Якоби личность - Jacobi identity

В математике , то тождество Якоби является свойством бинарной операции , которая описывает , как порядок оценки, расстановка скобок в кратном продукта, влияет на результате операции. Напротив, для операций с ассоциативным свойством любой порядок оценки дает тот же результат (скобки в нескольких продуктах не нужны). Идентичность названа в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби .

Как кросс-произведение, так и скобка Ли удовлетворяют тождеству Якоби. В аналитической механике тождеству Якоби удовлетворяют скобки Пуассона . В квантовой механике ему удовлетворяют операторные коммутаторы в гильбертовом пространстве и, что эквивалентно, в формулировке квантовой механики в фазовом пространстве - скобка Мойала . ${\ displaystyle a \ times b}$ ${\ Displaystyle [а, б]}$

Определение

Множество A с двумя бинарными операциями + и × с аддитивным тождеством 0 удовлетворяет условию Тождество Якоби, если:

$${\ Displaystyle х \ раз (у \ раз г) \ + \ г \ раз (х \ раз у) \ + \ у \ раз (г \ раз х) \ = \ 0 \ квад {\ текст {для всех}} \ {x, y, z} \ in A.}$$

Левая часть представляет собой сумму всех четных перестановок x × ( y × z ) : круглые скобки остаются неизменными, а буквы меняются местами четное количество раз.

Форма кронштейна коммутатора

Простейший информативный пример алгебры Ли строится из (ассоциативного) кольца матриц, которые можно рассматривать как бесконечно малые движения n- мерного векторного пространства. Операция × - это коммутатор , который измеряет отказ коммутативности при умножении матриц. Вместо этого используется обозначение скобок Ли: ${\ Displaystyle п \ раз п}$${\ Displaystyle X \ раз Y}$

${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX.}$

В этих обозначениях тождество Якоби:

Это легко проверить расчетом.

Вообще, если ассоциативная алгебра и V является подпространством A замкнут относительно операции скобки: принадлежит V для всех , тождество Якоби продолжает удерживать на V . Таким образом, если бинарная операция удовлетворяет тождеству Якоби, можно сказать, что она ведет себя так, как если бы она была задана некоторой ассоциативной алгеброй, даже если она фактически не определена таким образом. ${\ Displaystyle [X, Y] = XY-YX}$${\ displaystyle X, Y \ in V}$${\ displaystyle [X, Y]}$${\ displaystyle XY-YX}$

Используя свойство антисимметрии , тождество Якоби можно переписать как модификацию ассоциативного свойства : ${\ displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}$

${\ displaystyle [[X, Y], Z] = [X, [Y, Z]] - [Y, [X, Z]] ~.}$

Если - действие бесконечно малого движения X на Z , это можно сформулировать как: ${\ displaystyle [X, Z]}$

Действие Y, за которым следует X (оператор ), за вычетом действия X, за которым следует Y (оператор ), равно действию , (оператор ). ${\ Displaystyle [Х, [Y, \ cdot \]]}$${\ Displaystyle ([Y, [X, \ cdot \]]}$${\ displaystyle [X, Y]}$${\ Displaystyle [[X, Y], \ cdot \]}$

Существует также множество градуированных тождеств Якоби, включающих антикоммутаторы , например: ${\ displaystyle \ {X, Y \}}$

${\ Displaystyle [\ {X, Y \}, Z] + [\ {Y, Z \}, X] + [\ {Z, X \}, Y] = 0, \ qquad [\ {X, Y \ }, Z] + \ {[Z, Y], X \} + \ {[Z, X], Y \} = 0.}$

Присоединенная форма

Наиболее распространенные примеры тождества Якоби - умножение скобок на алгебрах Ли и кольцах Ли . Личность Якоби записывается как: ${\ Displaystyle [х, у]}$

${\ displaystyle [x, [y, z]] + [z, [x, y]] + [y, [z, x]] = 0.}$

Поскольку умножение скобок антисимметрично , тождество Якоби допускает две эквивалентные переформулировки. Определяя сопряженный оператор , тождество становится: ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x}: y \ mapsto [x, y]}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {x} [y, z] = [\ operatorname {ad} _ {x} y, z] + [y, \ operatorname {ad} _ {x} z].}$

Таким образом, тождество Якоби для алгебр Ли утверждает, что действие любого элемента на алгебре является дифференцированием . Эта форма тождества Якоби также используется для определения понятия алгебры Лейбница .

Другая перестановка показывает, что тождество Якоби эквивалентно следующему тождеству между операторами присоединенного представления:

${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {[x, y]} = [\ operatorname {ad} _ {x}, \ operatorname {ad} _ {y}].}$

Здесь скобка слева - это операция исходной алгебры, скобка справа - коммутатор композиции операторов, а тождество утверждает, что отображение, переводящее каждый элемент в его присоединенное действие, является гомоморфизмом алгебры Ли . ${\ displaystyle \ mathrm {ad}}$

Связанные личности

Идентичность Холла-Витта является аналогичным тождеством для коллекторной работы в группе .

Следующее тождество следует из антикоммутативности и тождества Якоби и имеет место в произвольной алгебре Ли:

${\ displaystyle [x, [y, [z, w]]] + [y, [x, [w, z]]]] + [z, [w, [x, y]]] + [w, [z , [y, x]]] = 0.}$

Смотрите также

• Структурные константы
• Супер идентичность Якоби
• Лемма о трех подгруппах (тождество Холла – Витта)

использованная литература

• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666.

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Якоби идентичности» . MathWorld .