Радоновая мера - Radon measure

В математике ( в частности , в теории меры ), мера Радона , названная в честь Иоганна Радона , является мерой на а-алгебре из борелевских множеств одного Хаусдорфа топологического пространства X , которая конечна на все компактные множества, внешних регулярных на все борелевских, и внутренний регуляр на открытых сетах. Эти условия гарантируют, что мера «совместима» с топологией пространства, и большинство мер, используемых в математическом анализе и теории чисел , действительно являются мерами Радона.

Мотивация

Распространенная проблема - найти хорошее понятие меры на топологическом пространстве, которое в некотором смысле совместимо с топологией. Один из способов сделать это - определить меру на борелевских множествах топологического пространства. В целом с этим связано несколько проблем: например, такая мера может не иметь четко выраженной поддержки . Другой подход к теории меры состоит в том, чтобы ограничиться локально компактными хаусдорфовыми пространствами и рассматривать только те меры, которые соответствуют положительным линейным функционалам на пространстве непрерывных функций с компактным носителем (некоторые авторы используют это как определение меры Радона). Это дает хорошую теорию без патологических проблем, но неприменимо к пространствам, которые не являются локально компактными. Если нет ограничений на неотрицательные меры и разрешены комплексные меры, то меры Радона можно определить как непрерывное сопряженное пространство на пространстве непрерывных функций с компактным носителем. Если такая мера Радона действительна, то ее можно разложить на разность двух положительных мер. Кроме того, произвольная мера Радона может быть разложена на четыре положительных меры Радона, где действительная и мнимая части функционала являются разностями двух положительных мер Радона.

Теория мер Радона обладает большинством хороших свойств обычной теории для локально компактных пространств, но применима ко всем хаусдорфовым топологическим пространствам. Идея определения меры Радона состоит в том, чтобы найти некоторые свойства, которые характеризуют меры на локально компактных пространствах, соответствующих положительным функционалам, и использовать эти свойства в качестве определения меры Радона на произвольном хаусдорфовом пространстве.

Определения

Пусть т мера на сг - алгебры борелевских множеств хаусдорфова топологического пространства X .

Мера т называется внутренним регулярным или жестким , если для любого открытого множества U , м ( U ) является гранью из м ( К ) по всем компактным подмножествам K из U .

Мера т называется внешним регулярным , если для любого множества борелевского B , м ( B ) является нижней гранью из м ( U ) по всему открытым множествам U , содержащая Б .

Мера m называется локально конечной, если каждая точка X имеет окрестность U, для которой m ( U ) конечно.

Если m локально конечно, то отсюда следует, что m конечно на компактах, а для локально компактных хаусдорфовых пространств верно и обратное.
Таким образом, в этом случае локальная конечность может быть эквивалентно заменена конечностью на компактных подмножествах.

Мера m называется мерой Радона, если она внутренняя регулярная, внешняя регулярная и локально конечная. Во многих ситуациях, таких как конечные меры на локально компактных пространствах, это также подразумевает внешнюю регулярность (см. Также пространства Радона ).

(Теорию мер Радона можно распространить на нехаусдорфовы пространства, по существу, заменив везде слово «компактный» на «замкнутый компакт». Однако, похоже, что применения этого расширения почти нет.)

Меры Радона на локально компактных пространствах

Когда основное пространство меры является локально компактным топологическим пространством, определение меры Радона может быть выражено в терминах непрерывных линейных функционалов на пространстве непрерывных функций с компактным носителем . Это позволяет разработать меры и интеграцию в терминах функционального анализа , подхода, принятого Бурбаки (2004), ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFBourbaki2004 ( справка ) и рядом других авторов.

Меры

Далее X обозначает локально компактное топологическое пространство. Непрерывные вещественнозначные функции с компактным носителем на X образуют векторное пространство , которому может быть задана естественная локально выпуклая топология. В самом деле, это объединение пространств непрерывных функций с носителем , содержащимися в компактных множествах K . Каждое из пространств естественным образом несет в себе топологию равномерной сходимости , которая превращает его в банахово пространство . Но поскольку объединение топологических пространств является частным случаем прямого предела топологических пространств, пространство может быть снабжено прямой предельной локально выпуклой топологией, индуцированной пространствами ; эта топология тоньше топологии равномерной сходимости. ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X) = C_ {C} (X)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X, K)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X, K)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X, K)}$

Если m - мера Радона на, то отображение ${\ displaystyle X,}$

${\ displaystyle I: f \ mapsto \ int f \, dm}$

является непрерывным положительным линейным отображением на R . Положительность означает, что I ( f ) ≥ 0, если f - неотрицательная функция. Непрерывность относительно прямой предельной топологии, определенной выше, эквивалентна следующему условию: для любого компактного подмножества K в X существует константа M _K такая, что для любой непрерывной вещественнозначной функции f на X с носителем, содержащимся в K , ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$

${\ Displaystyle | I (е) | \ leq M_ {K} \ sup _ {x \ in X} | f (x) |.}$

Наоборот, по теореме Рисса – Маркова – Какутани о представлении каждая положительная линейная форма на возникает как интегрирование по единственной регулярной борелевской мере. ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$

Вещественная мера Радона определяется как любая непрерывная линейная форма на ; это как раз и есть отличия двух радоновых мер. Это дает определение вещественных мер Радона с сопряженным пространством в локально выпуклом пространстве . Эти реальные радоновые меры не обязательно должны быть подписаны . Например, sin ( x ) d x является действительной мерой Радона, но даже не является расширенной мерой со знаком, поскольку ее нельзя записать как разность двух мер, по крайней мере одна из которых конечна. ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$

Некоторые авторы используют предыдущий подход для определения (положительных) радоновских мер как положительных линейных форм на ; см. Bourbaki (2004) ошибка harvtxt: несколько целей (2 ×): CITEREFBourbaki2004 ( справка ) , Hewitt & Stromberg (1965) или Dieudonné (1970) . В этой схеме обычно используется терминология, в которой меры Радона в указанном выше смысле называются положительными мерами, а действительные меры Радона, как указано выше, называются (действительными) мерами. ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (X)}$

Интеграция

Чтобы завершить построение теории меры для локально компактных пространств с функционально-аналитической точки зрения, необходимо расширить меру (интеграл) с непрерывных функций с компактным носителем. Это можно сделать для действительных или комплексных функций в несколько этапов, как показано ниже:

1. Определение верхнего интеграла μ * ( g ) полунепрерывной снизу положительной (вещественнозначной) функции g как супремума (возможно, бесконечного) положительных чисел μ ( h ) для непрерывных функций с компактным носителем h  ≤  g
2. Определение верхнего интеграла μ * ( f ) для произвольной положительной (вещественнозначной) функции f как точной нижней грани верхних интегралов μ * ( g ) для полунепрерывных снизу функций g  ≥  f
3. Определение векторного пространства F =  F ( X ,  μ ) как пространства всех функций f на X, для которых верхний интеграл μ * (| f |) по модулю конечен; верхний интеграл модуля определяет полунорму на F , а F - полное пространство относительно топологии, определяемой полунормой
4. Определение пространства L ¹ ( X ,  μ ) интегрируемых функций как замыкания внутри F пространства непрерывных функций с компактным носителем
5. Определение интеграла для функций из L ¹ ( X ,  μ ) как продолжения по непрерывности (после проверки непрерывности μ относительно топологии L ¹ ( X ,  μ ))
6. Определение меры множества как интеграла (если он существует) индикаторной функции множества.

Можно проверить , что эти шаги производят теорию , идентичную той , которая начинается от меры Радона определяется как функция , которая присваивает номер каждому борелевском набора из  X .

Мера Лебега на R можно вводить несколькими способами в этом функционально-аналитической установки. Во-первых, возможно полагаться на «элементарный» интеграл, такой как интеграл Даниэля или интеграл Римана для интегралов от непрерывных функций с компактным носителем, поскольку они интегрируемы для всех элементарных определений интегралов. Мера (в определенном выше смысле), определяемая элементарным интегрированием, и есть мера Лебега. Во-вторых, если кто-то хочет избежать использования интеграла Римана или Даниэля или других подобных теорий, можно сначала развить общую теорию мер Хаара и определить меру Лебега как меру Хаара λ на R , удовлетворяющую условию нормировки  λ ([[ 0,1]) = 1.

Примеры

Ниже приведены все примеры радоновых мер:

• Мера Лебега на евклидовом пространстве (ограниченная борелевскими подмножествами);
• Мера Хаара на любой локально компактной топологической группе ;
• Мера Дирака на любом топологическом пространстве;
• Гауссовская мера на евклидовом пространстве с ее борелевской сигма-алгеброй;${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$
• Вероятностные меры на σ-алгебре борелевских множеств любого польского пространства . Этот пример не только обобщает предыдущий, но включает множество мер на нелокально компактных пространствах, таких как мера Винера на пространстве вещественнозначных непрерывных функций на интервале [0,1].
• Мера на является мерой Радона тогда и только тогда, когда она является локально конечной борелевской мерой .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Следующее не является примерами радоновых мер:

• Считающая мера на евклидовом пространстве является примером меры, которая не является мерой Радона, поскольку она не является локально конечной.
• Пространство порядковых максимально равно , то первое несчетное порядковое с топологией порядка представляет собой компактное топологическое пространство. Мера, равная 1 на любом борелевском множестве, содержащем несчетное замкнутое подмножество , и 0 в противном случае, является борелевской, но не радоновской, поскольку одноточечное множество имеет нулевую меру, но любая его открытая окрестность имеет меру 1. См. Schwartz (1974). , стр.45).${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle [1, \ Omega)}$${\ displaystyle \ {\ Omega \}}$
• Пусть X - интервал [0, 1), снабженный топологией, порожденной набором полуоткрытых интервалов . Эту топологию иногда называют линией Соргенфрея . На этом топологическом пространстве стандартная мера Лебега не является радоновской, поскольку она не является внутренней регулярной, поскольку компактные множества не более чем счетны.${\ displaystyle \ {[a, b): 0 \ leq a <b \ leq 1 \}}$
• Пусть Z будет множество Бернштейна в (или любое польское пространство). Тогда никакая мера, обращающаяся в нуль в точках на Z, не является радоновской, поскольку любой компакт в Z счетно.${\ displaystyle [0,1]}$
• Стандартная мера продукта на для несчетного не является мера Радона, так как любой компакт содержится в продукте несчетных множество отрезков, каждый из которых короче , чем 1.${\ Displaystyle (0,1) ^ {\ каппа}}$${\ displaystyle \ kappa}$

Отметим, что интуитивно мера Радона полезна в финансовой математике, особенно для работы с процессами Леви, поскольку она обладает свойствами как мер Лебега, так и мер Дирака , поскольку в отличие от меры Лебега мера Радона в одной точке не обязательно имеет меру 0. .

Основные свойства

Умеренные радоновые меры

Для меры Радона m на пространстве X мы можем определить другую меру M (на борелевских множествах), положив

${\ Displaystyle M (B) = \ inf \ {m (V) \ mid V {\ text {- открытый набор с}} B \ substeq V \ substeq X \}.}$

Мера M является внешней регулярной, локально конечной и внутренней регулярной для открытых множеств. Она совпадает с m на компактных и открытых множествах, и m может быть восстановлена ​​из M как единственная внутренняя регулярная мера, аналогичная M на компактах. Мера m называется умеренной, если M σ-конечна; в этом случае меры m и M совпадают. (Если m является σ-конечным, это не означает, что M является σ-конечным, поэтому быть умеренным сильнее, чем быть σ-конечным.)

В наследственном пространстве Линделёфа любая мера Радона модерирована.

Пример меры m, которая является σ-конечной, но не модерируемой, приведен Бурбаки (2004 , упражнение 5 раздела 1) .harvtxt error: множественные цели (2 ×): CITEREFBourbaki2004 ( справка ) следующим образом. Топологическое пространство X имеет в качестве основного множества подмножество реальной плоскости, заданное осью y точек (0, y ) вместе с точками (1 / n , m / n ² ) с m , n положительными целыми числами. Топология выглядит следующим образом. Отдельные точки (1 / n , m / n ² ) - все открытые множества. База окрестностей точки (0, y ) задается клиньями, состоящими из всех точек в X вида ( u , v ) с | v  -  y | ≤ | u | ≤ 1 / n для положительного целого числа n . Это пространство X локально компактно. Мера m задается тем, что ось y имеет меру 0, а точка (1 / n , m / n ² ) имеет меру 1 / n ³ . Эта мера является внутренней регулярной и локально конечной, но не является внешней регулярной, поскольку любое открытое множество, содержащее ось y, имеет меру бесконечность. В частности, у оси Y есть м- мера 0, но м- мера бесконечность.

Радоновые пространства

Топологическое пространство называется пространством Радона, если каждая конечная борелевская мера является мерой Радона, и сильно радоновским, если каждая локально конечная борелевская мера является мерой Радона. Любое суслинское пространство сильно радоново, и, более того, каждая радоновая мера модерируется.

Двойственность

На локально компактном хаусдорфовом пространстве меры Радона соответствуют положительным линейным функционалам на пространстве непрерывных функций с компактным носителем. Это неудивительно, поскольку именно это свойство является основной причиной определения меры Радона.

Метрическая пространственная структура

Остроконечный конус всех (положительный) меры Радона на можно придать структуру полного метрического пространства , определив расстояние Радона между двумя мерами быть ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {+} (X)}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle m_ {1}, m_ {2} \ in {\ mathcal {M}} _ {+} (X)}$

${\ displaystyle \ rho (m_ {1}, m_ {2}): = \ sup \ left \ {\ left. \ int _ {X} f (x) \, d (m_ {1} -m_ {2}) ) (x) \ \ right | \ mathrm {continuous \,} f: X \ to [-1,1] \ subset \ mathbb {R} \ right \}.}$

У этого показателя есть некоторые ограничения. Например, пространство радоновских вероятностных мер на , ${\ displaystyle X}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X): = \ {m \ in {\ mathcal {M}} _ {+} (X) \ mid m (X) = 1 \},}$

не является последовательно компактным относительно метрики Радона: т. е. не гарантируется, что любая последовательность вероятностных мер будет иметь подпоследовательность, сходящуюся относительно метрики Радона, что представляет трудности в некоторых приложениях. С другой стороны, если - компактное метрическое пространство, то метрика Вассерштейна превращается в компактное метрическое пространство. ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$

Сходимость в метрике Радона влечет слабую сходимость мер :

${\ displaystyle \ rho (m_ {n}, m) \ to 0 \ Rightarrow m_ {n} \ rightharpoonup m,}$

но обратное утверждение в целом неверно. Сходимость мер в метрике Радона иногда называют сильной сходимостью , в отличие от слабой сходимости.

использованная литература

• Бурбаки, Николас (2004), Интеграция I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1

Функционально-аналитическое развитие теории меры и интеграла Радона на локально компактных пространствах.

• Бурбаки, Николас (2004), Интеграция II , Springer Verlag , ISBN 3-540-20585-3

Мера Хаара; Меры Радона на общих хаусдорфовых пространствах и эквивалентность определений в терминах линейных функционалов и локально конечных внутренних регулярных мер на сигма-алгебре Бореля.

• Дьедонне, Жан (1970), Трактат об анализе , 2 , Academic Press

Содержит упрощенную версию подхода Бурбаки, специализированную для мер, определенных на сепарабельных метризуемых пространствах.

• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag.
• Кениг, Хайнц (1997), Измерение и интеграция: продвинутый курс по основным процедурам и приложениям , Нью-Йорк: Springer, ISBN 3-540-61858-9
• Шварц, Лоран (1974), меры Радона на произвольных топологических пространствах и цилиндрических мерах , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0

внешние ссылки

• Р. А. Минлос (2001) [1994], "Мера Радона" , Энциклопедия математики , EMS Press