Мера (математика) - Measure (mathematics)

Неформально, мера имеет свойство быть монотонным в том смысле , что если является подмножеством из B , мера A меньше или равно меру B . Кроме того, требуется, чтобы мера пустого множества была равна 0.

Мера - это фундаментальное понятие математики . Меры представляют собой математическую абстракцию для таких общих понятий, как масса , расстояние / длина , площадь , объем , вероятность событий и - после некоторых корректировок - электрический заряд . Эти, казалось бы, различные концепции по своей природе очень похожи и во многих случаях могут рассматриваться как математически неразличимые. Меры лежат в основе теории вероятностей . В квантовой физике и физике в целом широко используются далеко идущие обобщения меры .

Интуиция, лежащая в основе этой концепции, восходит к Древней Греции, когда Архимед пытался вычислить площадь круга. Но только в конце 19 - начале 20 веков теория меры стала разделом математики. Основы современной теории меры были заложены в работах Эмиля Бореля , Анри Лебега , Иоганна Радона , Константина Каратеодори , Мориса Фреше и других.

Определение

Счетная аддитивность меры μ : мера счетного непересекающегося объединения такая же, как сумма всех мер каждого подмножества.

Пусть X некоторое множество и Σ σ - алгебра над X . Функция μ из Σ в расширенную действительную числовую прямую называется мерой, если она удовлетворяет следующим свойствам:

  • Неотрицательность : для всех E в Σ имеем μ ( E ) ≥ 0 .
  • Null пустой набор : .
  • Счетная аддитивность (или σ -аддитивность ): для всех счетных наборов попарно непересекающихся множеств в Σ,

Если хотя бы один набор имеет конечную меру, то требование выполняется автоматически. Действительно, по счетной аддитивности

и поэтому

Если условие неотрицательности опущено, но выполнено второе и третье из этих условий и μ принимает не более одного из значений ± ∞ , то μ называется мерой со знаком .

Пара ( X , Σ) называется измеримым пространством , члены Σ называются измеримыми множествами . Если и два измеримых пространство, то функция называется измеримой , если для любого Y измеримого множества , то прообраз является X - измеримо - то есть: . В этой установке композиция измеримых функций является измеримой, что делает измеримые пространства и измеримые функции категорией , с измеримыми пространствами как объектами и набором измеримых функций как стрелками. См. Также Измеряемая функция § Варианты использования терминов для другой установки.

Тройной ( Х , Σ, μ ) называется пространством с мерой . Вероятностная мера является мерой общей мерой одной - т.е. μ ( X ) = 1 . Вероятностное пространство является мерой пространства с вероятностной мерой.

Для пространств мер, которые также являются топологическими пространствами, могут быть помещены различные условия совместимости для меры и топологии. Большинство мер, встречающихся на практике при анализе (и во многих случаях также в теории вероятностей ), являются мерами Радона . Радон мера имеет альтернативное определение в терминах линейных функционалов на локально выпуклое пространстве из непрерывных функций с компактным носителем . Этот подход используется Бурбаки (2004) и рядом других источников. Подробнее читайте в статье о радоновых мерах .

Экземпляры

Здесь перечислены некоторые важные меры.

Другие «названные» меры , используемые в различных теориях , включают: мера Бореля , Иордания мера , эргодическая мера , Эйлер мера , гауссова мера , Бэра мера , мера Радона , Young мера , и Леб мера .

В физике примером меры является пространственное распределение массы (см., Например, гравитационный потенциал ) или другое неотрицательное экстенсивное свойство , сохраняемое (см. Список их в законе сохранения ) или нет. Отрицательные значения приводят к подписанным мерам, см. «Обобщения» ниже.

  • Мера Лиувилля , известная также как естественная форма объема на симплектическом многообразии, полезна в классической статистической и гамильтоновой механике.
  • Мера Гиббса широко используется в статистической механике, часто под названием канонический ансамбль .

Основные свойства

Пусть μ - мера.

Монотонность

Если E 1 и E 2 - измеримые множества с E 1  ⊆  E 2, то

Мера счетных объединений и пересечений

Субаддитивность

Для любой счетной последовательности E 1 , E 2 , E 3 , ... (не обязательно непересекающихся) измеримых множеств E n в Σ:

Преемственность снизу

Если E 1 , E 2 , E 3 , ... измеримые множества и для всех n , то объединение множеств E n измеримо, и

Преемственность сверху

Если E 1 , E 2 , E 3 , ... измеримые множества и для всех n , то пересечение множеств E n измеримо; кроме того, если хотя бы один из E n имеет конечную меру, то

Это свойство неверно без предположения, что хотя бы один из E n имеет конечную меру. Например, для каждого nN пусть E n = [ n , ∞) ⊂ R , все они имеют бесконечную меру Лебега, но пересечение пусто.

Прочие свойства

Полнота

Измеримое множество X называется нулевым множеством, если μ ( X ) = 0 . Подмножество нулевого набора называется незначительным набором . Незначительный набор не обязательно должен быть измеримым, но каждый измеримый незначительный набор автоматически является нулевым набором. Мера называется полной, если каждое незначительное множество измеримо.

Мера может быть расширена до полного одного, рассматривая а-алгебра подмножеств Y , которые отличаются от незначительного набора из измеримого множества X , то есть такой , что симметрическая разность по X и Y , содержится в множестве нулевой. Один определяет μ ( Y ) как равный μ ( X ) .

μ {x: f (x) ≥t} = μ {x: f (x)> t} (п.в.)

Если -измеримая функция принимает значения, то

для почти всех по мере Лебега . Это свойство используется в связи с интегралом Лебега .

Аддитивность

Меры должны быть счетно аддитивными. Однако условие можно усилить следующим образом. Для любого набора и любого набора неотрицательных определим:

То есть мы определяем сумму как верхнюю грань всех сумм конечного числа из них.

Мера на является -аддитивной, если для любого и любого семейства непересекающихся множеств выполняется следующее:

Обратите внимание, что второе условие эквивалентно утверждению, что идеал нулевых множеств является -полным.

Сигма-конечные меры

Пространство с мерой ( X , Σ, μ ) называется конечным, если μ ( X ) - конечное действительное число (а не ∞). Ненулевые конечные меры аналогичны вероятностным мерам в том смысле, что любая конечная мера μ пропорциональна вероятностной мере . Мера μ называется σ-конечной, если X можно разложить в счетное объединение измеримых множеств конечной меры. Аналогично, множество в пространстве с мерой называется имеющим σ-конечную меру, если оно является счетным объединением множеств с конечной мерой.

Например, действительные числа со стандартной мерой Лебега σ-конечны, но не конечны. Рассмотрим отрезки [ k , k +1] для всех целых k ; Таких интервалов счетно много, каждый имеет меру 1, а их объединение - это целая вещественная линия. В качестве альтернативы рассмотрите действительные числа с помощью счетной меры , которая присваивает каждому конечному набору вещественных чисел количество точек в наборе. Это пространство с мерой не является σ-конечным, потому что каждое множество с конечной мерой содержит только конечное число точек, и потребовалось бы несчетное количество таких множеств, чтобы покрыть всю вещественную прямую. Пространства с σ-конечной мерой обладают некоторыми очень удобными свойствами; В этом отношении σ-конечность можно сравнить со свойством Линделёфа топологических пространств. Их также можно рассматривать как нечеткое обобщение идеи о том, что пространство меры может иметь «несчетную меру».

s-конечные меры

Мера называется s-конечной, если она является счетной суммой ограниченных мер. S-конечные меры более общие, чем сигма-конечные, и имеют приложения в теории случайных процессов .

Неизмеримые множества

Если аксиома выбора предполагается , чтобы быть правдой, то можно доказать , что не все подмножества евклидова пространств являются измеримыми по Лебегу ; примеры таких наборов включают набор Виталия , а не-измеримые множества постулируемый хаусдорфовом парадокс и парадокс Банаха-Тарского .

Обобщения

Для определенных целей полезно иметь «меру», значения которой не ограничиваются неотрицательными действительными числами или бесконечностью. Например, счетно-аддитивная функция множества со значениями в (знаковых) действительных числах называется мерой со знаком , а такая функция со значениями в комплексных числах называется комплексной мерой . Меры, принимающие значения в банаховых пространствах , широко изучаются. Мера, принимающая значения в множестве самосопряженных проекций на гильбертово пространство , называется проекционно-значной мерой ; они используются в функциональном анализе для спектральной теоремы . Когда необходимо отличить обычные меры, принимающие неотрицательные значения, от обобщений, используется термин положительная мера . Положительные меры замыкаются конической комбинацией, но не общей линейной комбинацией , в то время как меры со знаком являются линейным замыканием положительных мер.

Другое обобщение - это конечно-аддитивная мера , также известная как содержание . Это то же самое, что и мера, за исключением того, что вместо требования счетной аддитивности нам требуется только конечная аддитивность. Исторически это определение использовалось первым. Оказывается, что в общем случае конечно-аддитивные меры связаны с такими понятиями, как пределы Банаха , двойственное к L и компактификация Стоуна – Чеха . Все это так или иначе связано с аксиомой выбора . Содержание остается полезным при решении некоторых технических проблем геометрической теории меры ; это теория банаховых мер .

Заряд представляет собой обобщение в обоих направлениях: это конечно - аддитивная, подписанная мера.

Смотрите также

использованная литература

Библиография

  • Роберт Дж. Бартл (1995) Элементы интеграции и меры Лебега , Wiley Interscience.
  • Бауэр, Х. (2001), Теория меры и интеграции , Берлин: de Gruyter, ISBN 978-3110167191
  • Медведь, HS (2001), Учебник по интеграции Лебега , Сан-Диего: Academic Press, ISBN 978-0120839711
  • Богачев В.И. (2006), Теория меры , Берлин: Springer, ISBN 978-3540345138
  • Бурбаки, Николас (2004), Интеграция I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 Глава III.
  • Р. М. Дадли, 2002. Реальный анализ и вероятность . Издательство Кембриджского университета.
  • Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их приложения , John Wiley and Sons, ISBN 0471317160 Второе издание.
  • Федерер, Герберт. Геометрическая теория меры. Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band 153 Springer-Verlag New York Inc., Нью-Йорк 1969 xiv + 676 стр.
  • Д.Х. Фремлин, 2000. Теория меры . Торрес Фремлин.
  • Jech, Thomas (2003), Теория множеств: издание третьего тысячелетия, пересмотренное и расширенное , Springer Verlag , ISBN 3-540-44085-2
  • Р. Дункан Люс и Луи Наренс (1987). «измерение, теория», The New Palgrave: A Dictionary of Economics , v. 3, pp. 428–32.
  • М.Э. Манро, 1953. Введение в измерение и интеграцию . Эддисон Уэсли.
  • КПС Бхаскара Рао и М. Бхаскара Рао (1983), Теория зарядов: исследование конечно-аддитивных мер , Лондон: Academic Press, стр. X + 315, ISBN 0-12-095780-9
  • Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л., 1978. Интеграл, мера и производная: единый подход , Ричард А. Сильверман, пер. Dover Publications. ISBN  0-486-63519-8 . Подчеркивает интеграл Даниэля .
  • Тешл, Джеральд , Темы реального и функционального анализа , (конспекты лекций)
  • Тао, Теренс (2011). Введение в теорию меры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 9780821869192.
  • Уивер, Ник (2013). Теория измерений и функциональный анализ . World Scientific . ISBN 9789814508568.

внешние ссылки