Функция индикатора - Indicator function

Трехмерный график индикаторной функции, показанный над квадратной двумерной областью (набор X ): «приподнятый» участок перекрывает те двумерные точки, которые являются членами «указанного» подмножества ( A ).

В математике , функция индикатора или характеристической функцией из подмножества A о наличии множества X является функция определяется из X к набору из двух элементов , как правило , обозначается как , и это указывает , является ли элемент в X принадлежит А ; если элемент в X принадлежит А , и , если не принадлежит A . Он также обозначается , чтобы подчеркнуть тот факт , что эта функция идентифицирует подмножество A из X . ${\ displaystyle \ {0,1 \}}$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ двоеточие X \ to \ {0,1 \}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (х) = 1}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (х) = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle I_ {A}}$

В других контекстах, таких как информатика , это чаще описывалось бы как логическая функция- предикат (для проверки включения набора).

Функция Дирихле - это пример индикаторной функции и индикатор рациональных чисел .

Определение

Индикаторная функция подмножества A множества X - это функция

${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ двоеточие X \ to \ {0,1 \}}$

определяется как

${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (x): = {\ begin {cases} 1 ~ & {\ text {if}} ~ x \ in A ~, \\ 0 ~ & {\ text {if }} ~ x \ notin A ~. \ end {case}}}$

Кронштейн Айверсон обеспечивает эквивалентное обозначение, или ⧙ х ε ⧘ , чтобы использовать вместо . ${\ Displaystyle [х \ в А]}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (х)}$

Функция иногда обозначается , , K или даже просто . ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$${\ displaystyle I_ {A}}$${\ displaystyle \ chi _ {A}}$${\ displaystyle A}$

Обозначения и терминология

Обозначение также используется для обозначения характеристической функции в выпуклом анализе , который определяется, как если бы он был обратным стандартному определению индикаторной функции. ${\ displaystyle \ chi _ {A}}$

Связанное с этим понятие в статистике - это фиктивная переменная . (Это не следует путать с «фиктивными переменными», поскольку этот термин обычно используется в математике, также называемый связанной переменной .)

Термин « характеристическая функция » не имеет отношения к классической теории вероятностей . По этой причине традиционные вероятностники используют термин индикаторная функция почти исключительно для определенной здесь функции, в то время как математики в других областях с большей вероятностью будут использовать термин характеристическая функция для описания функции, которая указывает на принадлежность к набору.

В нечеткой логике и современной многозначной логики , предикаты являются характеристическими функциями из с распределением вероятностей . То есть строгое определение истинности / ложности предиката заменяется величиной, интерпретируемой как степень истинности.

Основные свойства

Индикатор или характерная функция подмножества А из некоторого множества X отображает элементы X в диапазон {0, 1}.

Это отображение сюръективно только тогда , когда является непустым собственным подмножеством из X . Если A ≡ X , то 1 _A = 1. Аналогичным образом, если A ≡ ∅, то 1 _A = 0.

Далее точка представляет собой умножение, 1 · 1 = 1, 1 · 0 = 0 и т. Д. «+» И «-» представляют собой сложение и вычитание. " " и " " - это пересечение и объединение соответственно. ${\ displaystyle \ cap}$${\ Displaystyle \ чашка}$

Если и - два подмножества , то ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A \ cap B} = \ min \ {\ mathbf {1} _ {A}, \ mathbf {1} _ {B} \} = \ mathbf {1} _ {A } \ cdot \ mathbf {1} _ {B},}$

${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A \ cup B} = \ max \ {{\ mathbf {1} _ {A}, \ mathbf {1} _ {B}} \} = \ mathbf {1} _ {A} + \ mathbf {1} _ {B} - \ mathbf {1} _ {A} \ cdot \ mathbf {1} _ {B},}$

и индикаторная функция дополнения в ИЭ является: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A ^ {C}}$

${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A ^ {\ complement}} = 1- \ mathbf {1} _ {A}}$.

В более общем плане , предположим , что представляет собой совокупность подмножеств X . Для любого : ${\ Displaystyle A_ {1}, \ dotsc, A_ {n}}$${\ displaystyle x \ in X}$

${\ displaystyle \ prod _ {k \ in I} (1- \ mathbf {1} _ {A_ {k}} (x))}$

явно является произведением нулей и единиц. Этот продукт имеет значение 1 точно для тех, которые не принадлежат ни одному из наборов, и 0 в противном случае. То есть ${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle A_ {k}}$

${\ displaystyle \ prod _ {k \ in I} (1- \ mathbf {1} _ {A_ {k}}) = \ mathbf {1} _ {X- \ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1- \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}}.}.$

Раскладывая товар с левой стороны,

${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {\ bigcup _ {k} A_ {k}} = 1- \ sum _ {F \ substeq \ {1,2, \ dotsc, n \}} (- 1) ^ { | F |} \ mathbf {1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}} = \ sum _ {\ emptyset \ neq F \ substeq \ {1,2, \ dotsc, n \}} (- 1 ) ^ {| F | +1} \ mathbf {1} _ {\ bigcap _ {F} A_ {k}}}$

где -мощность F . Это одна из форм принципа включения-исключения . ${\ displaystyle | F |}$

Как было предложено в предыдущем примере, индикаторная функция является полезным средством записи в комбинаторике . Обозначение также используется в других местах, например, в теории вероятностей : если X - вероятностное пространство с вероятностной мерой, а A - измеримое множество , то становится случайной величиной , ожидаемое значение которой равно вероятности A : ${\ displaystyle \ operatorname {P}}$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A}}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (\ mathbf {1} _ {A}) = \ int _ {X} \ mathbf {1} _ {A} (x) \, d \ operatorname {P} = \ int _ {A} d \ operatorname {P} = \ operatorname {P} (A)}$.

Это тождество используется в простом доказательстве неравенства Маркова .

Во многих случаях, таких как теория порядка , может быть определена обратная индикаторная функция. Это обычно называется обобщенной функцией Мёбиуса , как обобщение обратной функции индикатора в элементарной теории чисел , функции Мёбиуса . (См. Параграф ниже об использовании обратного в классической теории рекурсии.)

Среднее, дисперсия и ковариация

Учитывая вероятностное пространство с , индикаторная случайная величина определяется, если в противном случае${\ displaystyle \ textstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ operatorname {P})}$${\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} \ двоеточие \ Omega \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (\ omega) = 1}$${\ displaystyle \ omega \ in A,}$${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {A} (\ omega) = 0.}$

Иметь в виду

${\ Displaystyle \ OperatorName {E} (\ mathbf {1} _ {A} (\ omega)) = \ operatorname {P} (A)}$ (также называемый «Фундаментальный мост»).

Дисперсия

${\ displaystyle \ operatorname {Var} (\ mathbf {1} _ {A} (\ omega)) = \ operatorname {P} (A) (1- \ operatorname {P} (A))}$

Ковариация

${\ displaystyle \ operatorname {Cov} (\ mathbf {1} _ {A} (\ omega), \ mathbf {1} _ {B} (\ omega)) = \ operatorname {P} (A \ cap B) - \ operatorname {P} (A) \ operatorname {P} (B)}$

Характеристическая функция в теории рекурсии, представляющая функция Гёделя и Клини

Курт Гёдель описал представляющую функцию в своей статье 1934 года «О неразрешимых предложениях формальных математических систем»:

"Каждому классу или отношению R должна соответствовать функция φ ( x ₁ , ... x _n ) = 0, если R ( x ₁ , ... x _n ) и φ ( x ₁ , ... x _n ) = 1, если ¬ R ( x ₁ , ... x _n ). "(" ¬ "указывает на логическую инверсию, то есть" НЕ ")

Клини (1952) предлагает то же определение в контексте примитивных рекурсивных функций, поскольку функция φ предиката P принимает значения 0, если предикат истинен, и 1, если предикат ложен.

Например, поскольку произведение характеристических функций φ ₁ * φ ₂ * ... * φ _n = 0 всякий раз, когда любая из функций равна 0, оно играет роль логического ИЛИ: ЕСЛИ φ ₁ = 0 ИЛИ φ ₂ = 0 ИЛИ ... ИЛИ φ _n = 0 ТОГДА их произведение равно 0. То, что современному читателю кажется логической инверсией представляющей функции, т. Е. Представляющая функция равна 0, когда функция R "истинна" или удовлетворена ", играет полезную роль. в определении логических функций OR, AND и IMPLY, данного Клини (стр. 228), ограниченных (стр. 228) и неограниченных (стр. 279 и далее) мю-операторов (Клини (1952)) и функции CASE (стр. 229).

Характеристическая функция в теории нечетких множеств

В классической математике характеристические функции множеств принимают только значения 1 (члены) или 0 (не члены). В теории нечетких множеств характеристические функции обобщаются, чтобы принимать значение в реальном единичном интервале [0, 1] или, в более общем смысле, в некоторой алгебре или структуре (обычно требуется, чтобы она была по крайней мере ч.у. или решеткой ). Такие обобщенные характеристические функции чаще называют функциями принадлежности , а соответствующие «множества» - нечеткими множествами. Нечеткие множества моделируют постепенное изменение степени членства, наблюдаемое во многих реальных предикатах, таких как «высокий», «теплый» и т. Д.

Производные индикаторной функции

Особой индикаторной функцией является ступенчатая функция Хевисайда . Ступенчатая функция Хевисайда H ( x ) является индикаторной функцией одномерной положительной полупрямой, то есть области [0, ∞) . Производная по распределению ступенчатой ​​функции Хевисайда равна дельта-функции Дирака , т. Е.

${\ Displaystyle \ дельта (х) = {\ tfrac {dH (x)} {dx}}}$

со следующим свойством:

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, \ delta (x) dx = f (0).}$

Производную ступенчатой ​​функции Хевисайда можно рассматривать как производную по внутренней нормали на границе области, заданной положительной полупрямой. В более высоких измерениях, производная естественно обобщает к внутренней нормальной производной, а функция Хевисайда естественно обобщается на функцию индикатора некоторой области D . Поверхность D будем обозначать через S . Исходя из этого, можно вывести, что производная индикатора по внутренней нормали порождает «поверхностную дельта-функцию», которую можно обозначить как δ _S ( x ) :

${\ displaystyle \ delta _ {S} (\ mathbf {x}) = - \ mathbf {n} _ {x} \ cdot \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _ {\ mathbf {x} \ in D }}$

где п есть внешний нормальная часть поверхности S . Эта «дельта-функция поверхности» имеет следующее свойство:

${\ displaystyle - \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (\ mathbf {x}) \, \ mathbf {n} _ {x} \ cdot \ nabla _ {x} \ mathbf {1} _ {\ mathbf {x} \ in D} \; d ^ {n} \ mathbf {x} = \ oint _ {S} \, f (\ mathbf {\ beta}) \; d ^ {n-1} \ mathbf {\ beta}.}$

При установке функции F равен единице, то отсюда следует , что внутренний нормальная производная индикатор интегрирует к численному значению площади поверхности S .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Источники

• Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения (второе изд.). ISBN компании John Wiley & Sons, Inc. 978-0-471-31716-6.
• Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Стейн, Клиффорд (2001). «Раздел 5.2: Индикаторные случайные величины». Введение в алгоритмы (второе изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр.  94 -99. ISBN 978-0-262-03293-3.
• Дэвис, Мартин , изд. (1965). Неразрешимое . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Книги Raven Press.
• Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями, ред.). Нидерланды: издательство Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company.
• Булос, Джордж ; Берджесс, Джон П .; Джеффри, Ричард С. (2002). Вычислимость и логика . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-00758-0.
• Заде, Лотфи А. (июнь 1965 г.). «Нечеткие множества» (PDF) . Информация и контроль . 8 (3): 338–353. DOI : 10.1016 / S0019-9958 (65) 90241-X . Архивировано из оригинального (PDF) 22 июня 2007 года.
• Гогуэн, Джозеф (1967). « L- нечеткие множества». Журнал математического анализа и приложений . 18 (1): 145–174. DOI : 10.1016 / 0022-247X (67) 90189-8 . hdl : 10338.dmlcz / 103980 .