Гауссова мера - Gaussian measure

В математике , гауссова мера является мерой Бореля на конечномерном евклидовом пространстве R ^п , тесно связанной с нормальным распределением в статистике . Есть также обобщение на бесконечномерные пространства. Гауссовские меры названы в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса . Одна из причин, по которой гауссовские меры настолько распространены в теории вероятностей, - это центральная предельная теорема . Грубо говоря, он утверждает, что если случайная величина X получается суммированием большого числа N независимых случайных величин порядка 1, то X имеет порядок и его закон приблизительно гауссовский. ${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$

Определения

Пусть п ∈ N , и пусть В ₀ ( R ^п ) обозначает завершение из Бореля сг - алгебры на R ^н . Обозначим через λ ⁿ  : B ₀ ( R ⁿ ) → [0, + ∞] обычную n -мерную меру Лебега . Тогда стандартная гауссовская мера γ ⁿ  : B ₀ ( R ⁿ ) → [0, 1] определяется формулой

${\ displaystyle \ gamma ^ {n} (A) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi}} ^ {n}}} \ int _ {A} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ | x \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} \ right) \, \ mathrm {d} \ lambda ^ {n} (x)}$

для любого измеримого множества A ∈ B ₀ ( R ⁿ ). В терминах производной Радона-Никодима ,

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ gamma ^ {n}} {\ mathrm {d} \ lambda ^ {n}}} (x) = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \) pi}} ^ {n}}} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2}} \ | x \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n}} ^ {2} \ right). }$

В более общем смысле, гауссовская мера со средним μ ∈ R ⁿ и дисперсией σ ² > 0 задается формулой

${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu, \ sigma ^ {2}} ^ {n} (A): = {\ frac {1} {{\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ {2}}} ^ { n}}} \ int _ {A} \ exp \ left (- {\ frac {1} {2 \ sigma ^ {2}}} \ | x- \ mu \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n }} ^ {2} \ right) \, \ mathrm {d} \ lambda ^ {n} (x).}$

Гауссовские меры со средним μ = 0 известны как центрированные гауссовские меры .

Мера Дирака δ _ц является слабым пределом в качестве сг → 0, и считается вырожденным гауссовым мерой ; напротив, гауссовские меры с конечной ненулевой дисперсией называются невырожденными гауссовскими мерами . ${\ displaystyle \ gamma _ {\ mu, \ sigma ^ {2}} ^ {n}}$

Свойства гауссовской меры

Стандартная гауссовская мера γ ⁿ на R ⁿ

• является борелевской мерой (фактически, как отмечалось выше, она определена на пополнении сигма-алгебры Бореля, которая является более тонкой структурой);
• это эквивалентно Лебег: , где выступает за абсолютную непрерывность мер;${\ displaystyle \ lambda ^ {n} \ ll \ gamma ^ {n} \ ll \ lambda ^ {n}}$${\ displaystyle \ ll}$
• будет поддерживаться на все евклидово пространства: Supp ( γ ^п ) = Р ^п ;
• - вероятностная мера ( γ ⁿ ( R ⁿ ) = 1), поэтому она локально конечна ;
• является строго положительным : каждое непустое открытое множество имеет положительную меру;
• это внутреннее регулярное : для всех борелевскими А ,

${\ displaystyle \ gamma ^ {n} (A) = \ sup \ {\ gamma ^ {n} (K) \ mid K \ substeq A, K {\ text {компактно}} \},}$

поэтому гауссовская мера - это мера Радона ;

• не перевод - инвариант , но действительно удовлетворяет соотношению

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} (T_ {h}) _ {*} (\ gamma ^ {n})} {\ mathrm {d} \ gamma ^ {n}}} (x) = \ exp \ left (\ langle h, x \ rangle _ {\ mathbb {R} ^ {n}} - {\ frac {1} {2}} \ | h \ | _ {\ mathbb {R} ^ {n} } ^ {2} \ right),}$

где производная в левой части - это производная Радона – Никодима , а ( T _h ) _∗ ( γ ⁿ ) - продвижение стандартной гауссовской меры преобразованием трансляции T _h  : R ⁿ → R ⁿ , T _h ( х ) = х + h ;

• - мера вероятности, связанная с нормальным распределением вероятностей :

${\ displaystyle Z \ sim \ operatorname {Normal} (\ mu, \ sigma ^ {2}) \ подразумевает \ mathbb {P} (Z \ in A) = \ gamma _ {\ mu, \ sigma ^ {2}} ^ {n} (A).}$

Гауссовские меры на бесконечномерных пространствах

Можно показать, что на бесконечномерном векторном пространстве аналога меры Лебега не существует . Даже в этом случае можно определить гауссовские меры на бесконечномерных пространствах, главным примером которых является конструкция абстрактного винеровского пространства . Борелевская мера γ на сепарабельном банаховом пространстве E называется невырожденной (центрированной) гауссовской мерой, если для любого линейного функционала L ∈ E ^∗, кроме L = 0, мера проталкивания L _∗ ( γ ) является невырожденная (центрированная) гауссовская мера на R в определенном выше смысле.

Например, классическая мера Винера на пространстве непрерывных путей является гауссовской мерой.

Смотрите также

• Мера Бесова , обобщение гауссовской меры
• Теорема Камерона – Мартина