Площадь поверхности -Surface area
Площадь поверхности твердого объекта — это мера общей площади , которую занимает поверхность объекта. Математическое определение площади поверхности при наличии искривленных поверхностей значительно сложнее, чем определение длины дуги одномерных кривых или площади поверхности многогранников (т. е. объектов с плоскими многоугольными гранями ), для которых площадь поверхности есть сумма площадей его граней. Гладким поверхностям, таким как сфера , присваивается площадь поверхности, используя их представление в виде параметрических поверхностей . Это определение площади поверхности основано на методахисчисление бесконечно малых и включает частные производные и двойное интегрирование .
Общее определение площади поверхности искали Анри Лебег и Герман Минковски на рубеже двадцатого века. Их работа привела к развитию геометрической теории меры , изучающей различные понятия площади поверхности неправильных объектов любого размера. Важным примером является содержание Минковского поверхности.
Определение
Хотя площади многих простых поверхностей были известны с древних времен, строгое математическое определение площади требует большой осторожности. Это должно обеспечить функцию
что ставит в соответствие положительное вещественное число определенному классу поверхностей , удовлетворяющему ряду естественных требований. Наиболее фундаментальным свойством площади поверхности является ее аддитивность : площадь целого равна сумме площадей частей . Более строго, если поверхность S является объединением конечного числа частей S 1 , ..., S r , которые не перекрываются, кроме как на своих границах, то
Площади поверхностей плоских многоугольников должны совпадать с их геометрически определенной площадью . Поскольку площадь поверхности является геометрическим понятием, площади конгруэнтных поверхностей должны быть одинаковыми и площадь должна зависеть только от формы поверхности, но не от ее положения и ориентации в пространстве. Это означает, что площадь поверхности инвариантна относительно группы евклидовых движений . Эти свойства однозначно характеризуют площадь поверхности для широкого класса геометрических поверхностей, называемых кусочно-гладкими . Такие поверхности состоят из конечного числа кусков, которые можно представить в параметрическом виде
с непрерывно дифференцируемой функцией Площадь отдельного куска определяется по формуле
Таким образом, площадь S D получается путем интегрирования длины вектора нормали к поверхности по соответствующей области D в параметрической плоскости uv . Затем площадь всей поверхности получается путем сложения площадей частей с использованием аддитивности площади поверхности. Основная формула может быть адаптирована к разным классам поверхностей, давая, в частности, формулы для площадей графиков z = f ( x , y ) и поверхностей вращения .
Одна из тонкостей площади поверхности по сравнению с длиной дуги кривых заключается в том, что площадь поверхности не может быть определена просто как предел площадей многогранных фигур, приближающихся к данной гладкой поверхности. Герман Шварц продемонстрировал, что уже для цилиндра разные варианты аппроксимации плоских поверхностей могут привести к разным предельным значениям площади; этот пример известен как фонарь Шварца .
Различные подходы к общему определению площади поверхности были разработаны в конце девятнадцатого и начале двадцатого века Анри Лебегом и Германом Минковским . В то время как для кусочно-гладких поверхностей существует уникальное естественное понятие площади поверхности, если поверхность очень неровная или шероховатая, то ей вообще невозможно присвоить площадь. Типичным примером является поверхность с густым распространением шипов. Многие поверхности этого типа возникают при изучении фракталов . Расширения понятия площади, которые частично выполняют свою функцию и могут быть определены даже для очень сильно нерегулярных поверхностей, изучаются в геометрической теории меры . Конкретным примером такого расширения является содержание Минковского поверхности.
Общие формулы
Форма | Уравнение | Переменные |
---|---|---|
куб | s = длина стороны | |
Кубовидный | ℓ = длина, b = ширина, h = высота | |
Треугольная призма | b = длина основания треугольника, h = высота треугольника, l = расстояние между основаниями треугольника, p , q , r = стороны треугольника | |
Все призмы | B = площадь одного основания, P = периметр одного основания, h = высота | |
Сфера | r = радиус сферы, d = диаметр | |
полушарие | r = радиус полушария | |
Полусферическая оболочка | R = внешний радиус полусферы.
r = внутренний радиус полусферы. |
|
Шаровидная лунка | r = радиус сферы, θ = двугранный угол | |
Тор | r = малый радиус (радиус трубки), R = большой радиус (расстояние от центра трубки до центра тора) | |
Закрытый цилиндр | r = радиус круглого основания, h = высота цилиндра | |
Площадь криволинейной поверхности конуса |
s = наклонная высота конуса, |
|
Полная поверхность конуса |
s = наклонная высота конуса, r = радиус круглого основания, |
|
Пирамида | B = площадь основания, P = периметр основания, L = наклонная высота | |
Квадратная пирамида | b = длина основания, s = наклонная высота, h = вертикальная высота | |
Прямоугольная пирамида | ℓ = длина, b = ширина, h = высота | |
Тетраэдр | а = длина стороны | |
Поверхность вращения | ||
Параметрическая поверхность |
= параметрическое векторное уравнение поверхности
= частная производная по = частная производная по = теневая область |
Отношение площадей поверхности шара и цилиндра одного радиуса и высоты
Приведенные ниже формулы можно использовать, чтобы показать, что площади поверхности сферы и цилиндра одного радиуса и высоты находятся в соотношении 2:3 следующим образом.
Пусть радиус равен r , а высота равна h (что для сферы равно 2 r ).
Открытие этого отношения приписывают Архимеду .
В химии
Площадь поверхности важна в химической кинетике . Увеличение площади поверхности вещества обычно увеличивает скорость химической реакции . Например, железо в мелкодисперсном порошке сгорает , а твердые блоки достаточно стабильны, чтобы их можно было использовать в конструкциях. Для различных применений может потребоваться минимальная или максимальная площадь поверхности.
В биологии
Площадь поверхности организма важна в нескольких аспектах, таких как регуляция температуры тела и пищеварение . Животные используют свои зубы , чтобы измельчать пищу на более мелкие частицы, увеличивая площадь поверхности, доступную для пищеварения. Эпителиальная ткань, выстилающая пищеварительный тракт, содержит микроворсинки , значительно увеличивающие площадь, доступную для всасывания. У слонов большие уши , что позволяет им регулировать температуру тела. В других случаях животным необходимо минимизировать площадь поверхности; например, люди складывают руки на груди, когда им холодно, чтобы свести к минимуму потерю тепла.
Отношение площади поверхности к объему (SA:V) клетки накладывает верхние ограничения на размер, поскольку объем увеличивается намного быстрее, чем площадь поверхности, тем самым ограничивая скорость, с которой вещества диффундируют изнутри через клеточную мембрану в интерстициальное пространство . или в другие клетки. Действительно, представляя клетку в виде идеализированной сферы радиуса r , объем и площадь поверхности равны соответственно V = (4/3) πr 3 и SA = 4 πr 2 . Таким образом, отношение площади поверхности к объему равно 3/ r . Таким образом, если ячейка имеет радиус 1 мкм, отношение SA:V равно 3; тогда как если вместо этого радиус ячейки составляет 10 мкм, то отношение SA: V становится равным 0,3. При радиусе ячейки 100 отношение SA:V равно 0,03. Таким образом, площадь поверхности резко падает с увеличением объема.
Смотрите также
- Длина периметра
- Запроектированная площадь
- Теория БЭТ , методика измерения удельной поверхности материалов.
- Сферическая площадь
- Поверхностный интеграл
использованная литература
- Ю.Д. Бураго; В.А. Залгаллер; Л.Д. Кудрявцев (2001) [1994], "Площадь" , Математическая энциклопедия , EMS Press
внешние ссылки
- Видео о площади поверхности в Thinkwell