Счетная мера - Counting measure

В математике , в частности в теории меры , счетная мера - это интуитивно понятный способ поставить меру на любое множество - «размер» подмножества принимается как количество элементов в подмножестве, если подмножество имеет конечное число элементов, и ∞ если подмножество бесконечно .

Счетная мера может быть определена на любом измеримом пространстве (то есть на любом множестве вместе с сигма-алгеброй), но в основном используется на счетных множествах. ${\ displaystyle X}$

В формальных обозначениях мы можем превратить любое множество в измеримое пространство, взяв набор степеней в качестве сигма-алгебры , т. Е. Все подмножества измеримы. Тогда считающей мерой на этом измеримом пространстве будет положительная мера, определяемая формулой ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle (Х, \ Sigma)}$${\ Displaystyle \ Sigma \ rightarrow [0, + \ infty]}$

${\ displaystyle \ mu (A) = {\ begin {case} \ vert A \ vert & {\ text {if}} A {\ text {is конечно}} \\ + \ infty & {\ text {if}} {\ Text {бесконечно}} \ end {case}}}$

для всех , где обозначает мощность множества . ${\ displaystyle A \ in \ Sigma}$${\ displaystyle \ vert A \ vert}$${\ displaystyle A}$

Подсчета мера на это σ-конечна тогда и только тогда , когда пространство является счетно . ${\ Displaystyle (Х, \ Sigma)}$${\ displaystyle X}$

Обсуждение

Считающая мера - частный случай более общей конструкции. В обозначениях , как указано выше, любая функция определяет меру на с помощью ${\ Displaystyle е \ двоеточие X \ к [0, \ infty)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ Displaystyle (Х, \ Sigma)}$

${\ Displaystyle \ му (А): = \ сумма _ {а \ в А} е (а) \ quad \ forall A \ substeq X,}$

где возможно несчетная сумма действительных чисел определяется как супремум сумм по всем конечным подмножествам, т. е.

${\ displaystyle \ sum _ {y \, \ in \, Y \! \ \ substeq \, \ mathbb {R}} y \: = \ \ sup _ {F \ substeq Y, \, | F | <\ infty } \ left \ {\ sum _ {y \ in F} y \ right \}.}$

Принятие f ( x ) = 1 для всех x в X дает счетную меру.

Рекомендации