Максимальная компактная подгруппа - Maximal compact subgroup

В математике , максимальный компактная подгруппа K из топологической группы G является подгруппа K , что является компактным пространством , в топологии подпространства , и максимальный среди таких подгрупп.

Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и особенно полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли, вообще говоря, не единственны, но единственны с точностью до сопряжения - они единственны по существу .

пример

Примером может служить подгруппа O (2), ортогональная группа , внутри общей линейной группы GL (2, R ). Связанный пример - круговая группа SO (2) внутри SL (2, R ) . Очевидно, SO (2) внутри GL (2, R ) компактно и не является максимальным. Неединственность этих примеров можно увидеть, поскольку любой внутренний продукт имеет ассоциированную ортогональную группу, а существенная уникальность соответствует существенной уникальности внутреннего продукта.

Определение

Максимальная компактная подгруппа - это максимальная подгруппа среди компактных подгрупп - максимальная (компактная подгруппа) - а не (альтернативное возможное прочтение) максимальная подгруппа, которая оказывается компактной; который, вероятно, можно было бы назвать компактным (максимальная подгруппа) , но в любом случае не имеет предполагаемого значения (и на самом деле максимальные собственные подгруппы в общем случае не компактны).

Существование и уникальность

Теорема Картана-Ивасавы-Мальцева утверждает, что каждая связная группа Ли (и действительно каждая связная локально компактная группа) допускает максимальные компактные подгруппы и что все они сопряжены друг с другом. Для полупростой группы Ли единственность является следствием теоремы Картана о неподвижной точке , которая утверждает, что если компактная группа действует изометриями на полном односвязном римановом многообразии с отрицательной кривизной, то она имеет неподвижную точку.

Максимальные компактные подгруппы связных групп Ли, как правило , не уникальны, но они являются уникальными с точностью до сопряжения, а это означает , что указанные две максимальные компактные подгруппы К и L , существует элемент г ∈ G такое , что ГКГ ^-1 = л . Следовательно, максимальная компактная подгруппа по существу единственна , и люди часто говорят о «максимальной компактной подгруппе».

Для примера общей линейной группы GL ( n , R ) это соответствует тому факту, что любое скалярное произведение на R ⁿ определяет (компактную) ортогональную группу (ее группу изометрий) и что оно допускает ортонормированный базис: замена of base определяет сопрягающий элемент, сопрягающий группу изометрий с классической ортогональной группой O ( n , R ).

Доказательства

Для вещественной полупростой группы Ли картановское доказательство существования и единственности максимальной компактной подгруппы можно найти в Бореле (1950) и Хельгасоне (1978) . Картье (1955) и Хохшильд (1965) обсуждают расширение на связные группы Ли и связные локально компактные группы.

Для полупростых групп существование является следствием существования компактной вещественной формы некомпактной полупростой группы Ли и соответствующего разложения Картана . Доказательство единственности опирается на тот факт, что соответствующее риманово симметрическое пространство G / K имеет отрицательную кривизну и теорему Картана о неподвижной точке. Мостоу (1955) показал, что производная экспоненциального отображения в любой точке G / K удовлетворяет | d exp X | ≥ | X |. Это означает, что G / K - пространство Адамара , т.е. полное метрическое пространство, удовлетворяющее ослабленной форме правила параллелограмма в евклидовом пространстве. Тогда единственность можно вывести из теоремы Брюа-Титса о неподвижной точке . Действительно, любое ограниченное замкнутое множество в пространстве Адамара содержится в единственном наименьшем замкнутом шаре, центр которого называется его центром описанной окружности . В частности, компактная группа, действующая изометриями, должна фиксировать центр описанной окружности каждой из своих орбит.

Доказательство единственности для полупростых групп

Мостоу (1955) также связал общую проблему для полупростых групп со случаем GL ( n , R ). Соответствующее симметричное пространство - это пространство положительно симметричных матриц. Прямое доказательство единственности, основанное на элементарных свойствах этого пространства, дано в Hilgert & Neeb (2012) .

Пусть - вещественная полупростая алгебра Ли с инволюцией Картана σ. Таким образом, подгруппа неподвижной точки в σ является максимальной компактной подгруппой K и существует разложение собственного подпространства ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {p}},}}$

где алгебра Ли K является собственным подпространством +1. Разложение Картана дает ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {G = K \ cdot \ exp {\ mathfrak {p}} = K \ cdot P = P \ cdot K.}}$

Если B является формой Киллинга на задается B ( X , Y ) = Tr (объявление X) (Y) объявления, то ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {(X, Y) _ {\ sigma} = - B (X, \ sigma (Y))}}$

это настоящий внутренний продукт . При присоединенном представлении K - подгруппа группы G , сохраняющая этот скалярный продукт. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Если H является еще компактной подгруппой в G , то в среднем скалярного произведения над Н относительно меры Хаара дает внутренний инвариант продукта при H . Операторы Ad p с p в P являются положительно симметричными операторами. Этот новый внутренний продукт можно записать как

${\ Displaystyle (S \ cdot X, Y) _ {\ sigma},}$

где S - положительно симметричный оператор на такой, что Ad ( h ) ^t S Ad h = S для h в H (с транспонированием, вычисляемым относительно внутреннего произведения). Кроме того, для й в G , ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {\ mathrm {Ad} \, \ sigma (x) = (\ mathrm {Ad} \, (x) ^ {- 1}) ^ {t}.}}$

Итак, для h в H ,

${\ Displaystyle \ Displaystyle {S \ circ \ mathrm {Ad} (\ sigma (h)) = \ mathrm {Ad} (h) \ circ S.}}$

Для X в определите ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {е (е ^ {X}) = \ mathrm {Tr} \, \ mathrm {Ad} (е ^ {X}) S.}}$

Если e _i - ортонормированный базис собственных векторов для S с Se _i = λ _i e _i , то

${\ Displaystyle \ Displaystyle {е (е ^ {X}) = \ сумма \ лямбда _ {я} (\ mathrm {Ad} (е ^ {X}) е_ {я}, е_ {я}) _ {\ сигма } \ geq (\ min \ lambda _ {i}) \ cdot \ mathrm {Tr} \, e ^ {\ mathrm {ad} \, X},}}$

так что f строго положительно и стремится к ∞ при | X | стремится к ∞. Фактически эта норма эквивалентна операторной норме на симметричных операторах ad X, и каждое ненулевое собственное значение встречается со своим отрицательным числом, поскольку i ad X - кососопряженный оператор на компактной вещественной форме . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {k}} \ oplus я {\ mathfrak {p}}}$

Итак, f имеет глобальный минимум, скажем, в Y. Этот минимум уникален, потому что если бы Z был другим, то

${\ Displaystyle \ Displaystyle {е ^ {Z} = е ^ {Y / 2} е ^ {X} е ^ {Y / 2},}}$

где X in определяется разложением Картана ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {e ^ {Z / 2} e ^ {- Y / 2} = k \ cdot e ^ {X / 2}.}}$

Если f _i - ортонормированный базис собственных векторов ad X с соответствующими действительными собственными значениями μ _i , то

${\ displaystyle \ displaystyle {g (t) = f (e ^ {Y / 2} e ^ {tX} e ^ {Y / 2}) = \ sum e ^ {\ mu _ {i} t} \ | Ad (e ^ {Y / 2}) f_ {i} \ | _ {\ sigma} ^ {2}.}}$

Так как правая сторона является положительной комбинацией экспонента, реальная функцией г является строго выпуклым , если Х ≠ 0, поэтому имеет единственный минимум. С другой стороны, он имеет локальные минимумы при t = 0 и t = 1, следовательно, X = 0 и p = exp Y - единственный глобальный минимум. По построению F ( х ) = F (σ ( ч ) XH ^-1 ) для ч в Н , так что р = σ ( ч ) рН ^-1 для ч в H . Следовательно, σ ( h ) = php ⁻¹ . Следовательно, если г = ехр Y / 2, GHG ^-1 фиксируется сг и , следовательно , лежит в K .

Приложения

Теория представлений

Максимальные компактные подгруппы играют основную роль в теории представлений, когда G некомпактна. В этом случае максимальная компактная подгруппа K является компактной группой Ли (поскольку замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли), для которой теория проще.

Операции, связывающие теории представлений G и K , ограничивают представления от G до K и порождают представления от K до G , и они довольно хорошо поняты; их теория включает теорию сферических функций .

Топология

Алгебраической топологии групп Ли также в значительной степени осуществляется с помощью максимальной компактной подгруппы K . Чтобы быть точным, связная группа Ли является топологическим произведением (хотя и не теоретико-групповым произведением) максимального компакта K и евклидова пространства - G = K × R ^d - таким образом, в частности, K является деформационным ретрактом группы G и является гомотопически эквивалентны , и, следовательно, они имеют одинаковые гомотопические группы . Действительно, включение и ретракция деформации являются гомотопическими эквивалентностями . ${\ displaystyle K \ hookrightarrow G}$${\ displaystyle G \ twoheadrightarrow K}$

Для общей линейной группы это разложение является QR-разложением , а ретракция деформации - это процесс Грама-Шмидта . Для общей полупростой группы Ли это разложение - это разложение Ивасавы группы G как G = KAN, в котором K входит в произведение со стягиваемой подгруппой AN .

Смотрите также

• Гиперспециальная подгруппа
• Комплексная группа Ли

Ноты

Ссылки

• Борель, Арманд (1950), Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie (Exposé No. 33) , Séminaire Bourbaki, 1
• Картье, П. (1955), Топологическая структура групп Женеро (Выставка № 22) , Семинар "Sophus Lie", 1
• Дьедонне Дж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, Глава XXI , Трактат по анализу, 5 , Academic Press, ISBN 012215505X
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
• Хильгерт, Иоахим; Neeb, Karl-Hermann (2012), Структура и геометрия групп Ли , Монографии Springer по математике, Springer, ISBN 0387847944
• Хохшильд Г. (1965), Строение групп Ли , Холден-Дей.
• Мостов, GD (1955), Некоторые новые теоремы о разложении для полупростых групп , Mem. Амер. Математика. Soc., 14 , с. 31–54
• Онищик А.Л .; Винберг, Е.Б. (1994), Группы Ли и алгебры Ли III: Структура групп Ли и алгебр Ли , Энциклопедия математических наук, 41 , Springer, ISBN 9783540546832
• Мальцев А. (1945), "К теории групп Ли в целом", Матем. Сборник , 16 : 163–189.
• Ивасава, К. (1949), "О некоторых типах топологических групп", Ann. математики. , 50 : 507-558, DOI : 10,2307 / 1969548