Кубический корень - Cube root

График y = 3x . График симметричен относительно начала координат, так как это нечетная функция . При x = 0 этот график имеет вертикальную касательную .
Единичный куб (сторона = 1) и куб с удвоенным объемом (сторона = 32 = 1,2599 ... OEISA002580 ).

В математике , А кубический корень из числа х это число у такого , что у 3 = х . Все ненулевые действительные числа имеют ровно один действительный кубический корень и пару комплексно сопряженных кубических корней, а все ненулевые комплексные числа имеют три различных комплексных кубических корня. Например, действительный кубический корень из 8 , обозначенный как 2 , потому что 2 3 = 8 , в то время как другие кубические корни из 8 равны и . Три кубических корня из −27 i равны

В некоторых контекстах, особенно когда число, кубический корень которого должен быть взят, является действительным числом, один из кубических корней (в данном конкретном случае действительный) называется главным кубическим корнем и обозначается знаком радикала . корень является обратной функцией от функции кубы , если рассматривать только действительные числа, но если учитывая также комплексные числа: хотя один всегда кубический корень из куба числа не всегда это число. Например, это кубический корень из 8 , (то есть ), но

Формальное определение

Кубические корни числа x - это числа y, которые удовлетворяют уравнению

Характеристики

Действительные числа

Для любого действительного числа x существует одно действительное число y такое, что y 3  =  x . Функция куба увеличивается, поэтому не дает одинаковых результатов для двух разных входных данных и охватывает все действительные числа. Другими словами, это взаимно однозначное соответствие. Затем мы можем определить обратную функцию, которая также взаимно однозначна. Для действительных чисел мы можем определить уникальный кубический корень из всех действительных чисел. Если используется это определение, кубический корень отрицательного числа является отрицательным числом.

Три кубических корня из 1

Если x и y могут быть комплексными , то существует три решения (если x не равно нулю), и поэтому x имеет три кубических корня. Действительное число имеет один действительный кубический корень и еще два кубических корня, которые образуют комплексно сопряженную пару. Например, кубические корни из 1 :

Последние два из этих корней приводят к соотношению между всеми корнями любого действительного или комплексного числа. Если число является одним кубическим корнем определенного действительного или комплексного числа, два других кубических корня можно найти, умножив этот кубический корень на один или другой из двух комплексных кубических корней из 1.

Сложные числа

Участок сложного кубического корня вместе с двумя его дополнительными листиками. На первом изображении показана основная ветка, которая описана в тексте.
Риманова поверхность кубического корня. Видно, как сочетаются все три листа.

Для комплексных чисел главный корень куба обычно определяется как корень куба, имеющий наибольшую действительную часть , или, что то же самое, корень куба, аргумент которого имеет наименьшее абсолютное значение . Он связан с главным значением натурального логарифма формулой

Если мы запишем x как

где r - неотрицательное действительное число, а θ лежит в диапазоне

,

то главный комплексный кубический корень равен

Это означает, что в полярных координатах мы берем кубический корень из радиуса и делим полярный угол на три, чтобы определить кубический корень. Согласно этому определению, главный кубический корень отрицательного числа является комплексным числом, и, например, 3−8 будет не −2, а скорее 1 + i 3 .

Эту трудность также можно решить, рассматривая корень куба как многозначную функцию : если мы запишем исходное комплексное число x в трех эквивалентных формах, а именно

Геометрическое представление корней 2–6 комплексного числа z в полярной форме re iφ, где r = | z  | и φ = arg z . Если z вещественное число, φ = 0 или π . Основные корни показаны черным.

Тогда главные комплексные кубические корни этих трех форм соответственно

Если x = 0 , эти три комплексных числа различны, даже если три представления x были эквивалентны. Например, 3−8 может быть затем вычислено как −2, 1 + i 3 или 1 - i 3 .

Это связано с концепцией монодромии : если следовать по непрерывности функции кубического корня по замкнутому пути вокруг нуля, то после поворота значение кубического корня умножается (или делится) на

Невозможность построения циркуля и линейки

Кубические корни возникают в задаче нахождения угла, размер которого составляет одну треть от величины данного угла ( трисекция угла ), и в задаче нахождения ребра куба, объем которого в два раза больше, чем у куба с данным ребром ( удвоение размера куба). куб ). В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что ни то, ни другое нельзя сделать с помощью циркуля и линейки .

Численные методы

Метод Ньютона - это итерационный метод, который можно использовать для вычисления кубического корня. Для реальных чисел с плавающей запятой этот метод сводится к следующему итерационному алгоритму для получения более точных приближений кубического корня из a :

Метод просто усредняет три фактора, выбранных таким образом, что

на каждой итерации.

Метод Галлея улучшает это за счет алгоритма, который сходится быстрее с каждой итерацией, хотя и требует больше работы на итерацию:

Он сходится кубически , поэтому две итерации выполняют столько же работы, сколько три итерации метода Ньютона. Каждая итерация метода Ньютона требует двух умножений, одного сложения и одного деления, если предположить, что 1/3a предварительно вычисляется, поэтому три итерации плюс предварительное вычисление требуют семи умножений, трех сложений и трех делений.

Каждая итерация метода Галлея требует трех умножений, трех сложений и одного деления, поэтому две итерации требуют шести умножений, шести сложений и двух делений. Таким образом, метод Галлея потенциально может быть быстрее, если одно деление будет дороже, чем три добавления.

В любом случае плохое начальное приближение x 0 может дать очень низкую производительность алгоритма, а создание хорошего начального приближения - своего рода черное искусство. Некоторые реализации манипулируют битами экспоненты числа с плавающей запятой; т.е. они приходят к начальному приближению путем деления показателя степени на 3.

Также полезна эта обобщенная цепная дробь , основанная на методе корня n-й степени :

Если x - хорошее первое приближение к кубическому корню из a и y = a - x 3 , то:

Второе уравнение объединяет каждую пару дробей из первой в одну дробь, таким образом удваивая скорость сходимости.

Появление в решениях уравнений третьей и четвертой степени

Кубические уравнения , которые являются полиномиальными уравнениями третьей степени (что означает, что наибольшая степень неизвестного равна 3), всегда могут быть решены для их трех решений в терминах кубических корней и квадратных корней (хотя более простые выражения только в терминах квадратных корней существуют для все три решения, если хотя бы одно из них - рациональное число ). Если два решения являются комплексными числами, то все три выражения решений включают вещественный кубический корень действительного числа, а если все три решения являются действительными числами, то они могут быть выражены через комплексный кубический корень комплексного числа .

Уравнения четвертой степени также могут быть решены в терминах кубических корней и квадратных корней.

История

Вычисление кубических корней восходит к вавилонским математикам еще в 1800 году до нашей эры. В четвертом веке до нашей эры Платон поставил задачу удвоения куба , что потребовало построения с помощью циркуля и линейки ребра куба с удвоенным объемом данного куба; для этого потребовалось построить, как теперь известно, невозможно, длины 32 .

Метод извлечения кубических корней появляется в «Девяти главах математического искусства» , китайском математическом тексте, составленном примерно во II веке до нашей эры и прокомментированном Лю Хуэем в III веке нашей эры. Греческий математик Герон Александрийский изобрел метод вычисления кубических корней в СЕ 1 - ого столетия. Его формула снова упоминается Евтокиосом в комментарии к Архимеду . В 499 CE Aryabhata , математик - астроном из классического возраста индийской математики и индийской астрономии , дал метод нахождения кубического корня из чисел , имеющих много цифр в Aryabhatiya (раздел 2.5).

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки