Поле разделения - Splitting field

В абстрактной алгебре , поле разложения из многочлена с коэффициентами в поле является наименьшим расширением поля этого поля , над которым многочлен расколы или разлагается на линейные множители .

Определение

Поле разложения многочлена р ( Х ) над полем K является расширение поля L из K над которой р факторов на линейные множители

${\ displaystyle p (X) = c \ prod _ {i = 1} ^ {\ deg (p)} (X-a_ {i})}$

где и для каждого мы имеем с в _I не обязательно различны , и такой , что корни _я порождают L над K . Расширение L тогда является расширением минимальной степени над K, в котором p расщепляется. Можно показать, что такие поля расщепления существуют и единственны с точностью до изоморфизма. Степень свободы в этом изоморфизме известна как группа Галуа для p (если мы предполагаем, что она сепарабельна ). ${\ displaystyle c \ in K}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle (X-a_ {я}) \ в L [X]}$

Характеристики

Расширение L , который является полем разложения для множества многочленов р ( х ) над К называется нормальное расширение из K .

Дано алгебраически замкнутое поле A , содержащее K , существует единственное поле разложения л из р между К и А , порождается корнями из р . Если K - подполе комплексных чисел , существование немедленно. С другой стороны, существование алгебраических замыканий в общем случае часто доказывается «предельным переходом» из результата поля расщепления, что, следовательно, требует независимого доказательства, чтобы избежать круговых рассуждений .

Учитывая разъемные расширения K 'из K , A Галуа замыкание L из K ' представляет собой тип поля расщепления, а также расширение Галуа из K , содержащий K ' , который является минимальным, в очевидном смысле. Такое замыкание Галуа должно содержать поле расщепления для всех многочленов p над K, которые являются минимальными многочленами над K от элементов a из K ′.

Построение полей разбиения

Мотивация

Поиск корней многочленов был важной проблемой со времен древних греков. Однако некоторые многочлены, такие как x ² + 1 над R , действительными числами, не имеют корней. Построив поле расщепления для такого многочлена, можно найти корни многочлена в новом поле.

Постройка

Пусть F - поле и p ( X ) - многочлен из кольца многочленов F [ X ] степени n . Общий процесс построения K , поля расщепления p ( X ) над F , состоит в построении такой цепочки полей , что K _i является расширением K _{i −1,} содержащим новый корень p ( X ). Поскольку p ( X ) имеет не более n корней, конструкция потребует не более n расширений. Шаги для построения K _i даны следующим образом: ${\ Displaystyle F = K_ {0} \ подмножество K_ {1} \ subset \ cdots \ subset K_ {r-1} \ subset K_ {r} = K}$

• Разложите p ( X ) над K _i на неприводимые множители .${\ displaystyle f_ {1} (X) f_ {2} (X) \ cdots f_ {k} (X)}$
• Выберем любой нелинейный неприводимый множитель f ( X ) = f _i ( X ).
• Построить расширение поля K _{я + 1} из K _я как фактор - кольца К _{я + 1} = К _я [ Х ] / ( F ( X )) , где ( е ( Х )) обозначает идеал в K _я [ X ] , порожденный f ( X ).
• Повторите процесс для K _{i +1,} пока p ( X ) полностью не фактор.

Неприводимый множитель f _i ( X ), используемый в построении фактора, может быть выбран произвольно. Хотя различный выбор факторов может привести к разным последовательностям подполей, результирующие поля разделения будут изоморфными.

Поскольку f ( X ) неприводимо, ( f ( X )) - максимальный идеал в K _i [ X ], а K _i [ X ] / ( f ( X )) фактически является полем. Более того, если мы допустим естественную проекцию кольца на его фактор, то ${\ displaystyle \ pi: K_ {i} [X] \ to K_ {i} [X] / (f (X))}$

${\ Displaystyle f (\ pi (X)) = \ pi (f (X)) = f (X) \ {\ bmod {\}} f (X) = 0}$

поэтому π ( X ) является корнем f ( X ) и p ( X ).

Степень однократного расширения равна степени неприводимого множителя f ( X ). Степень расширения [ K  : F ] задается формулой и не превосходит n !. ${\ Displaystyle [К_ {я + 1}: К_ {я}]}$${\ displaystyle [K_ {r}: K_ {r-1}] \ cdots [K_ {2}: K_ {1}] [K_ {1}: F]}$

Поле K _i [ X ] / ( f ( X ))

Как упоминалось выше, факторкольцо K _{i +1} = K _i [ X ] / ( f ( X )) является полем, когда f ( X ) неприводимо. Его элементы имеют вид

${\ displaystyle c_ {n-1} \ alpha ^ {n-1} + c_ {n-2} \ alpha ^ {n-2} + \ cdots + c_ {1} \ alpha + c_ {0}}$

где c _j находятся в K _i и α = π ( X ). (Если рассматривать K _{i +1} как векторное пространство над K _i, то степени α ^j для 0 ≤ j ≤ n −1 образуют базис.)

Элементы K _{i +1} можно рассматривать как многочлены от α степени меньше n . Сложение в K _{i +1} дается правилами полиномиального сложения, а умножение дается полиномиальным умножением по модулю f ( X ). То есть для g (α) и h (α) в K _{i +1} произведение g (α) h (α) = r (α), где r ( X ) - остаток от g ( X ) h ( X ) делится на f ( X ) в K _i [ X ].

Остаток r ( X ) может быть вычислен путем деления многочленов в длину, однако существует также простое правило редукции, которое можно использовать для прямого вычисления r (α) = g (α) h (α). Сначала позвольте

${\ displaystyle f (X) = X ^ {n} + b_ {n-1} X ^ {n-1} + \ cdots + b_ {1} X + b_ {0}.}$

Многочлен находится над полем, поэтому можно считать f ( X ) моническим без ограничения общности. Теперь α является корнем f ( X ), поэтому

${\ displaystyle \ alpha ^ {n} = - (b_ {n-1} \ alpha ^ {n-1} + \ cdots + b_ {1} \ alpha + b_ {0}).}$

Если в произведении g (α) h (α) есть член α ^m с m ≥ n, его можно сократить следующим образом:

${\ displaystyle \ alpha ^ {n} \ alpha ^ {mn} = - \ left (b_ {n-1} \ alpha ^ {n-1} + \ cdots + b_ {1} \ alpha + b_ {0} \ вправо) \ alpha ^ {mn} = - \ left (b_ {n-1} \ alpha ^ {m-1} + \ cdots + b_ {1} \ alpha ^ {m-n + 1} + b_ {0} \ alpha ^ {mn} \ right)}$.

В качестве примера правила редукции возьмем K _i = Q [ X ], кольцо многочленов с рациональными коэффициентами, и возьмем f ( X ) = X ⁷ - 2. Пусть и h (α) = α ³ +1 два элементы Q [ X ] / ( X ⁷ - 2). Правило редукции, задаваемое функцией f ( X ), α ⁷ = 2, поэтому ${\ Displaystyle г (\ альфа) = \ альфа ^ {5} + \ альфа ^ {2}}$

${\ Displaystyle г (\ альфа) час (\ альфа) = \ влево (\ альфа ^ {5} + \ альфа ^ {2} \ вправо) \ влево (\ альфа ^ {3} +1 \ вправо) = \ альфа ^ {8} +2 \ alpha ^ {5} + \ alpha ^ {2} = \ left (\ alpha ^ {7} \ right) \ alpha +2 \ alpha ^ {5} + \ alpha ^ {2} = 2 \ alpha ^ {5} + \ alpha ^ {2} +2 \ alpha.}$

Примеры

Комплексные числа

Рассмотрим кольцо многочленов R [ х ], а неприводимый многочлен х ² + 1 фактор - кольцо Р [ х ] / ( х ² + 1) задается конгруэнтность х ² ≡ -1. В результате элементы (или классы эквивалентности ) из R [ х ] / ( х ² + 1) , имеют вид а + Ьх , где и б принадлежат R . Чтобы убедиться в этом, заметим, что, поскольку x ² ≡ −1, следует, что x ³ ≡ - x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x и т. Д .; и поэтому, например, p + qx + rx ² + sx ³ ≡ p + qx + r ⋅ (−1) + s ⋅ (- x ) = ( p - r ) + ( q - s ) ⋅ x .

Операции сложения и умножения задаются сначала обычным полиномиальным сложением и умножением, а затем уменьшением по модулю x ² + 1 , то есть с использованием того факта, что x ² ≡ −1 , x ³ ≡ - x , x ⁴ ≡ 1 , x ⁵ ≡ x и т. д. Таким образом:

${\ displaystyle (a_ {1} + b_ {1} x) + (a_ {2} + b_ {2} x) = (a_ {1} + a_ {2}) + (b_ {1} + b_ {2 })Икс,}$

${\ displaystyle (a_ {1} + b_ {1} x) (a_ {2} + b_ {2} x) = a_ {1} a_ {2} + (a_ {1} b_ {2} + b_ {1 } a_ {2}) x + (b_ {1} b_ {2}) x ^ {2} \ Equiv (a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2}) + (a_ {1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2}) x \ ,.}$

Если мы отождествим a + bx с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются формулами

${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) + (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} + a_ {2}, b_ {1} + b_ {2}),}$

${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) \ cdot (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2}, a_ {1 } b_ {2} + b_ {1} a_ {2}).}$

Покажет , что, как поле, фактор Р [ х ] / ( х ² + 1) , является изоморфно к комплексным числам , C . Общее комплексное число имеет вид a + bi , где a и b - действительные числа, а i ² = −1. Сложение и умножение даются как

${\ displaystyle (a_ {1} + b_ {1} i) + (a_ {2} + b_ {2} i) = (a_ {1} + a_ {2}) + i (b_ {1} + b_ { 2}),}$

${\ displaystyle (a_ {1} + b_ {1} i) \ cdot (a_ {2} + b_ {2} i) = (a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2}) + i (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1}).}$

Если мы отождествим a + bi с ( a , b ), то увидим, что сложение и умножение задаются формулами

${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) + (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} + a_ {2}, b_ {1} + b_ {2}),}$

${\ displaystyle (a_ {1}, b_ {1}) \ cdot (a_ {2}, b_ {2}) = (a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2}, a_ {1 } b_ {2} + b_ {1} a_ {2}).}$

Предыдущие расчеты показывают , что сложение и умножение ведут себя одинаково в R [ х ] / ( х ² + 1) , и C . Фактически, мы видим, что отображение между R [ x ] / ( x ² + 1) и C, заданное как a + bx → a + bi, является гомоморфизмом относительно сложения и умножения. Очевидно также , что отображение + Ьх → + би одновременно инъективны и сюръективны ; это означает, что a + bx → a + bi - биективный гомоморфизм, т. е. изоморфизм. Из этого следует , что, как утверждают: R [ х ] / ( х ² + 1) ≅ С .

В 1847 году Коши использовал этот подход для определения комплексных чисел.

Кубический пример

Пусть K - поле рациональных чисел Q и p ( x ) = x ³ - 2 . Каждый корень из p равен ³ √ 2 умноженным на кубический корень из единицы . Следовательно, если мы обозначим кубические корни из единицы через

${\ Displaystyle \ omega _ {1} = 1, \,}$

${\ displaystyle \ omega _ {2} = - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i,}$

${\ displaystyle \ omega _ {3} = - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i.}$

любое поле, содержащее два различных корня из p, будет содержать частное между двумя различными кубическими корнями из единицы. Такое частное представляет собой примитивный кубический корень из единицы - либо ω _2, либо . Отсюда следует , что поле разложения L из р будет содержать ω ₂ , а также реальный кубический корень из 2; наоборот, любое расширение Q, содержащее эти элементы, содержит все корни p . Таким образом ${\ displaystyle \ omega _ {3} = 1 / \ omega _ {2}}$

${\ displaystyle L = \ mathbf {Q} \ left ({\ sqrt [{3}] {2}}, \ omega _ {2} \ right) = \ left \ {\ left.a + b {\ sqrt [ {3}] {2}} + c {\ sqrt [{3}] {2}} ^ {2} + d \ omega _ {2} + e {\ sqrt [{3}] {2}} \ omega _ {2} + f {\ sqrt [{3}] {2}} ^ {2} \ omega _ {2} \ right | a, b, c, d, e, f \ in \ mathbf {Q} \ верно\}}$

Обратите внимание, что применяя процесс построения, описанный в предыдущем разделе, к этому примеру, каждый начинает с поля и конструирует его . Это поле не является полем разбиения, но содержит один (любой) корень. Однако полином не является неприводимым над и на самом деле: ${\ displaystyle K_ {0} = \ mathbf {Q}}$${\ Displaystyle K_ {1} = \ mathbf {Q} [X] / (X ^ {3} -2)}$${\ displaystyle Y ^ {3} -2}$${\ displaystyle K_ {1}}$

${\ displaystyle Y ^ {3} -2 = (YX) (Y ^ {2} + XY + X ^ {2}).}$

Обратите внимание, что это не неопределенное значение, а фактически является элементом . Теперь, продолжая процесс, мы получаем, что действительно является полем расщепления и покрывается -базисом . Обратите внимание, что если мы сравним это с приведенным выше, мы можем идентифицировать и . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle K_ {1}}$${\ Displaystyle K_ {2} = K_ {1} [Y] / (Y ^ {2} + XY + X ^ {2})}$${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$${\ displaystyle \ {1, X, X ^ {2}, Y, XY, X ^ {2} Y \}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle X = {\ sqrt [{3}] {2}}}$${\ displaystyle Y = \ omega _ {2}}$

Другие примеры

• Поле расщепления x ^q - x над F _p - это единственное конечное поле F _q при q = p ⁿ . Иногда это поле обозначают GF ( q ).

• Поле расщепления x ² + 1 над F ₇ равно F ₄₉ ; многочлен не имеет корней в F ₇ , т. е. −1 не является здесь квадратом, потому что 7 не эквивалентно 1 (mod 4).

• Поле расщепления x ² - 1 над F ₇ равно F _7, поскольку x ² - 1 = ( x + 1) ( x - 1) уже делится на линейные множители.

• Мы вычисляем поле расщепления f ( x ) = x ³ + x + 1 над F ₂ . Легко проверить, что f ( x ) не имеет корней в F ₂ , следовательно, f ( x ) неприводима в F ₂ [ x ]. Положим r = x + ( f ( x )) в F ₂ [ x ] / ( f ( x )), так что F ₂ ( r ) - поле и x ³ + x + 1 = ( x + r ) ( x ² + ax + b ) в F ₂ ( r ) [ x ]. Обратите внимание, что мы можем написать + вместо -, поскольку характеристика равна двум. Сравнение коэффициентов показывает, что a = r и b = 1 + r ² . Элементы F ₂ ( r ) могут быть перечислены как c + dr + er ² , где c , d , e находятся в F ₂ . Всего восемь элементов: 0, 1, r , 1 + r , r ² , 1 + r ² , r + r ² и 1 + r + r ² . Подставляя их в x ² + rx + 1 + r ^2, получаем ( r ² ) ² + r ( r ² ) + 1 + r ² = r ⁴ + r ³ + 1 + r ² = 0, поэтому x ³ + x + 1 = ( x + r) ( x + r ² ) ( x + ( r + r ² )) для r в F ₂ [ x ] / ( f ( x )); E = F ₂ ( r ) является полем расщепления x ³ + x + 1 над F ₂ .

Примечания

использованная литература

• Даммит, Дэвид С. и Фут, Ричард М. (1999). Абстрактная алгебра (2-е изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  0-471-36857-1 .
• "Поле расщепления многочлена" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Поле расщепления» . MathWorld .