Тензорное произведение представлений - Tensor product of representations

В математике тензорное произведение представлений - это тензорное произведение векторных пространств, лежащих в основе представлений, вместе с факторным действием группы на произведение. Эта конструкция вместе с процедурой Клебша – Гордана может быть использована для генерации дополнительных неприводимых представлений, если некоторые уже известны.

Определение

Представительства группы

Если - линейные представления группы , то их тензорное произведение является тензорным произведением векторных пространств с линейным действием, однозначно определяемым условием, что ${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}$ ${\ displaystyle G}$

{\ Displaystyle г \ cdot (v_ {1} \ otimes v_ {2}) = (g \ cdot v_ {1}) \ otimes (g \ cdot v_ {2})}

для всех и . Хотя не каждый элемент можно выразить в форме , универсальное свойство операции тензорного произведения гарантирует, что это действие правильно определено. ${\ displaystyle v_ {1} \ in V_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {2} \ in V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}$ ${\ displaystyle v_ {1} \ otimes v_ {2}}$

На языке гомоморфизмов, если действия on и задаются гомоморфизмами и , то представление тензорного произведения задается гомоморфизмом, задаваемым формулой ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {1}: G \ rightarrow \ operatorname {GL} (V_ {1})}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {2}: G \ rightarrow \ operatorname {GL} (V_ {2})}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {1} \ otimes \ Pi _ {2}: G \ rightarrow \ operatorname {GL} (V_ {1} \ otimes V_ {2})}$

{\ Displaystyle \ Pi _ {1} \ otimes \ Pi _ {2} (g) = \ Pi _ {1} (g) \ otimes \ Pi _ {2} (g)}

,

где - тензорное произведение линейных отображений . ${\ Displaystyle \ Pi _ {1} (г) \ otimes \ Pi _ {2} (г)}$

Понятие тензорных произведений можно распространить на любое конечное число представлений. Если V - линейное представление группы G , то с указанным выше линейным действием тензорная алгебра является алгебраическим представлением группы G ; т. е. каждый элемент группы G действует как автоморфизм алгебры . ${\ Displaystyle T (V)}$

Представления алгебры Ли

Если и являются представлениями алгебры Ли , то тензорное произведение этих представлений задается отображением, задаваемым формулой ${\ displaystyle (V_ {1}, \ pi _ {1})}$ ${\ displaystyle (V_ {2}, \ pi _ {2})}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} \ otimes \ pi _ {2}: {\ mathfrak {g}} \ rightarrow \ operatorname {End} (V_ {1} \ otimes V_ {2})}$

{\ displaystyle \ pi _ {1} \ otimes \ pi _ {2} (X) = \ pi _ {1} (X) \ otimes I + I \ otimes \ pi _ {2} (X)}

.

Мотивация для этого определения исходит из случая, когда и происходят из представлений и группы Ли . В этом случае простое вычисление показывает, что представление алгебры Ли, связанное с , дается предыдущей формулой. ${\ displaystyle \ pi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {1}}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {2}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ Pi _ {1} \ otimes \ Pi _ {2}}$

Действие на линейных картах

Если и являются представлениями группы , пусть обозначает пространство всех линейных отображений из в . Тогда можно задать структуру представления, определив ${\ displaystyle (V_ {1}, \ Pi _ {1})}$ ${\ displaystyle (V_ {2}, \ Pi _ {2})}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Hom} (V_ {1}, V_ {2})}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {2}}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {Hom} (V_ {1}, V_ {2})}$

{\ displaystyle g \ cdot A = \ Pi _ {2} (g) A \ Pi _ {1} (g) ^ {- 1}}

для всех . Теперь существует естественный изоморфизм ${\ displaystyle A \ in \ operatorname {Hom} (V, W)}$

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W) \ cong V ^ {*} \ otimes W}

как векторные пространства; этот изоморфизм векторного пространства на самом деле является изоморфизмом представлений.

Тривиальное подпредставление состоит из типа G -линейных карт ; т.е. ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (V, W) ^ {G}}$

{\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {G} (V, W) = \ operatorname {Hom} (V, W) ^ {G}.}

Обозначим через алгебру эндоморфизмов V, а через A - подалгебру, состоящую из симметрических тензоров. Основная теорема инвариантных теории состояний, является полупрост , когда характеристика основного поля равна нулю. ${\ displaystyle E = \ operatorname {End} (V)}$ ${\ displaystyle E ^ {\ otimes m}}$

Теория Клебша – Гордана

Общая проблема

Тензорное произведение двух неприводимых представлений группы или алгебры Ли обычно неприводимо. Поэтому представляет интерес попытка разложить на неразложимые части. Эта проблема декомпозиции известна как проблема Клебша – Гордана. ${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ otimes V_ {2}}$

Случай SU (2)

Пример прототипа этой проблемы является случай группы вращений SO (3) -OR его двойной крышкой, в специальной унитарной группы SU (2) . Неприводимые представления SU (2) описываются параметром , возможные значения которого равны ${\ displaystyle \ ell}$

{\ Displaystyle \ ell = 0,1 / 2,1,3 / 2, \ ldots.}

(Тогда размерность представления .) Возьмем два параметра и с . Тогда представление тензорного произведения распадается следующим образом: ${\ displaystyle 2 \ ell +1}$ ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle \ ell \ geq m}$ ${\ displaystyle V _ {\ ell} \ время от времени V_ {m}}$

{\ displaystyle V _ {\ ell} \ otimes V_ {m} \ cong V _ {\ ell + m} \ oplus V _ {\ ell + m-1} \ oplus \ cdots \ oplus V _ {\ ell -m + 1} \ oplus V _ {\ ell -m}.}

Рассмотрим, например, тензорное произведение четырехмерного представления и трехмерного представления . Представление тензорного произведения имеет размерность 12 и разлагается как ${\ displaystyle V_ {3/2}}$ ${\ displaystyle V_ {1}}$ ${\ displaystyle V_ {3/2} \ иногда V_ {1}}$

{\ Displaystyle V_ {3/2} \ иногда V_ {1} \ cong V_ {5/2} \ oplus V_ {3/2} \ oplus V_ {1/2}}

,

где представления в правой части имеют размерность 6, 4 и 2 соответственно. Мы можем резюмировать этот результат арифметически как . ${\ Displaystyle 4 \ раз 3 = 6 + 4 + 2}$

Случай SU (3)

В случае группы SU (3) все неприводимые представления могут быть сгенерированы из стандартного трехмерного представления и двойственного к нему следующим образом. Чтобы сгенерировать представление с меткой , берется тензорное произведение копий стандартного представления и копий двойственного к стандартному представлению, а затем берется инвариантное подпространство, порожденное тензорным произведением векторов старшего веса. ${\ Displaystyle (м_ {1}, м_ {2})}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$

В отличие от ситуации для SU (2), в разложении Клебша – Гордана для SU (3) данное неприводимое представление может встречаться более одного раза в разложении . ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle U \ otimes V}$

Тензорная мощность

Как и в случае с векторными пространствами, можно определить k- ^ю тензорную степень представления V как векторное пространство с действием, указанным выше. ${\ displaystyle V ^ {\ otimes k}}$

Симметричный и чередующийся квадрат

Над полем нулевой характеристики симметричный и чередующийся квадраты являются подпредставлениями второй тензорной степени. Они могут быть использованы для определения показателя Фробениуса-Шура , который указывает , является ли данный неприводимый характер является реальным , сложным или кватернионно- . Они являются примерами функторов Шура . Они определяются следующим образом.

Пусть V - векторное пространство . Определим эндоморфизм (Self-карту) T из следующим образом : ${\ displaystyle V \ otimes V}$

{\ displaystyle {\ begin {align} T: V \ otimes V & \ longrightarrow V \ otimes V \\ v \ otimes w & \ longmapsto w \ otimes v. \ end {align}}}

Это инволюция (это его собственное обратное), и поэтому является автоморфизм (само- изоморфизм ) из . ${\ displaystyle V \ otimes V}$

Определим два подмножества второго тензора мощности из V ,

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Sym} ^ {2} (V) &: = \ {v \ in V \ otimes V \ mid T (v) = v \} \\\ operatorname {Alt} ^ {2} (V) &: = \ {v \ in V \ otimes V \ mid T (v) = - v \} \ end {align}}}

Они являются симметричным квадратом V , и переменным квадрат V , соответственно. Симметричные и чередующиеся квадраты также известны как симметричная и антисимметричная части тензорного произведения. ${\ Displaystyle V \ odot V}$ ${\ Displaystyle V \ клин V}$

Характеристики

Вторая тензорная степень линейного представления V группы G разлагается как прямая сумма симметричных и чередующихся квадратов:

{\ displaystyle V ^ {\ otimes 2} = V \ otimes V \ cong \ operatorname {Sym} ^ {2} (V) \ oplus \ operatorname {Alt} ^ {2} (V)}

как представления. В частности, оба являются подпредставлениями второй тензорной степени. На языке модулей над кольцом группы , симметричные и чередующиеся квадраты - подмодули из . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [G]}$ ${\ displaystyle V \ otimes V}$

Если V имеет основу , то симметричный квадрат имеет основу, а переменный квадрат имеет основу . Соответственно, ${\ Displaystyle \ {v_ {1}, v_ {2}, \ ldots, v_ {n} \}}$ ${\ displaystyle \ {v_ {i} \ otimes v_ {j} + v_ {j} \ otimes v_ {i} \ mid 1 \ leq i \ leq j \ leq n \}}$ ${\ displaystyle \ {v_ {i} \ otimes v_ {j} -v_ {j} \ otimes v_ {i} \ mid 1 \ leq i <j \ leq n \}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ dim \ operatorname {Sym} ^ {2} (V) & = {\ frac {\ dim V (\ dim V + 1)} {2}}, \\\ dim \ имя оператора {Alt} ^ {2} (V) & = {\ frac {\ dim V (\ dim V-1)} {2}}. \ end {align}}}

Пусть будет символ из . Тогда мы можем вычислить характеры симметричных и чередующихся квадратов следующим образом: для всех g в G , ${\ displaystyle \ chi: G \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle V}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ chi _ {\ operatorname {Sym} ^ {2} (V)} (g) & = {\ frac {1} {2}} (\ chi (g) ^ {2 } + \ chi (g ^ {2})), \\\ chi _ {\ operatorname {Alt} ^ {2} (V)} (g) & = {\ frac {1} {2}} (\ chi (g) ^ {2} - \ chi (g ^ {2})). \ end {align}}}

Симметричные и внешние силы

Как и в полилинейной алгебре , над полем нулевой характеристики в более общем случае можно определить k- ^ю симметричную степень и k- ^ювнешнюю степень , которые являются подпространствами k- ^й тензорной степени (см. Эти страницы для более подробной информации об этой конструкции). Они также являются подпредставлениями, но более высокие тензорные степени больше не разлагаются как их прямая сумма. ${\ displaystyle \ operatorname {Sym} ^ {n} (V)}$ ${\ displaystyle \ Lambda ^ {n} (V)}$

Двойственность Шура-Вейля вычисляет неприводимые представления , возникающие в тензорных степеней представлений общей линейной группы . Точнее, как -модуль ${\ Displaystyle G = \ OperatorName {GL} (V)}$ ${\ Displaystyle S_ {п} \ раз G}$

{\ displaystyle V ^ {\ otimes n} \ simeq \ bigoplus _ {\ lambda} M _ {\ lambda} \ otimes S ^ {\ lambda} (V)}

где

${\ displaystyle M _ {\ lambda}}$ является неприводимым представлением симметрической группы , соответствующей перегородкой из п (в порядке убывания), ${\ displaystyle S_ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$
${\ Displaystyle S ^ {\ lambda} (V)}$ - образ симметризатора Юнга . ${\ displaystyle c _ {\ lambda}: V ^ {\ otimes n} \ to V ^ {\ otimes n}}$

Отображение - это функтор, называемый функтором Шура . Он обобщает конструкции симметричных и внешних степеней: ${\ Displaystyle V \ mapsto S ^ {\ lambda} (V)}$

{\ Displaystyle S ^ {(n)} (V) = \ operatorname {Sym} ^ {n} V, \, \, S ^ {(1,1, \ dots, 1)} (V) = \ клин ^ {n} V.}

В частности, как G -модуль, вышеизложенное упрощается до

{\ displaystyle V ^ {\ otimes n} \ simeq \ bigoplus _ {\ lambda} S ^ {\ lambda} (V) ^ {\ oplus m _ {\ lambda}}}

где . Более того, кратность можно вычислить по формуле Фробениуса (или формуле длины крючка ). Например, возьмите . Тогда существует ровно три раздела: и, как выясняется, . Следовательно, ${\ displaystyle m _ {\ lambda} = \ dim M _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle m _ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle n = 3}$ ${\ Displaystyle 3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1}$ ${\ Displaystyle м _ {(3)} = м _ {(1,1,1)} = 1, \, м _ {(2,1)} = 2}$

{\ displaystyle V ^ {\ otimes 3} \ simeq \ operatorname {Sym} ^ {3} V \ bigoplus \ wedge ^ {3} V \ bigoplus S ^ {(2,1)} (V) ^ {\ oplus 2 }.}

Тензорные произведения с участием функторов Шура

Обозначим через функтор Шура, определенный согласно разбиению . Тогда существует следующая декомпозиция: ${\ Displaystyle S ^ {\ lambda}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

{\ displaystyle S ^ {\ lambda} V \ otimes S ^ {\ mu} V \ simeq \ bigoplus _ {\ nu} (S ^ {\ nu} V) ^ {\ oplus N _ {\ lambda \ mu \ nu} }}

где кратности задаются правилом Литтлвуда – Ричардсона . ${\ displaystyle N _ {\ lambda \ mu \ nu}}$

Учитывая конечномерен векторные пространства V , W , то функторы Шура S ^λ дают разложение

{\ displaystyle \ operatorname {Sym} (W ^ {*} \ otimes V) \ simeq \ bigoplus _ {\ lambda} S ^ {\ lambda} (W ^ {*}) \ otimes S ^ {\ lambda} (V )}

Левая часть может быть отождествлена с кольцом k [Hom ( V , W )] = k [ V ^* ⊗ W ] полиномиальных функций на Hom ( V , W ), поэтому приведенное выше также дает разложение k [Hom ( V , W )].

Представления тензорных продуктов как представления групп товаров

Пусть G , H - две группы и пусть и - представления G и H соответственно. Тогда мы можем позволить прямой группе продуктов действовать в пространстве тензорных произведений по формуле ${\ Displaystyle (\ пи, В)}$ ${\ Displaystyle (\ rho, W)}$ ${\ displaystyle G \ times H}$ ${\ displaystyle V \ otimes W}$

{\ displaystyle (g, h) \ cdot (v \ otimes w) = \ pi (g) v \ otimes \ rho (h) w.}

Даже если мы все еще можем выполнить это построение, так что тензорное произведение двух представлений может, в качестве альтернативы, рассматриваться как представление, а не представление . Поэтому важно уточнить, рассматривается ли тензорное произведение двух представлений как представление или как представление . ${\ displaystyle G = H}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G \ times G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G \ times G}$

В отличие от проблемы Клебша – Гордана, рассмотренной выше, тензорное произведение двух неприводимых представлений неприводимо, если рассматривать его как представление группы произведения . ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G \ times G}$

Languages

In other projects