля) - Minimal polynomial (field theory)

В теории поля , ветвь математики , то минимальный многочлен из значений & alpha ; , грубо говоря, многочлен от самой низкой степени , имеющих коэффициенты определенного типа, например , что α является корнем многочлена. Если минимальный многочлен α существует, он единственен. Коэффициент при члене наивысшей степени в полиноме должен быть равен 1, а указанный тип для остальных коэффициентов может быть целыми числами , рациональными числами , действительными числами и т. Д.

Более формально, минимальный многочлен определяется по отношению к расширению поля E / F и элемент поля расширения E . Минимальный многочлен элемента, если он существует, является членом F [ х ], в кольце многочленов в переменной х с коэффициентами из F . Для элемента α из E пусть J _α - множество всех многочленов f ( x ) из F [ x ], таких что f ( α ) = 0. Элемент α называется корнем или нулем каждого многочлена из J _α . Множество J _α названо так потому, что оно является идеалом в F [ x ]. Нулевой многочлен, все коэффициенты которого равны 0, присутствует в каждом J _α, поскольку 0 α ⁱ = 0 для всех α и i . Это делает нулевой многочлен бесполезным для классификации различных значений α по типам, поэтому он исключен. Если в J _α есть ненулевые многочлены , то α называется алгебраическим элементом над F и существует монический многочлен наименьшей степени в J _α . Это минимальный многочлен альфа по отношению к E / F . Она уникальна и неприводимым над F . Если нулевой полином является единственным членом J _{& alpha} ; , то α называется трансцендентным элементом над F и не имеет минимальный многочлен по отношению к E / F .

Минимальные полиномы полезны для построения и анализа расширений полей. Когда α является алгебраическим с минимальным многочленом в ( х ), наименьшее поле , которое содержит как F и альфа является изоморфно к фактор - кольца F [ х ] / ⟨ ( х )⟩, где ⟨ ( х )⟩ является идеалом F [ x ] порождается a ( x ). Минимальные полиномы также используются для определения сопряженных элементов .

Определение

Пусть E / F будет расширением поля , α элемента Е и Р [ х ] кольцо многочленов от й над F . Элемент α имеет минимальный многочлен, когда α алгебраичен над F , то есть когда f ( α ) = 0 для некоторого ненулевого многочлена f ( x ) из F [ x ]. Тогда минимальный многочлен от α определяется как монический многочлен наименьшей степени среди всех многочленов от F [ x ], имеющих α в качестве корня.

Уникальность

Пусть ( х ) минимальный многочлен альфа по отношению к E / F . Единственность a ( x ) устанавливается путем рассмотрения гомоморфизма колец sub _α из F [ x ] в E, который заменяет x на α , то есть sub _α ( f ( x )) = f ( α ). Ядро sub _α , ker (sub _α ), - это множество всех многочленов из F [ x ], у которых α является корнем. То есть ker (sub _α ) = J _α сверху. Поскольку sub _α является гомоморфизмом колец, ker (sub _α ) идеал в F [ x ]. Поскольку F [ x ] - главное кольцо, если F - поле, в ker (sub _α ) есть хотя бы один многочлен, который порождает ker (sub _α ). Такой многочлен будет иметь наименьшую степень среди всех ненулевых многочленов в ker (sub _α ), и a ( x ) считается единственным моническим многочленом среди них.

Единственность монического полинома

Предположим, что p и q - монические многочлены в J _α минимальной степени n > 0. Поскольку p - q ∈ J _α и deg ( p - q ) < n, то p - q = 0, т. Е. P = q .

Характеристики

Минимальный многочлен неприводим. Пусть E / F - расширение поля над F, как указано выше, α ∈ E и f ∈ F [ x ] - минимальный многочлен для α . Предположим, что f = gh , где g , h ∈ F [ x ] имеют меньшую степень, чем f . Теперь f ( α ) = 0. Поскольку поля также являются областями целостности , имеем g ( α ) = 0 или h ( α ) = 0. Это противоречит минимальности степени f . Таким образом, минимальные многочлены неприводимы.

Примеры

Минимальный многочлен расширения поля Галуа

Учитывая расширение поля Галуа, минимальный многочлен любого, не входящего в, может быть вычислен как ${\ displaystyle L / K}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in L}$ ${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {\ sigma \ in {\ text {Gal}} (L / K)} (x- \ sigma (\ alpha))}$

if не имеет стабилизаторов в действии Галуа. Поскольку он неприводим, что можно вывести, глядя на корни , это минимальный многочлен. Обратите внимание, что такую же формулу можно найти, заменив на где - группа стабилизатора . Например, если тогда его стабилизатор равен , значит, это его минимальный многочлен. ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle f '}$ ${\ displaystyle G = {\ text {Gal}} (L / K)}$ ${\ Displaystyle G / N}$ ${\ Displaystyle N = {\ текст {Stab}} (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in K}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle (х- \ альфа)}$

Квадратичные расширения поля

Q ( √ 2 )

Если F = Q , E = R , α = √ 2 , то минимальный многочлен для α равен a ( x ) = x ² - 2. Базовое поле F важно, поскольку оно определяет возможности для коэффициентов a ( x ) . Например, если мы возьмем F = R , то минимальный многочлен для α = √ 2 будет a ( x ) = x - √ 2 .

Q ( √ d )

В общем, для квадратичного расширения, заданного бесквадратным элементом, вычисление минимального многочлена элемента можно найти с помощью теории Галуа. потом ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {d}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} f (x) & = (x- (a + b {\ sqrt {d}})) (x- (ab {\ sqrt {d}})) \\ & = x ^ {2} -2ax + (a ^ {2} -b ^ {2} d) \ end {align}}}$

в частности, это подразумевает и . Это можно использовать для определения с помощью серии отношений с использованием модульной арифметики . ${\ displaystyle 2a \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} d \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}}$

Биквадратичные расширения поля

Если α = √ 2 + √ 3 , то минимальный многочлен в Q [ x ] равен a ( x ) = x ⁴ - 10 x ² + 1 = ( x - √ 2 - √ 3 ) ( x + √ 2 - √ 3 ) ( х - √ 2 + √ 3 ) ( х + √ 2 + √ 3 ).

Обратите внимание, если тогда действие Галуа стабилизируется . Следовательно, минимальный многочлен можно найти с помощью фактор-группы . ${\ displaystyle \ alpha = {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle {\ text {Gal}} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}, {\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q}) / {\ text {Gal}} (\ mathbb {Q} ({\ sqrt {3}}) / \ mathbb {Q})}$

Корни единства

Минимальные многочлены в Q [ x ] корней из единицы являются круговыми многочленами .

Полиномы Суиннертона-Дайера

Минимальный многочлен от Q [ x ] суммы квадратных корней первых n простых чисел строится аналогично и называется многочленом Суиннертона-Дайера .

Languages

In other projects