Модуль Хариш-Чандры - Harish-Chandra module

В математике , особенно в теории представлений групп Ли , модуль Хариш-Чандры , названный в честь индийского математика и физика Хариш-Чандры , представляет собой представление реальной группы Ли , связанной с общим представлением, с условиями регулярности и конечности. Когда ассоциированное представление является -модулем, тогда его модуль Хариш-Чандры является представлением с желаемыми свойствами факторизации. ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, К)}$

Определение

Пусть G группа Ли и K компактная подгруппа из G . Если это представление G , то модуль Хариш-Чандры из есть подпространство X из V , состоящий из K-конечного гладких векторов в V . Это означает, что X включает в себя именно те векторы v такие, что отображение через ${\ Displaystyle (\ пи, В)}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle \ varphi _ {v}: G \ longrightarrow V}$

${\ Displaystyle \ varphi _ {v} (g) = \ pi (g) v}$

гладко, а подпространство

${\ displaystyle {\ text {span}} \ {\ pi (k) v: k \ in K \}}$

конечномерна.

Примечания

В 1973 году Леповски показал, что любой неприводимый -модуль X изоморфен модулю Хариш-Чандры неприводимого представления группы G в гильбертовом пространстве . Такие представления допустимы , то есть они разлагаются аналогично факторизации целых чисел на простые множители. (Конечно, разложение может иметь бесконечно много различных множителей!) Кроме того, результат Хариш-Чандры показывает, что если G - редуктивная группа Ли с максимальной компактной подгруппой K , а X - неприводимый -модуль с положительно определенной эрмитовой формой удовлетворение ${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, К)}$${\ Displaystyle ({\ mathfrak {g}}, К)}$

${\ Displaystyle \ langle к \ cdot v, w \ rangle = \ langle v, k ^ {- 1} \ cdot w \ rangle}$

и

${\ Displaystyle \ langle Y \ cdot v, w \ rangle = - \ langle v, Y \ cdot w \ rangle}$

для всех и , то Х представляет собой модуль Хариш-Чандры уникального неприводимого унитарного представления группы  G . ${\ displaystyle Y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle k \ in K}$

Рекомендации

• Воган-младший, Дэвид А. (1987), Унитарные представления редуктивных групп Ли , Annals of Mathematics Studies, 118 , Princeton University Press, ISBN   978-0-691-08482-4

Смотрите также

• (g, K) -модуль
• Допустимое представительство
• Унитарное представительство